ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qapne Structured version   GIF version

Theorem qapne 8310
Description: Apartness is equivalent to not equal for rationals. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
qapne ((A B ℚ) → (A # BAB))

Proof of Theorem qapne
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 8293 . . . 4 (B ℚ ↔ z w B = (z / w))
21biimpi 113 . . 3 (B ℚ → z w B = (z / w))
32adantl 262 . 2 ((A B ℚ) → z w B = (z / w))
4 simplll 485 . . . . . 6 ((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) → A ℚ)
5 elq 8293 . . . . . 6 (A ℚ ↔ x y A = (x / y))
64, 5sylib 127 . . . . 5 ((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) → x y A = (x / y))
7 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → x ℤ)
87zcnd 8097 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → x ℂ)
9 simprl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A B ℚ) (z w ℕ)) → z ℤ)
109ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → z ℤ)
1110zcnd 8097 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → z ℂ)
12 simprr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A B ℚ) (z w ℕ)) → w ℕ)
1312ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → w ℕ)
1413nncnd 7669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → w ℂ)
15 nnap0 7684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (w ℕ → w # 0)
1613, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → w # 0)
1711, 14, 16divclapd 7507 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (z / w) ℂ)
18 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → y ℕ)
1918nncnd 7669 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → y ℂ)
2017, 19mulcld 6805 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → ((z / w) · y) ℂ)
21 nnap0 7684 . . . . . . . . . . . . . 14 (y ℕ → y # 0)
2218, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → y # 0)
2319, 22recclapd 7499 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (1 / y) ℂ)
2419, 22recap0d 7500 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (1 / y) # 0)
25 apmul1 7506 . . . . . . . . . . . 12 ((x ((z / w) · y) ((1 / y) (1 / y) # 0)) → (x # ((z / w) · y) ↔ (x · (1 / y)) # (((z / w) · y) · (1 / y))))
268, 20, 23, 24, 25syl112anc 1138 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (x # ((z / w) · y) ↔ (x · (1 / y)) # (((z / w) · y) · (1 / y))))
278, 19, 22divrecapd 7510 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (x / y) = (x · (1 / y)))
2827eqcomd 2042 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (x · (1 / y)) = (x / y))
2917, 19, 23mulassd 6808 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (((z / w) · y) · (1 / y)) = ((z / w) · (y · (1 / y))))
3019, 22recidapd 7501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (y · (1 / y)) = 1)
3130oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → ((z / w) · (y · (1 / y))) = ((z / w) · 1))
3217mulid1d 6802 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → ((z / w) · 1) = (z / w))
3329, 31, 323eqtrd 2073 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (((z / w) · y) · (1 / y)) = (z / w))
3428, 33breq12d 3768 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → ((x · (1 / y)) # (((z / w) · y) · (1 / y)) ↔ (x / y) # (z / w)))
3526, 34bitrd 177 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (x # ((z / w) · y) ↔ (x / y) # (z / w)))
3613nnzd 8095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → w ℤ)
377, 36zmulcld 8102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (x · w) ℤ)
3837zcnd 8097 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (x · w) ℂ)
3918nnzd 8095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → y ℤ)
4039, 10zmulcld 8102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (y · z) ℤ)
4140zcnd 8097 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (y · z) ℂ)
4214, 16recclapd 7499 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (1 / w) ℂ)
4314, 16recap0d 7500 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (1 / w) # 0)
44 apmul1 7506 . . . . . . . . . . . . 13 (((x · w) (y · z) ((1 / w) (1 / w) # 0)) → ((x · w) # (y · z) ↔ ((x · w) · (1 / w)) # ((y · z) · (1 / w))))
4538, 41, 42, 43, 44syl112anc 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → ((x · w) # (y · z) ↔ ((x · w) · (1 / w)) # ((y · z) · (1 / w))))
