ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qreccl Structured version   GIF version

Theorem qreccl 8311
Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qreccl ((A A ≠ 0) → (1 / A) ℚ)

Proof of Theorem qreccl
Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 6736 . . . . . 6 1
2 1ap0 7334 . . . . . 6 1 # 0
31, 2div0api 7464 . . . . 5 (0 / 1) = 0
4 0z 7992 . . . . . 6 0
5 1nn 7666 . . . . . 6 1
6 znq 8295 . . . . . 6 ((0 1 ℕ) → (0 / 1) ℚ)
74, 5, 6mp2an 402 . . . . 5 (0 / 1)
83, 7eqeltrri 2108 . . . 4 0
9 qapne 8310 . . . 4 ((A 0 ℚ) → (A # 0 ↔ A ≠ 0))
108, 9mpan2 401 . . 3 (A ℚ → (A # 0 ↔ A ≠ 0))
1110biimpar 281 . 2 ((A A ≠ 0) → A # 0)
12 elq 8293 . . . 4 (A ℚ ↔ x y A = (x / y))
13 nnne0 7683 . . . . . . . 8 (y ℕ → y ≠ 0)
1413ancli 306 . . . . . . 7 (y ℕ → (y y ≠ 0))
15 nnz 8000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (y ℕ → y ℤ)
16 zapne 8051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((y 0 ℤ) → (y # 0 ↔ y ≠ 0))
1715, 4, 16sylancl 392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y ℕ → (y # 0 ↔ y ≠ 0))
1817adantl 262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((x y ℕ) → (y # 0 ↔ y ≠ 0))
1918pm5.32i 427 . . . . . . . . . . . . 13 (((x y ℕ) y # 0) ↔ ((x y ℕ) y ≠ 0))
2019anbi1i 431 . . . . . . . . . . . 12 ((((x y ℕ) y # 0) A = (x / y)) ↔ (((x y ℕ) y ≠ 0) A = (x / y)))
21 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . 13 (A = (x / y) → (A # 0 ↔ (x / y) # 0))
22 zcn 7986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (x ℤ → x ℂ)
23 nncn 7663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (y ℕ → y ℂ)
2422, 23anim12i 321 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((x y ℕ) → (x y ℂ))
25 divap0b 7404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((x y y # 0) → (x # 0 ↔ (x / y) # 0))
26253expa 1103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((x y ℂ) y # 0) → (x # 0 ↔ (x / y) # 0))
2724, 26sylan 267 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x y ℕ) y # 0) → (x # 0 ↔ (x / y) # 0))
2827bicomd 129 . . . . . . . . . . . . 13 (((x y ℕ) y # 0) → ((x / y) # 0 ↔ x # 0))
2921, 28sylan9bbr 436 . . . . . . . . . . . 12 ((((x y ℕ) y # 0) A = (x / y)) → (A # 0 ↔ x # 0))
3020, 29sylbir 125 . . . . . . . . . . 11 ((((x y ℕ) y ≠ 0) A = (x / y)) → (A # 0 ↔ x # 0))
31 simplll 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((x y ℕ) y ≠ 0) A = (x / y)) → x ℤ)
32 zapne 8051 . . . . . . . . . . . 12 ((x 0 ℤ) → (x # 0 ↔ x ≠ 0))
3331, 4, 32sylancl 392 . . . . . . . . . . 11 ((((x y ℕ) y ≠ 0) A = (x / y)) → (x # 0 ↔ x ≠ 0))
3430, 33bitrd 177 . . . . . . . . . 10 ((((x y ℕ) y ≠ 0) A = (x / y)) → (A # 0 ↔ x ≠ 0))
35 zmulcl 8033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((x y ℤ) → (x · y) ℤ)
3615, 35sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((x y ℕ) → (x · y) ℤ)
3736adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((x y ℕ) x ≠ 0) → (x · y) ℤ)
38 msqznn 8074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((x x ≠ 0) → (x · x) ℕ)
3938adantlr 446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((x y ℕ) x ≠ 0) → (x · x) ℕ)
4037, 39jca 290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x y ℕ) x ≠ 0) → ((x · y) (x · x) ℕ))
4140adantlr 446 . . . . . . . . . . . . 13 ((((x y ℕ) y ≠ 0) x ≠ 0) → ((x · y) (x · x) ℕ))
4241adantlr 446 . . . . . . . . . . . 12 (((((x y ℕ) y ≠ 0) A = (x / y)) x ≠ 0) → ((x · y) (x · x) ℕ))
4320anbi1i 431 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((x y ℕ) y # 0) A = (x / y)) x # 0) ↔ ((((x y ℕ) y ≠ 0) A = (x / y)) x # 0))
4433pm5.32i 427 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((x y ℕ) y ≠ 0) A = (x / y)) x # 0) ↔ ((((x y ℕ) y ≠ 0) A = (x / y)) x ≠ 0))
4543, 44bitri 173 . . . . . . . . . . . . 13 (((((x y ℕ) y # 0) A = (x / y)) x # 0) ↔ ((((x y ℕ) y ≠ 0) A = (x / y)) x ≠ 0))
46 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (A = (x / y) → (1 / A) = (1 / (x / y)))
47 dividap 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((x x # 0) → (x / x) = 1)
4847adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((x x # 0) (y y # 0)) → (x / x) = 1)
4948oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((x x # 0) (y y # 0)) → ((x / x) / (x / y)) = (1 / (x / y)))
50 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((x x # 0) (y y # 0)) → x ℂ)
51 simpl 102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((x x # 0) (y y # 0)) → (x x # 0))
52 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((x x # 0) (y y # 0)) → (y y # 0))
53 divdivdivap 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((x (x x # 0)) ((x x # 0) (y y # 0))) → ((x / x) / (x / y)) = ((x · y) / (x · x)))
5450, 51, 51, 52, 53syl22anc 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((x x # 0) (y y # 0)) → ((x / x) / (x / y)) = ((x · y) / (x · x)))
5549, 54eqtr3d 2071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((x x # 0) (y y # 0)) → (1 / (x / y)) = ((x · y) / (x · x)))
5655an4s 522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((x y ℂ) (x # 0 y # 0)) → (1 / (x / y)) = ((x · y) / (x · x)))
5724, 56sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((x y ℕ) (x # 0 y # 0)) → (1 / (x / y)) = ((x · y) / (x · x)))
5857anass1rs 505 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((x y ℕ) y # 0) x # 0) → (1 / (x / y)) = ((x · y) / (x · x)))
5946, 58sylan9eqr 2091 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((x y ℕ) y # 0) x # 0) A = (x / y)) → (1 / A) = ((x · y) / (x · x)))
6059an32s 502 . . . . . . . . . . . . 13 (((((x y ℕ) y # 0) A = (x / y)) x # 0) → (1 / A) = ((x · y) / (x · x)))
6145, 60sylbir 125 . . . . . . . . . . . 12 (((((x y ℕ) y ≠ 0) A = (x / y)) x ≠ 0) → (1 / A) = ((x · y) / (x · x)))
6242, 61jca 290 . . . . . . . . . . 11 (((((x y ℕ) y ≠ 0) A = (x / y)) x ≠ 0) → (((x · y) (x · x) ℕ) (1 / A) = ((x · y) / (x · x))))
6362ex 108 . . . . . . . . . 10 ((((x y ℕ) y ≠ 0) A = (x / y)) → (x ≠ 0 → (((x · y) (x · x) ℕ) (1 / A) = ((x · y) / (x · x)))))
6434, 63sylbid 139 . . . . . . . . 9 ((((x y ℕ) y ≠ 0) A = (x / y)) → (A # 0 → (((x · y) (x · x) ℕ) (1 / A) = ((x · y) / (x · x)))))
6564ex 108 . . . . . . . 8 (((x y ℕ) y ≠ 0) → (A = (x / y) → (A # 0 → (((x · y) (x · x) ℕ) (1 / A) = ((x · y) / (x · x))))))
6665anasss 379 . . . . . . 7 ((x (y y ≠ 0)) → (A = (x / y) → (A # 0 → (((x · y) (x · x) ℕ) (1 / A) = ((x · y) / (x · x))))))
6714, 66sylan2 270 . . . . . 6 ((x y ℕ) → (A = (x / y) → (A # 0 → (((x · y) (x · x) ℕ) (1 / A) = ((x · y) / (x · x))))))
68 rspceov 5489 . . . . . . . 8 (((x · y) (x · x) (1 / A) = ((x · y) / (x · x))) → z w ℕ (1 / A) = (z / w))
69683expa 1103 . . . . . . 7 ((((x · y) (x · x) ℕ) (1 / A) = ((x · y) / (x · x))) → z w ℕ (1 / A) = (z / w))
70 elq 8293 . . . . . . 7 ((1 / A) ℚ ↔ z w ℕ (1 / A) = (z / w))
7169, 70sylibr 137 . . . . . 6 ((((x · y) (x · x) ℕ) (1 / A) = ((x · y) / (x · x))) → (1 / A) ℚ)
7267, 71syl8 65 . . . . 5 ((x y ℕ) → (A = (x / y) → (A # 0 → (1 / A) ℚ)))
7372rexlimivv 2432 . . . 4 (x y A = (x / y) → (A # 0 → (1 / A) ℚ))
7412, 73sylbi 114 . . 3 (A ℚ → (A # 0 → (1 / A) ℚ))
7574imp 115 . 2 ((A A # 0) → (1 / A) ℚ)
7611, 75syldan 266 1 ((A A ≠ 0) → (1 / A) ℚ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  wne 2201  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6669  0cc0 6671  1c1 6672   · cmul 6676   # cap 7325   / cdiv 7393  cn 7655  cz 7981  cq 8290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982  df-q 8291
This theorem is referenced by:  qdivcl  8312  qexpclz  8890
  Copyright terms: Public domain W3C validator