Theorem breq2 3759

Description: Equality theorem for a binary relation. (Contributed by NM, 31-Dec-1993.)

Assertion

Ref	Expression
breq2	⊢ (A = B → (𝐶𝑅A ↔ 𝐶𝑅B))

Proof of Theorem breq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 3541	. . 3 ⊢ (A = B → ⟨𝐶, A⟩ = ⟨𝐶, B⟩)
2	1	eleq1d 2103	. 2 ⊢ (A = B → (⟨𝐶, A⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝐶, B⟩ ∈ 𝑅))
3		df-br 3756	. 2 ⊢ (𝐶𝑅A ↔ ⟨𝐶, A⟩ ∈ 𝑅)
4		df-br 3756	. 2 ⊢ (𝐶𝑅B ↔ ⟨𝐶, B⟩ ∈ 𝑅)
5	2, 3, 4	3bitr4g 212	1 ⊢ (A = B → (𝐶𝑅A ↔ 𝐶𝑅B))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756

This theorem is referenced by:  breq12  3760  breq2i  3763  breq2d  3767  nbrne1  3772  pocl  4031  swopolem  4033  swopo  4034  sowlin  4048  sotricim  4051  sotritrieq  4053  seex  4057  vtoclr  4331  posng  4355  brcog  4445  brcogw  4447  opelcnvg  4458  dfdmf  4471  breldmg  4484  dfrnf  4518  dmcoss  4544  resieq  4565  dfres2  4601  elimag  4615  elreimasng  4634  elimasn  4635  intirr  4654  poirr2  4660  poltletr  4668  dffun6f  4858  dffun4f  4861  fun11  4909  brprcneu  5114  fv3  5140  tz6.12c  5146  relelfvdm  5148  funbrfv  5155  fnbrfvb  5157  funfvdm2f  5181  fndmdif  5215  dff3im  5255  fmptco  5273  foeqcnvco  5373  isorel  5391  isocnv  5394  isotr  5399  isopolem  5404  isosolem  5406  f1oiso  5408  f1oiso2  5409  caovordig  5608  caovordg  5610  caovord  5614  caofrss  5677  caoftrn  5678  poxp  5794  tposoprab  5836  ertr  6057  ecopovsym  6138  ecopovtrn  6139  ecopovsymg  6141  ecopovtrng  6142  th3qlem2  6145  domeng  6169  eqeng  6182  snfig  6227  nnfi  6251  ssfiexmid  6254  nqtri3or  6380  ltsonq  6382  ltanqg  6384  ltmnqg  6385  ltexnqq  6391  nsmallnqq  6395  subhalfnqq  6397  ltbtwnnqq  6398  prarloclemarch2  6402  nqnq0pi  6420  prcdnql  6466  prcunqu  6467  prnminu  6471  genpcdl  6502  genprndl  6504  genprndu  6505  genpdisj  6506  nqprm  6525  nqprrnd  6526  nqprdisj  6527  nqprloc  6528  nqprlu  6530  1pr  6534  addnqpr1lemru  6538  addnqpr1lemil  6539  addnqpr1lemiu  6540  addnqpr1  6541  1idpru  6565  recexprlemelu  6593  recexprlemm  6594  recexprlemloc  6601  recexprlem1ssl  6603  recexprlemss1u  6606  lttrsr  6650  ltsosr  6652  ltasrg  6658  recexgt0sr  6661  mulgt0sr  6664  aptisr  6665  mulextsr1  6667  axprecex  6724  axpre-ltwlin  6727  axpre-lttrn  6728  axpre-apti  6729  axpre-ltadd  6730  axpre-mulgt0  6731  axpre-mulext  6732  ltxrlt  6842  lttri3  6855  ltne  6860  eqle  6866  reapti  7323  apreim  7347  squeeze0  7611  nnge1  7678  nn2ge  7687  nn1gt1  7688  nnsub  7693  nominpos  7899  nn0ge0  7943  elnnnn0b  7962  nn0ge2m1nn  7978  zdclt  8054  peano2uz2  8081  peano5uzti  8082  dfuzi  8084  uzind  8085  uzind3  8087  eluz1  8213  uzind4  8267  indstr  8272  indstr2  8282  ublbneg  8284  elrp  8320  mnfltxr  8437  nn0pnfge0  8442  xrltnsym  8444  xrlttr  8446  xrltso  8447  xrlttri3  8448  xrltne  8459  ngtmnft  8461  xrrebnd  8462  z2ge  8469  xltnegi  8478  ixxval  8495  elixx1  8496  elioo2  8520  iccid  8524  iccsupr  8565  repos  8569  fzval  8606  elfz1  8609  fzm1  8692  expival  8871  expge0  8905  expge1  8906