468, 14, 42mulassd 6808 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → ((x · w) · (1 / w)) = (x · (w · (1 / w))))
4714, 16recidapd 7501 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (w · (1 / w)) = 1)
4847oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (x · (w · (1 / w))) = (x · 1))
498mulid1d 6802 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (x · 1) = x)
5046, 48, 493eqtrd 2073 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → ((x · w) · (1 / w)) = x)
5150breq1d 3765 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (((x · w) · (1 / w)) # ((y · z) · (1 / w)) ↔ x # ((y · z) · (1 / w))))
5245, 51bitrd 177 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → ((x · w) # (y · z) ↔ x # ((y · z) · (1 / w))))
5319, 11, 42mulassd 6808 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → ((y · z) · (1 / w)) = (y · (z · (1 / w))))
5411, 14, 16divrecapd 7510 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (z / w) = (z · (1 / w)))
5554oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (y · (z / w)) = (y · (z · (1 / w))))
5619, 17mulcomd 6806 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (y · (z / w)) = ((z / w) · y))
5753, 55, 563eqtr2d 2075 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → ((y · z) · (1 / w)) = ((z / w) · y))
5857breq2d 3767 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (x # ((y · z) · (1 / w)) ↔ x # ((z / w) · y)))
5952, 58bitrd 177 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → ((x · w) # (y · z) ↔ x # ((z / w) · y)))
60 simpr 103 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → A = (x / y))
61 simpllr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → B = (z / w))
6260, 61breq12d 3768 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (A # B ↔ (x / y) # (z / w)))
6335, 59, 623bitr4d 209 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → ((x · w) # (y · z) ↔ A # B))
64 zapne 8051 . . . . . . . . . 10 (((x · w) (y · z) ℤ) → ((x · w) # (y · z) ↔ (x · w) ≠ (y · z)))
6537, 40, 64syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → ((x · w) # (y · z) ↔ (x · w) ≠ (y · z)))
6663, 65bitr3d 179 . . . . . . . 8 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (A # B ↔ (x · w) ≠ (y · z)))
6763notbid 591 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (¬ (x · w) # (y · z) ↔ ¬ A # B))
68 apti 7366 . . . . . . . . . . 11 (((x · w) (y · z) ℂ) → ((x · w) = (y · z) ↔ ¬ (x · w) # (y · z)))
6938, 41, 68syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → ((x · w) = (y · z) ↔ ¬ (x · w) # (y · z)))
70 qcn 8305 . . . . . . . . . . . . 13 (A ℚ → A ℂ)
7170ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . 12 (((A B ℚ) (z w ℕ)) → A ℂ)
7271ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → A ℂ)
7361, 17eqeltrd 2111 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → B ℂ)
74 apti 7366 . . . . . . . . . . 11 ((A B ℂ) → (A = B ↔ ¬ A # B))
7572, 73, 74syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (A = B ↔ ¬ A # B))
7667, 69, 753bitr4d 209 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → ((x · w) = (y · z) ↔ A = B))
7776necon3bid 2240 . . . . . . . 8 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → ((x · w) ≠ (y · z) ↔ AB))
7866, 77bitrd 177 . . . . . . 7 ((((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) A = (x / y)) → (A # BAB))
7978ex 108 . . . . . 6 (((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) (x y ℕ)) → (A = (x / y) → (A # BAB)))
8079rexlimdvva 2434 . . . . 5 ((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) → (x y A = (x / y) → (A # BAB)))
816, 80mpd 13 . . . 4 ((((A B ℚ) (z w ℕ)) B = (z / w)) → (A # BAB))
8281ex 108 . . 3 (((A B ℚ) (z w ℕ)) → (B = (z / w) → (A # BAB)))
8382rexlimdvva 2434 . 2 ((A B ℚ) → (z w B = (z / w) → (A # BAB)))
843, 83mpd 13 1 ((A B ℚ) → (A # BAB))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  wne 2201  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6669  0cc0 6671  1c1 6672   · cmul 6676   # cap 7325   / cdiv 7393  cn 7655  cz 7981  cq 8290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982  df-q 8291
This theorem is referenced by:  qreccl  8311  qdivcl  8312  irrmul  8316  qexpclz  8890
  Copyright terms: Public domain W3C validator