ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isose Structured version   GIF version

Theorem isose 5403
Description: An isomorphism preserves set-like relations. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
isose (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) → (𝑅 Se A𝑆 Se B))

Proof of Theorem isose
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B))
2 isof1o 5390 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) → 𝐻:A1-1-ontoB)
3 f1ofun 5071 . . . 4 (𝐻:A1-1-ontoB → Fun 𝐻)
4 vex 2554 . . . . 5 x V
54funimaex 4927 . . . 4 (Fun 𝐻 → (𝐻x) V)
62, 3, 53syl 17 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) → (𝐻x) V)
71, 6isoselem 5402 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) → (𝑅 Se A𝑆 Se B))
8 isocnv 5394 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (B, A))
9 isof1o 5390 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (B, A) → 𝐻:B1-1-ontoA)
10 f1ofun 5071 . . . 4 (𝐻:B1-1-ontoA → Fun 𝐻)
114funimaex 4927 . . . 4 (Fun 𝐻 → (𝐻x) V)
128, 9, 10, 114syl 18 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) → (𝐻x) V)
138, 12isoselem 5402 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) → (𝑆 Se B𝑅 Se A))
147, 13impbid 120 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) → (𝑅 Se A𝑆 Se B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   wcel 1390  Vcvv 2551   Se wse 4055  ccnv 4287  cima 4291  Fun wfun 4839  1-1-ontowf1o 4844   Isom wiso 4846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-se 4056  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-isom 4854
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator