Theorem breq2d 3767

Description: Equality deduction for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.)

Hypothesis

Ref	Expression
breq1d.1	⊢ (φ → A = B)

Assertion

Ref	Expression
breq2d	⊢ (φ → (𝐶𝑅A ↔ 𝐶𝑅B))

Proof of Theorem breq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1d.1	. 2 ⊢ (φ → A = B)
2		breq2 3759	. 2 ⊢ (A = B → (𝐶𝑅A ↔ 𝐶𝑅B))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (φ → (𝐶𝑅A ↔ 𝐶𝑅B))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   = wceq 1242   class class class wbr 3755

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756

This theorem is referenced by:  breqtrd  3779  sbcbr1g  3806  pofun  4040  csbfv12g  5152  isorel  5391  isocnv  5394  isotr  5399  caovordig  5608  caovordg  5610  caovord  5614  xporderlem  5793  th3qlem2  6145  enqdc1  6346  ltanqg  6384  ltmnqg  6385  archnqq  6400  prarloclemarch2  6402  prloc  6473  addnqprllem  6510  addlocprlemgt  6517  appdivnq  6542  mulnqprl  6547  1idprl  6564  ltexprlemloc  6579  ltposr  6651  ltasrg  6658  mulgt0sr  6664  mulextsr1lem  6666  mulextsr1  6667  pitonnlem2  6703  pitonn  6704  axpre-ltadd  6730  axpre-mulgt0  6731  axpre-mulext  6732  axarch  6733  ltsubadd2  7183  lesubadd2  7185  ltaddsub  7186  leaddsub  7188  ltaddpos2  7203  posdif  7205  lesub1  7206  ltsub1  7208  ltnegcon1  7213  lenegcon1  7216  addge02  7223  leaddle0  7227  apreap  7331  prodgt02  7560  prodge02  7562  ltmulgt12  7572  lemulge12  7574  ltdivmul  7583  ledivmul  7584  ltdivmul2  7585  lt2mul2div  7586  ledivmul2  7587  ltrec  7590  ltrec1  7595  ltdiv23  7599  lediv23  7600  nnge1  7678  halfpos  7893  lt2halves  7897  addltmul  7898  avglt2  7901  avgle2  7903  nnrecl  7915  zltlem1  8037  gtndiv  8071  qapne  8310  xltnegi  8478  divelunit  8600  eluzgtdifelfzo  8783  frec2uzltd  8830  frec2uzlt2d  8831  frec2uzf1od  8833  expnbnd  8985