Theorem breq12d 3768

Description: Equality deduction for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 9-Jul-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
breq1d.1	⊢ (φ → A = B)
breq12d.2	⊢ (φ → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
breq12d	⊢ (φ → (A𝑅𝐶 ↔ B𝑅𝐷))

Proof of Theorem breq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1d.1	. 2 ⊢ (φ → A = B)
2		breq12d.2	. 2 ⊢ (φ → 𝐶 = 𝐷)
3		breq12 3760	. 2 ⊢ ((A = B ∧ 𝐶 = 𝐷) → (A𝑅𝐶 ↔ B𝑅𝐷))
4	1, 2, 3	syl2anc 391	1 ⊢ (φ → (A𝑅𝐶 ↔ B𝑅𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   = wceq 1242   class class class wbr 3755

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756

This theorem is referenced by:  breq123d  3769  3brtr3d  3784  3brtr4d  3785  pocl  4031  csbcnvg  4462  cnvpom  4803  sbcfung  4868  isoeq1  5384  isocnv  5394  isotr  5399  caovordig  5608  caovordg  5610  caovord2d  5612  caovord  5614  ofrfval  5662  ofrval  5664  ofrfval2  5669  caofref  5674  fundmeng  6223  xpsneng  6232  xpcomeng  6238  xpdom2g  6242  nqtri3or  6380  ltsonq  6382  ltanqg  6384  ltmnqg  6385  lt2addnq  6388  prarloclemarch  6401  ltrnqg  6403  ltnnnq  6406  prarloclemlt  6476  addlocprlemgt  6517  mullocprlem  6551  addextpr  6593  recexprlemss1l  6607  recexprlemss1u  6608  recexpr  6610  cauappcvgprlemcan  6616  cauappcvgprlemm  6617  cauappcvgprlemdisj  6623  cauappcvgprlemloc  6624  cauappcvgprlemladdru  6628  cauappcvgprlemladdrl  6629  cauappcvgprlem1  6631  cauappcvgprlemlim  6633  cauappcvgpr  6634  caucvgprlemnkj  6637  caucvgprlemnbj  6638  caucvgprlemdisj  6645  caucvgprlemloc  6646  caucvgprlemcl  6647  caucvgprlemladdrl  6649  caucvgprlem1  6650  caucvgpr  6653  lttrsr  6690  ltposr  6691  ltsosr  6692  ltasrg  6698  aptisr  6705  mulextsr1lem  6706  mulextsr1  6707  axpre-ltirr  6766  axpre-ltadd  6770  axpre-mulgt0  6771  axpre-mulext  6772  ltadd2  7212  ltadd1  7219  leadd2  7221  reapval  7360  reapmul1  7379  remulext2  7384  apreim  7387  apirr  7389  apsym  7390  apcotr  7391  apadd1  7392  apadd2  7393  apneg  7395  mulext1  7396  mulext2  7397  apti  7406  apmul1  7546  ltmul2  7603  lemul2  7604  ltdiv1  7615  ltdiv2  7634  ledivdiv  7637  lediv2  7638  qapne  8350  frecfzennn  8884  leexp1a  8963  bernneq  9022  cjap  9134