Theorem qapne 8350

Description: Apartness is equivalent to not equal for rationals. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
qapne	⊢ ((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) → (A # B ↔ A ≠ B))

Proof of Theorem qapne

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 8333	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℚ ↔ ∃z ∈ ℤ ∃w ∈ ℕ B = (z / w))
2	1	biimpi 113	. . 3 ⊢ (B ∈ ℚ → ∃z ∈ ℤ ∃w ∈ ℕ B = (z / w))
3	2	adantl 262	. 2 ⊢ ((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) → ∃z ∈ ℤ ∃w ∈ ℕ B = (z / w))
4		simplll 485	. . . . . 6 ⊢ ((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) → A ∈ ℚ)
5		elq 8333	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℚ ↔ ∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ A = (x / y))
6	4, 5	sylib 127	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) → ∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ A = (x / y))
7		simplrl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → x ∈ ℤ)
8	7	zcnd 8137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → x ∈ ℂ)
9		simprl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → z ∈ ℤ)
10	9	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → z ∈ ℤ)
11	10	zcnd 8137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → z ∈ ℂ)
12		simprr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → w ∈ ℕ)
13	12	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → w ∈ ℕ)
14	13	nncnd 7709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → w ∈ ℂ)
15		nnap0 7724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (w ∈ ℕ → w # 0)
16	13, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → w # 0)
17	11, 14, 16	divclapd 7547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (z / w) ∈ ℂ)
18		simplrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → y ∈ ℕ)
19	18	nncnd 7709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → y ∈ ℂ)
20	17, 19	mulcld 6845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → ((z / w) · y) ∈ ℂ)
21		nnap0 7724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ℕ → y # 0)
22	18, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → y # 0)
23	19, 22	recclapd 7539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (1 / y) ∈ ℂ)
24	19, 22	recap0d 7540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (1 / y) # 0)
25		apmul1 7546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ ((z / w) · y) ∈ ℂ ∧ ((1 / y) ∈ ℂ ∧ (1 / y) # 0)) → (x # ((z / w) · y) ↔ (x · (1 / y)) # (((z / w) · y) · (1 / y))))
26	8, 20, 23, 24, 25	syl112anc 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (x # ((z / w) · y) ↔ (x · (1 / y)) # (((z / w) · y) · (1 / y))))
27	8, 19, 22	divrecapd 7550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (x / y) = (x · (1 / y)))
28	27	eqcomd 2042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (x · (1 / y)) = (x / y))
29	17, 19, 23	mulassd 6848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (((z / w) · y) · (1 / y)) = ((z / w) · (y · (1 / y))))
30	19, 22	recidapd 7541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (y · (1 / y)) = 1)
31	30	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → ((z / w) · (y · (1 / y))) = ((z / w) · 1))
32	17	mulid1d 6842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → ((z / w) · 1) = (z / w))
33	29, 31, 32	3eqtrd 2073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (((z / w) · y) · (1 / y)) = (z / w))
34	28, 33	breq12d 3768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → ((x · (1 / y)) # (((z / w) · y) · (1 / y)) ↔ (x / y) # (z / w)))
35	26, 34	bitrd 177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (x # ((z / w) · y) ↔ (x / y) # (z / w)))
36	13	nnzd 8135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → w ∈ ℤ)
37	7, 36	zmulcld 8142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (x · w) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 8137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (x · w) ∈ ℂ)
39	18	nnzd 8135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → y ∈ ℤ)
40	39, 10	zmulcld 8142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (y · z) ∈ ℤ)
41	40	zcnd 8137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (y · z) ∈ ℂ)
42	14, 16	recclapd 7539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (1 / w) ∈ ℂ)
43	14, 16	recap0d 7540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (1 / w) # 0)
44		apmul1 7546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x · w) ∈ ℂ ∧ (y · z) ∈ ℂ ∧ ((1 / w) ∈ ℂ ∧ (1 / w) # 0)) → ((x · w) # (y · z) ↔ ((x · w) · (1 / w)) # ((y · z) · (1 / w))))
