Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  irrmul Structured version   GIF version

Theorem irrmul 8336
 Description: The product of a real which is not rational with a nonzero rational is not rational. Note that by "not rational" we mean the negation of "is rational" (whereas "irrational" is often defined to mean apart from any rational number - given excluded middle these two definitions would be equivalent). (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
irrmul ((A (ℝ ∖ ℚ) B B ≠ 0) → (A · B) (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem irrmul
StepHypRef Expression
1 eldif 2921 . . 3 (A (ℝ ∖ ℚ) ↔ (A ¬ A ℚ))
2 qre 8316 . . . . . . 7 (B ℚ → B ℝ)
3 remulcl 6787 . . . . . . 7 ((A B ℝ) → (A · B) ℝ)
42, 3sylan2 270 . . . . . 6 ((A B ℚ) → (A · B) ℝ)
54ad2ant2r 478 . . . . 5 (((A ¬ A ℚ) (B B ≠ 0)) → (A · B) ℝ)
6 qdivcl 8332 . . . . . . . . . . . . 13 (((A · B) B B ≠ 0) → ((A · B) / B) ℚ)
763expb 1104 . . . . . . . . . . . 12 (((A · B) (B B ≠ 0)) → ((A · B) / B) ℚ)
87expcom 109 . . . . . . . . . . 11 ((B B ≠ 0) → ((A · B) ℚ → ((A · B) / B) ℚ))
98adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((A (B B ≠ 0)) → ((A · B) ℚ → ((A · B) / B) ℚ))
10 recn 6792 . . . . . . . . . . . . . 14 (A ℝ → A ℂ)
11103ad2ant1 924 . . . . . . . . . . . . 13 ((A B B ≠ 0) → A ℂ)
12 qcn 8325 . . . . . . . . . . . . . 14 (B ℚ → B ℂ)
13123ad2ant2 925 . . . . . . . . . . . . 13 ((A B B ≠ 0) → B ℂ)
14 simp3 905 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A B B ≠ 0) → B ≠ 0)
15 0z 8012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0
16 zq 8317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ℤ → 0 ℚ)
1715, 16ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0
18 qapne 8330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((B 0 ℚ) → (B # 0 ↔ B ≠ 0))
1917, 18mpan2 401 . . . . . . . . . . . . . . 15 (B ℚ → (B # 0 ↔ B ≠ 0))
20193ad2ant2 925 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A B B ≠ 0) → (B # 0 ↔ B ≠ 0))
2114, 20mpbird 156 . . . . . . . . . . . . 13 ((A B B ≠ 0) → B # 0)
2211, 13, 21divcanap4d 7533 . . . . . . . . . . . 12 ((A B B ≠ 0) → ((A · B) / B) = A)
23223expb 1104 . . . . . . . . . . 11 ((A (B B ≠ 0)) → ((A · B) / B) = A)
2423eleq1d 2103 . . . . . . . . . 10 ((A (B B ≠ 0)) → (((A · B) / B) ℚ ↔ A ℚ))
259, 24sylibd 138 . . . . . . . . 9 ((A (B B ≠ 0)) → ((A · B) ℚ → A ℚ))
2625con3d 560 . . . . . . . 8 ((A (B B ≠ 0)) → (¬ A ℚ → ¬ (A · B) ℚ))
2726ex 108 . . . . . . 7 (A ℝ → ((B B ≠ 0) → (¬ A ℚ → ¬ (A · B) ℚ)))
2827com23 72 . . . . . 6 (A ℝ → (¬ A ℚ → ((B B ≠ 0) → ¬ (A · B) ℚ)))
2928imp31 243 . . . . 5 (((A ¬ A ℚ) (B B ≠ 0)) → ¬ (A · B) ℚ)
305, 29jca 290 . . . 4 (((A ¬ A ℚ) (B B ≠ 0)) → ((A · B) ¬ (A · B) ℚ))
31303impb 1099 . . 3 (((A ¬ A ℚ) B B ≠ 0) → ((A · B) ¬ (A · B) ℚ))
321, 31syl3an1b 1170 . 2 ((A (ℝ ∖ ℚ) B B ≠ 0) → ((A · B) ¬ (A · B) ℚ))
33 eldif 2921 . 2 ((A · B) (ℝ ∖ ℚ) ↔ ((A · B) ¬ (A · B) ℚ))
3432, 33sylibr 137 1 ((A (ℝ ∖ ℚ) B B ≠ 0) → (A · B) (ℝ ∖ ℚ))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ≠ wne 2201   ∖ cdif 2908   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6689  ℝcr 6690  0cc0 6691   · cmul 6696   # cap 7345   / cdiv 7413  ℤcz 8001  ℚcq 8310 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780  ax-pre-mulext 6781 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346  df-div 7414  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-q 8311 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator