ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isocnv Structured version   GIF version

Theorem isocnv 5394
Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isocnv (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (B, A))

Proof of Theorem isocnv
Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5082 . . . 4 (𝐻:A1-1-ontoB𝐻:B1-1-ontoA)
21adantr 261 . . 3 ((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) → 𝐻:B1-1-ontoA)
3 f1ocnvfv2 5361 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB z B) → (𝐻‘(𝐻z)) = z)
43adantrr 448 . . . . . . 7 ((𝐻:A1-1-ontoB (z B w B)) → (𝐻‘(𝐻z)) = z)
5 f1ocnvfv2 5361 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB w B) → (𝐻‘(𝐻w)) = w)
65adantrl 447 . . . . . . 7 ((𝐻:A1-1-ontoB (z B w B)) → (𝐻‘(𝐻w)) = w)
74, 6breq12d 3768 . . . . . 6 ((𝐻:A1-1-ontoB (z B w B)) → ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻‘(𝐻w)) ↔ z𝑆w))
87adantlr 446 . . . . 5 (((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) (z B w B)) → ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻‘(𝐻w)) ↔ z𝑆w))
9 f1of 5069 . . . . . . 7 (𝐻:B1-1-ontoA𝐻:BA)
101, 9syl 14 . . . . . 6 (𝐻:A1-1-ontoB𝐻:BA)
11 ffvelrn 5243 . . . . . . . . 9 ((𝐻:BA z B) → (𝐻z) A)
12 ffvelrn 5243 . . . . . . . . 9 ((𝐻:BA w B) → (𝐻w) A)
1311, 12anim12dan 532 . . . . . . . 8 ((𝐻:BA (z B w B)) → ((𝐻z) A (𝐻w) A))
14 breq1 3758 . . . . . . . . . . 11 (x = (𝐻z) → (x𝑅y ↔ (𝐻z)𝑅y))
15 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . 12 (x = (𝐻z) → (𝐻x) = (𝐻‘(𝐻z)))
1615breq1d 3765 . . . . . . . . . . 11 (x = (𝐻z) → ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻y)))
1714, 16bibi12d 224 . . . . . . . . . 10 (x = (𝐻z) → ((x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)) ↔ ((𝐻z)𝑅y ↔ (𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻y))))
18 bicom 128 . . . . . . . . . 10 (((𝐻z)𝑅y ↔ (𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻y)) ↔ ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻z)𝑅y))
1917, 18syl6bb 185 . . . . . . . . 9 (x = (𝐻z) → ((x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)) ↔ ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻z)𝑅y)))
20 fveq2 5121 . . . . . . . . . . 11 (y = (𝐻w) → (𝐻y) = (𝐻‘(𝐻w)))
2120breq2d 3767 . . . . . . . . . 10 (y = (𝐻w) → ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻‘(𝐻w))))
22 breq2 3759 . . . . . . . . . 10 (y = (𝐻w) → ((𝐻z)𝑅y ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w)))
2321, 22bibi12d 224 . . . . . . . . 9 (y = (𝐻w) → (((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻z)𝑅y) ↔ ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻‘(𝐻w)) ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w))))
2419, 23rspc2va 2657 . . . . . . . 8 ((((𝐻z) A (𝐻w) A) x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) → ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻‘(𝐻w)) ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w)))
2513, 24sylan 267 . . . . . . 7 (((𝐻:BA (z B w B)) x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) → ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻‘(𝐻w)) ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w)))
2625an32s 502 . . . . . 6 (((𝐻:BA x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) (z B w B)) → ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻‘(𝐻w)) ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w)))
2710, 26sylanl1 382 . . . . 5 (((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) (z B w B)) → ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻‘(𝐻w)) ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w)))
288, 27bitr3d 179 . . . 4 (((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) (z B w B)) → (z𝑆w ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w)))
2928ralrimivva 2395 . . 3 ((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) → z B w B (z𝑆w ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w)))
302, 29jca 290 . 2 ((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) → (𝐻:B1-1-ontoA z B w B (z𝑆w ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w))))
31 df-isom 4854 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) ↔ (𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))))
32 df-isom 4854 . 2 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (B, A) ↔ (𝐻:B1-1-ontoA z B w B (z𝑆w ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w))))
3330, 31, 323imtr4i 190 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (B, A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   class class class wbr 3755  ccnv 4287  wf 4841  1-1-ontowf1o 4844  cfv 4845   Isom wiso 4846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-isom 4854
This theorem is referenced by:  isores1  5397  isose  5403  isopo  5405  isoso  5407
  Copyright terms: Public domain W3C validator