ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isocnv Structured version   GIF version

Theorem isocnv 5364
Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isocnv (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (B, A))

Proof of Theorem isocnv
Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5052 . . . 4 (𝐻:A1-1-ontoB𝐻:B1-1-ontoA)
21adantr 261 . . 3 ((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) → 𝐻:B1-1-ontoA)
3 f1ocnvfv2 5331 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB z B) → (𝐻‘(𝐻z)) = z)
43adantrr 448 . . . . . . 7 ((𝐻:A1-1-ontoB (z B w B)) → (𝐻‘(𝐻z)) = z)
5 f1ocnvfv2 5331 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1-ontoB w B) → (𝐻‘(𝐻w)) = w)
65adantrl 447 . . . . . . 7 ((𝐻:A1-1-ontoB (z B w B)) → (𝐻‘(𝐻w)) = w)
74, 6breq12d 3740 . . . . . 6 ((𝐻:A1-1-ontoB (z B w B)) → ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻‘(𝐻w)) ↔ z𝑆w))
87adantlr 446 . . . . 5 (((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) (z B w B)) → ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻‘(𝐻w)) ↔ z𝑆w))
9 f1of 5039 . . . . . . 7 (𝐻:B1-1-ontoA𝐻:BA)
101, 9syl 14 . . . . . 6 (𝐻:A1-1-ontoB𝐻:BA)
11 ffvelrn 5213 . . . . . . . . 9 ((𝐻:BA z B) → (𝐻z) A)
12 ffvelrn 5213 . . . . . . . . 9 ((𝐻:BA w B) → (𝐻w) A)
1311, 12anim12dan 517 . . . . . . . 8 ((𝐻:BA (z B w B)) → ((𝐻z) A (𝐻w) A))
14 breq1 3730 . . . . . . . . . . 11 (x = (𝐻z) → (x𝑅y ↔ (𝐻z)𝑅y))
15 fveq2 5091 . . . . . . . . . . . 12 (x = (𝐻z) → (𝐻x) = (𝐻‘(𝐻z)))
1615breq1d 3737 . . . . . . . . . . 11 (x = (𝐻z) → ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻y)))
1714, 16bibi12d 224 . . . . . . . . . 10 (x = (𝐻z) → ((x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)) ↔ ((𝐻z)𝑅y ↔ (𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻y))))
18 bicom 128 . . . . . . . . . 10 (((𝐻z)𝑅y ↔ (𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻y)) ↔ ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻z)𝑅y))
1917, 18syl6bb 185 . . . . . . . . 9 (x = (𝐻z) → ((x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)) ↔ ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻z)𝑅y)))
20 fveq2 5091 . . . . . . . . . . 11 (y = (𝐻w) → (𝐻y) = (𝐻‘(𝐻w)))
2120breq2d 3739 . . . . . . . . . 10 (y = (𝐻w) → ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻‘(𝐻w))))
22 breq2 3731 . . . . . . . . . 10 (y = (𝐻w) → ((𝐻z)𝑅y ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w)))
2321, 22bibi12d 224 . . . . . . . . 9 (y = (𝐻w) → (((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻z)𝑅y) ↔ ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻‘(𝐻w)) ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w))))
2419, 23rspc2va 2631 . . . . . . . 8 ((((𝐻z) A (𝐻w) A) x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) → ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻‘(𝐻w)) ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w)))
2513, 24sylan 267 . . . . . . 7 (((𝐻:BA (z B w B)) x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) → ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻‘(𝐻w)) ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w)))
2625an32s 487 . . . . . 6 (((𝐻:BA x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) (z B w B)) → ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻‘(𝐻w)) ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w)))
2710, 26sylanl1 382 . . . . 5 (((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) (z B w B)) → ((𝐻‘(𝐻z))𝑆(𝐻‘(𝐻w)) ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w)))
288, 27bitr3d 179 . . . 4 (((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) (z B w B)) → (z𝑆w ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w)))
2928ralrimivva 2370 . . 3 ((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) → z B w B (z𝑆w ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w)))
302, 29jca 290 . 2 ((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) → (𝐻:B1-1-ontoA z B w B (z𝑆w ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w))))
31 df-isom 4826 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) ↔ (𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))))
32 df-isom 4826 . 2 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (B, A) ↔ (𝐻:B1-1-ontoA z B w B (z𝑆w ↔ (𝐻z)𝑅(𝐻w))))
3330, 31, 323imtr4i 190 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (B, A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1223   wcel 1366  wral 2275   class class class wbr 3727  ccnv 4259  wf 4813  1-1-ontowf1o 4816  cfv 4817   Isom wiso 4818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-sep 3838  ax-pow 3890  ax-pr 3907
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1226  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ral 2280  df-rex 2281  df-v 2528  df-sbc 2733  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-br 3728  df-opab 3782  df-id 3993  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-isom 4826
This theorem is referenced by:  isores1  5367  isose  5373  isopo  5375  isoso  5377
  Copyright terms: Public domain W3C validator