ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apmul1 Structured version   GIF version

Theorem apmul1 7506
Description: Multiplication of both sides of complex apartness by a complex number apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
apmul1 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))

Proof of Theorem apmul1
StepHypRef Expression
1 simp1 903 . . . . . 6 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → A ℂ)
2 simp3l 931 . . . . . 6 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → 𝐶 ℂ)
3 simp3r 932 . . . . . . 7 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → 𝐶 # 0)
42, 3recclapd 7499 . . . . . 6 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (1 / 𝐶) ℂ)
51, 2, 4mulassd 6808 . . . . 5 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → ((A · 𝐶) · (1 / 𝐶)) = (A · (𝐶 · (1 / 𝐶))))
62, 3recidapd 7501 . . . . . 6 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (𝐶 · (1 / 𝐶)) = 1)
76oveq2d 5471 . . . . 5 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (A · (𝐶 · (1 / 𝐶))) = (A · 1))
81mulid1d 6802 . . . . 5 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (A · 1) = A)
95, 7, 83eqtrd 2073 . . . 4 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → ((A · 𝐶) · (1 / 𝐶)) = A)
10 simp2 904 . . . . . 6 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → B ℂ)
1110, 2, 4mulassd 6808 . . . . 5 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → ((B · 𝐶) · (1 / 𝐶)) = (B · (𝐶 · (1 / 𝐶))))
126oveq2d 5471 . . . . 5 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (B · (𝐶 · (1 / 𝐶))) = (B · 1))
1310mulid1d 6802 . . . . 5 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (B · 1) = B)
1411, 12, 133eqtrd 2073 . . . 4 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → ((B · 𝐶) · (1 / 𝐶)) = B)
159, 14breq12d 3768 . . 3 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (((A · 𝐶) · (1 / 𝐶)) # ((B · 𝐶) · (1 / 𝐶)) ↔ A # B))
161, 2mulcld 6805 . . . 4 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (A · 𝐶) ℂ)
1710, 2mulcld 6805 . . . 4 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (B · 𝐶) ℂ)
18 mulext1 7356 . . . 4 (((A · 𝐶) (B · 𝐶) (1 / 𝐶) ℂ) → (((A · 𝐶) · (1 / 𝐶)) # ((B · 𝐶) · (1 / 𝐶)) → (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
1916, 17, 4, 18syl3anc 1134 . . 3 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (((A · 𝐶) · (1 / 𝐶)) # ((B · 𝐶) · (1 / 𝐶)) → (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
2015, 19sylbird 159 . 2 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (A # B → (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
21 mulext1 7356 . . 3 ((A B 𝐶 ℂ) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) → A # B))
22213adant3r 1131 . 2 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) → A # B))
2320, 22impbid 120 1 ((A B (𝐶 𝐶 # 0)) → (A # B ↔ (A · 𝐶) # (B · 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6669  0cc0 6671  1c1 6672   · cmul 6676   # cap 7325   / cdiv 7393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394
This theorem is referenced by:  divap1d  7518  qapne  8310
  Copyright terms: Public domain W3C validator