45	38, 41, 42, 43, 44	syl112anc 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → ((x · w) # (y · z) ↔ ((x · w) · (1 / w)) # ((y · z) · (1 / w))))
46	8, 14, 42	mulassd 6848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → ((x · w) · (1 / w)) = (x · (w · (1 / w))))
47	14, 16	recidapd 7541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (w · (1 / w)) = 1)
48	47	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (x · (w · (1 / w))) = (x · 1))
49	8	mulid1d 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (x · 1) = x)
50	46, 48, 49	3eqtrd 2073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → ((x · w) · (1 / w)) = x)
51	50	breq1d 3765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (((x · w) · (1 / w)) # ((y · z) · (1 / w)) ↔ x # ((y · z) · (1 / w))))
52	45, 51	bitrd 177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → ((x · w) # (y · z) ↔ x # ((y · z) · (1 / w))))
53	19, 11, 42	mulassd 6848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → ((y · z) · (1 / w)) = (y · (z · (1 / w))))
54	11, 14, 16	divrecapd 7550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (z / w) = (z · (1 / w)))
55	54	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (y · (z / w)) = (y · (z · (1 / w))))
56	19, 17	mulcomd 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (y · (z / w)) = ((z / w) · y))
57	53, 55, 56	3eqtr2d 2075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → ((y · z) · (1 / w)) = ((z / w) · y))
58	57	breq2d 3767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (x # ((y · z) · (1 / w)) ↔ x # ((z / w) · y)))
59	52, 58	bitrd 177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → ((x · w) # (y · z) ↔ x # ((z / w) · y)))
60		simpr 103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → A = (x / y))
61		simpllr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → B = (z / w))
62	60, 61	breq12d 3768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (A # B ↔ (x / y) # (z / w)))
63	35, 59, 62	3bitr4d 209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → ((x · w) # (y · z) ↔ A # B))
64		zapne 8091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x · w) ∈ ℤ ∧ (y · z) ∈ ℤ) → ((x · w) # (y · z) ↔ (x · w) ≠ (y · z)))
65	37, 40, 64	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → ((x · w) # (y · z) ↔ (x · w) ≠ (y · z)))
66	63, 65	bitr3d 179	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (A # B ↔ (x · w) ≠ (y · z)))
67	63	notbid 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (¬ (x · w) # (y · z) ↔ ¬ A # B))
68		apti 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x · w) ∈ ℂ ∧ (y · z) ∈ ℂ) → ((x · w) = (y · z) ↔ ¬ (x · w) # (y · z)))
69	38, 41, 68	syl2anc 391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → ((x · w) = (y · z) ↔ ¬ (x · w) # (y · z)))
70		qcn 8345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ ℚ → A ∈ ℂ)
71	70	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → A ∈ ℂ)
72	71	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → A ∈ ℂ)
73	61, 17	eqeltrd 2111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → B ∈ ℂ)
74		apti 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A = B ↔ ¬ A # B))
75	72, 73, 74	syl2anc 391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (A = B ↔ ¬ A # B))
76	67, 69, 75	3bitr4d 209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → ((x · w) = (y · z) ↔ A = B))
77	76	necon3bid 2240	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → ((x · w) ≠ (y · z) ↔ A ≠ B))
78	66, 77	bitrd 177	. . . . . . 7 ⊢ ((((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) ∧ A = (x / y)) → (A # B ↔ A ≠ B))
79	78	ex 108	. . . . . 6 ⊢ (((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ)) → (A = (x / y) → (A # B ↔ A ≠ B)))
80	79	rexlimdvva 2434	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) → (∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ A = (x / y) → (A # B ↔ A ≠ B)))
81	6, 80	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) ∧ B = (z / w)) → (A # B ↔ A ≠ B))
82	81	ex 108	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) ∧ (z ∈ ℤ ∧ w ∈ ℕ)) → (B = (z / w) → (A # B ↔ A ≠ B)))
83	82	rexlimdvva 2434	. 2 ⊢ ((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) → (∃z ∈ ℤ ∃w ∈ ℕ B = (z / w) → (A # B ↔ A ≠ B)))
84	3, 83	mpd 13	1 ⊢ ((A ∈ ℚ ∧ B ∈ ℚ) → (A # B ↔ A ≠ B))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ≠ wne 2201  ∃wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  0cc0 6711  1c1 6712   · cmul 6716   # cap 7365   / cdiv 7433  ℕcn 7695  ℤcz 8021  ℚcq 8330

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-q 8331

This theorem is referenced by:  qreccl  8351  qdivcl  8352  irrmul  8356  qexpclz  8930