Theorem breq12d 3768

Description: Equality deduction for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 9-Jul-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
breq1d.1	⊢ (φ → A = B)
breq12d.2	⊢ (φ → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
breq12d	⊢ (φ → (A𝑅𝐶 ↔ B𝑅𝐷))

Proof of Theorem breq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1d.1	. 2 ⊢ (φ → A = B)
2		breq12d.2	. 2 ⊢ (φ → 𝐶 = 𝐷)
3		breq12 3760	. 2 ⊢ ((A = B ∧ 𝐶 = 𝐷) → (A𝑅𝐶 ↔ B𝑅𝐷))
4	1, 2, 3	syl2anc 391	1 ⊢ (φ → (A𝑅𝐶 ↔ B𝑅𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   = wceq 1242   class class class wbr 3755

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756

This theorem is referenced by:  breq123d  3769  3brtr3d  3784  3brtr4d  3785  pocl  4031  csbcnvg  4462  cnvpom  4803  sbcfung  4868  isoeq1  5384  isocnv  5394  isotr  5399  caovordig  5608  caovordg  5610  caovord2d  5612  caovord  5614  ofrfval  5662  ofrval  5664  ofrfval2  5669  caofref  5674  fundmeng  6223  xpsneng  6232  xpcomeng  6238  xpdom2g  6242  nqtri3or  6380  ltsonq  6382  ltanqg  6384  ltmnqg  6385  lt2addnq  6388  prarloclemarch  6401  ltrnqg  6403  prarloclemlt  6475  addlocprlemgt  6517  mullocprlem  6549  addextpr  6591  recexprlemss1l  6605  recexprlemss1u  6606  recexpr  6608  lttrsr  6650  ltposr  6651  ltsosr  6652  ltasrg  6658  aptisr  6665  mulextsr1lem  6666  mulextsr1  6667  axpre-ltirr  6726  axpre-ltadd  6730  axpre-mulgt0  6731  axpre-mulext  6732  ltadd2  7172  ltadd1  7179  leadd2  7181  reapval  7320  reapmul1  7339  remulext2  7344  apreim  7347  apirr  7349  apsym  7350  apcotr  7351  apadd1  7352  apadd2  7353  apneg  7355  mulext1  7356  mulext2  7357  apti  7366  apmul1  7506  ltmul2  7563  lemul2  7564  ltdiv1  7575  ltdiv2  7594  ledivdiv  7597  lediv2  7598  qapne  8310  frecfzennn  8844  leexp1a  8923  bernneq  8982  cjap  9094