ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apti Structured version   GIF version

Theorem apti 7366
Description: Complex apartness is tight. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apti ((A B ℂ) → (A = B ↔ ¬ A # B))

Proof of Theorem apti
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 6781 . . 3 (A ℂ → x y A = (x + (i · y)))
21adantr 261 . 2 ((A B ℂ) → x y A = (x + (i · y)))
3 cnre 6781 . . . . . . 7 (B ℂ → z w B = (z + (i · w)))
43adantl 262 . . . . . 6 ((A B ℂ) → z w B = (z + (i · w)))
54ad2antrr 457 . . . . 5 ((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → z w B = (z + (i · w)))
6 simpr 103 . . . . . . . . . 10 (((A B ℂ) (x y ℝ)) → (x y ℝ))
76ad3antrrr 461 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (x y ℝ))
8 simplr 482 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (z w ℝ))
9 cru 7346 . . . . . . . . 9 (((x y ℝ) (z w ℝ)) → ((x + (i · y)) = (z + (i · w)) ↔ (x = z y = w)))
107, 8, 9syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → ((x + (i · y)) = (z + (i · w)) ↔ (x = z y = w)))
11 simpllr 486 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → A = (x + (i · y)))
12 simpr 103 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → B = (z + (i · w)))
1311, 12eqeq12d 2051 . . . . . . . 8 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (A = B ↔ (x + (i · y)) = (z + (i · w))))
14 apreim 7347 . . . . . . . . . . . 12 (((x y ℝ) (z w ℝ)) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z y # w)))
1514notbid 591 . . . . . . . . . . 11 (((x y ℝ) (z w ℝ)) → (¬ (x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ ¬ (x # z y # w)))
16 ioran 668 . . . . . . . . . . 11 (¬ (x # z y # w) ↔ (¬ x # z ¬ y # w))
1715, 16syl6bb 185 . . . . . . . . . 10 (((x y ℝ) (z w ℝ)) → (¬ (x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (¬ x # z ¬ y # w)))
187, 8, 17syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (¬ (x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (¬ x # z ¬ y # w)))
1911, 12breq12d 3768 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (A # B ↔ (x + (i · y)) # (z + (i · w))))
2019notbid 591 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (¬ A # B ↔ ¬ (x + (i · y)) # (z + (i · w))))
217simpld 105 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → x ℝ)
228simpld 105 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → z ℝ)
23 reapti 7323 . . . . . . . . . . . 12 ((x z ℝ) → (x = z ↔ ¬ x # z))
24 apreap 7331 . . . . . . . . . . . . 13 ((x z ℝ) → (x # zx # z))
2524notbid 591 . . . . . . . . . . . 12 ((x z ℝ) → (¬ x # z ↔ ¬ x # z))
2623, 25bitr4d 180 . . . . . . . . . . 11 ((x z ℝ) → (x = z ↔ ¬ x # z))
2721, 22, 26syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (x = z ↔ ¬ x # z))
287simprd 107 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → y ℝ)
298simprd 107 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → w ℝ)
30 reapti 7323 . . . . . . . . . . . 12 ((y w ℝ) → (y = w ↔ ¬ y # w))
31 apreap 7331 . . . . . . . . . . . . 13 ((y w ℝ) → (y # wy # w))
3231notbid 591 . . . . . . . . . . . 12 ((y w ℝ) → (¬ y # w ↔ ¬ y # w))
3330, 32bitr4d 180 . . . . . . . . . . 11 ((y w ℝ) → (y = w ↔ ¬ y # w))
3428, 29, 33syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (y = w ↔ ¬ y # w))
3527, 34anbi12d 442 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → ((x = z y = w) ↔ (¬ x # z ¬ y # w)))
3618, 20, 353bitr4d 209 . . . . . . . 8 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (¬ A # B ↔ (x = z y = w)))
3710, 13, 363bitr4d 209 . . . . . . 7 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (A = B ↔ ¬ A # B))
3837ex 108 . . . . . 6 (((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) → (B = (z + (i · w)) → (A = B ↔ ¬ A # B)))
3938rexlimdvva 2434 . . . . 5 ((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (z w B = (z + (i · w)) → (A = B ↔ ¬ A # B)))
405, 39mpd 13 . . . 4 ((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A = B ↔ ¬ A # B))
4140ex 108 . . 3 (((A B ℂ) (x y ℝ)) → (A = (x + (i · y)) → (A = B ↔ ¬ A # B)))
4241rexlimdvva 2434 . 2 ((A B ℂ) → (x y A = (x + (i · y)) → (A = B ↔ ¬ A # B)))
432, 42mpd 13 1 ((A B ℂ) → (A = B ↔ ¬ A # B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  ici 6673   + caddc 6674   · cmul 6676   # creap 7318   # cap 7325
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326
This theorem is referenced by:  apne  7367  qapne  8310  expeq0  8900
  Copyright terms: Public domain W3C validator