ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  breq1 Structured version   GIF version

Theorem breq1 3758
Description: Equality theorem for a binary relation. (Contributed by NM, 31-Dec-1993.)
Assertion
Ref Expression
breq1 (A = B → (A𝑅𝐶B𝑅𝐶))

Proof of Theorem breq1
StepHypRef Expression
1 opeq1 3540 . . 3 (A = B → ⟨A, 𝐶⟩ = ⟨B, 𝐶⟩)
21eleq1d 2103 . 2 (A = B → (⟨A, 𝐶 𝑅 ↔ ⟨B, 𝐶 𝑅))
3 df-br 3756 . 2 (A𝑅𝐶 ↔ ⟨A, 𝐶 𝑅)
4 df-br 3756 . 2 (B𝑅𝐶 ↔ ⟨B, 𝐶 𝑅)
52, 3, 43bitr4g 212 1 (A = B → (A𝑅𝐶B𝑅𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756
This theorem is referenced by:  breq12  3760  breq1i  3762  breq1d  3765  nbrne2  3773  brab1  3800  pocl  4031  swopolem  4033  swopo  4034  issod  4047  sowlin  4048  sotritrieq  4053  vtoclr  4331  brcog  4445  brcogw  4447  opelcnvg  4458  dfdmf  4471  eldmg  4473  dfrnf  4518  dfres2  4601  imasng  4633  coi1  4779  dffun6f  4858  funmo  4860  fun11  4909  fveq2  5121  funfveu  5131  sefvex  5139  nfunsn  5150  fvmptss2  5190  f1ompt  5263  fmptco  5273  dff13  5350  foeqcnvco  5373  isorel  5391  isocnv  5394  isotr  5399  isoini  5400  isopolem  5404  isosolem  5406  f1oiso  5408  f1oiso2  5409  caovordig  5608  caovordg  5610  caovord3d  5613  caovord  5614  caovord3  5616  caofrss  5677  caoftrn  5678  poxp  5794  brtpos2  5807  rntpos  5813  tpostpos  5820  ertr  6057  ecopovsym  6138  ecopovtrn  6139  ecopovsymg  6141  ecopovtrng  6142  th3qlem2  6145  isfi  6177  en0  6211  en1  6215  en1bg  6216  endisj  6234  xpcomco  6236  nqtri3or  6380  ltsonq  6382  ltanqg  6384  ltmnqg  6385  ltexnqq  6391  subhalfnqq  6397  ltbtwnnqq  6398  archnqq  6400  nqnq0pi  6420  prcdnql  6466  prcunqu  6467  prnmaxl  6470  genpcuu  6503  genprndl  6504  genprndu  6505  nqprm  6525  nqprrnd  6526  nqprdisj  6527  nqprloc  6528  addnqpr1lemrl  6537  addnqpr1lemil  6539  addnqpr1lemiu  6540  prmuloc2  6546  1idprl  6564  recexprlemell  6592  recexprlemm  6594  recexprlemdisj  6600  recexprlemloc  6601  recexprlem1ssu  6604  recexprlemss1l  6605  aptiprlemu  6610  archpr  6613  lttrsr  6650  ltsosr  6652  1ne0sr  6654  ltasrg  6658  aptisr  6665  mulextsr1  6667  archsr  6668  axpre-ltwlin  6727  axpre-lttrn  6728  axpre-apti  6729  axpre-ltadd  6730  axpre-mulext  6732  ltxrlt  6842  lttri3  6855  lt0ne0d  7260  reapti  7323  apreim  7347  recexap  7376  nnsub  7693  nominpos  7899  nn0n0n1ge2b  8056  zextle  8067  fzind  8089  btwnz  8093  uzval  8211  ublbneg  8284  lbzbi  8287  qreccl  8311  xrltnsym  8444  xrlttr  8446  xrltso  8447  xrlttri3  8448  nltpnft  8460  xrrebnd  8462  xltnegi  8478  ixxval  8495  elixx1  8496  elioo2  8520  iccid  8524  fzval  8606  elfz1  8609  expcl2lemap  8881  expclzaplem  8893  expclzap  8894  expap0i  8901
  Copyright terms: Public domain W3C validator