ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isocnv Structured version   Unicode version

Theorem isocnv 5394
Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isocnv  H 
Isom  R ,  S  ,  `' H  Isom  S ,  R  ,

Proof of Theorem isocnv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5082 . . . 4  H : -1-1-onto->  `' H : -1-1-onto->
21adantr 261 . . 3  H : -1-1-onto->  R  H `  S H `
 `' H : -1-1-onto->
3 f1ocnvfv2 5361 . . . . . . . 8  H : -1-1-onto->  H `  `' H `
43adantrr 448 . . . . . . 7  H : -1-1-onto->  H `  `' H `
5 f1ocnvfv2 5361 . . . . . . . 8  H : -1-1-onto->  H `  `' H `
65adantrl 447 . . . . . . 7  H : -1-1-onto->  H `  `' H `
74, 6breq12d 3768 . . . . . 6  H : -1-1-onto->  H `  `' H `  S H `
 `' H `  S
87adantlr 446 . . . . 5  H : -1-1-onto->  R  H `
 S H `  H `
 `' H `  S H `  `' H `  S
9 f1of 5069 . . . . . . 7  `' H : -1-1-onto->  `' H : -->
101, 9syl 14 . . . . . 6  H : -1-1-onto->  `' H : -->
11 ffvelrn 5243 . . . . . . . . 9  `' H : -->  `' H `
12 ffvelrn 5243 . . . . . . . . 9  `' H : -->  `' H `
1311, 12anim12dan 532 . . . . . . . 8  `' H : -->  `' H `  `' H `
14 breq1 3758 . . . . . . . . . . 11  `' H `  R  `' H `  R
15 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . 12  `' H `  H `  H `  `' H `
1615breq1d 3765 . . . . . . . . . . 11  `' H `  H `  S H `  H `  `' H `  S H `
1714, 16bibi12d 224 . . . . . . . . . 10  `' H `  R  H `
 S H `  `' H `  R  H `
 `' H `  S H `
18 bicom 128 . . . . . . . . . 10  `' H `  R  H `
 `' H `  S H `  H `  `' H `  S H `  `' H `  R
1917, 18syl6bb 185 . . . . . . . . 9  `' H `  R  H `
 S H `  H `  `' H `  S H `  `' H `  R
20 fveq2 5121 . . . . . . . . . . 11  `' H `  H `  H `  `' H `
2120breq2d 3767 . . . . . . . . . 10  `' H `  H `  `' H `  S H `
 H `
 `' H `  S H `  `' H `
22 breq2 3759 . . . . . . . . . 10  `' H `  `' H `  R  `' H `  R `' H `
2321, 22bibi12d 224 . . . . . . . . 9  `' H `  H `  `' H `  S H `
 `' H `  R  H `  `' H `  S H `
 `' H `  `' H `  R `' H `
2419, 23rspc2va 2657 . . . . . . . 8  `' H `  `' H `  R  H `  S H `
 H `  `' H `  S H `
 `' H `  `' H `  R `' H `
2513, 24sylan 267 . . . . . . 7  `' H :
-->  R  H `
 S H `  H `  `' H `  S H `
 `' H `  `' H `  R `' H `
2625an32s 502 . . . . . 6  `' H :
-->  R  H `  S H `
 H `  `' H `  S H `
 `' H `  `' H `  R `' H `
2710, 26sylanl1 382 . . . . 5  H : -1-1-onto->  R  H `
 S H `  H `
 `' H `  S H `  `' H `  `' H `  R `' H `
288, 27bitr3d 179 . . . 4  H : -1-1-onto->  R  H `
 S H `  S  `' H `  R `' H `
2928ralrimivva 2395 . . 3  H : -1-1-onto->  R  H `  S H `
 S  `' H `  R `' H `
302, 29jca 290 . 2  H : -1-1-onto->  R  H `  S H `
 `' H : -1-1-onto->  S  `' H `  R `' H `
31 df-isom 4854 . 2  H 
Isom  R ,  S  ,  H : -1-1-onto->  R  H `
 S H `
32 df-isom 4854 . 2  `' H  Isom  S ,  R  ,  `' H :
-1-1-onto->  S  `' H `  R `' H `
3330, 31, 323imtr4i 190 1  H 
Isom  R ,  S  ,  `' H  Isom  S ,  R  ,
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   class class class wbr 3755   `'ccnv 4287   -->wf 4841   -1-1-onto->wf1o 4844   ` cfv 4845    Isom wiso 4846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-isom 4854
This theorem is referenced by:  isores1  5397  isose  5403  isopo  5405  isoso  5407
  Copyright terms: Public domain W3C validator