ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qapne Structured version   Unicode version

Theorem qapne 8350
Description: Apartness is equivalent to not equal for rationals. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
qapne  QQ  QQ #  =/=

Proof of Theorem qapne
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 8333 . . . 4  QQ  ZZ  NN
21biimpi 113 . . 3  QQ  ZZ  NN
32adantl 262 . 2  QQ  QQ  ZZ  NN
4 simplll 485 . . . . . 6  QQ  QQ  ZZ  NN  QQ
5 elq 8333 . . . . . 6  QQ  ZZ  NN
64, 5sylib 127 . . . . 5  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN
7 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  ZZ
87zcnd 8137 . . . . . . . . . . . 12  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  CC
9 simprl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ
109ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  ZZ
1110zcnd 8137 . . . . . . . . . . . . . 14  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  CC
12 simprr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  QQ  QQ  ZZ  NN  NN
1312ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  NN
1413nncnd 7709 . . . . . . . . . . . . . 14  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  CC
15 nnap0 7724 . . . . . . . . . . . . . . 15  NN #  0
1613, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN #  0
1711, 14, 16divclapd 7547 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  CC
18 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  NN
1918nncnd 7709 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  CC
2017, 19mulcld 6845 . . . . . . . . . . . 12  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  CC
21 nnap0 7724 . . . . . . . . . . . . . 14  NN #  0
2218, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN #  0
2319, 22recclapd 7539 . . . . . . . . . . . 12  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  1  CC
2419, 22recap0d 7540 . . . . . . . . . . . 12  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  1 #  0
25 apmul1 7546 . . . . . . . . . . . 12  CC  x.  CC  1  CC 
1 #  0 #  x.  x.  1 #  x.  x.  1
268, 20, 23, 24, 25syl112anc 1138 . . . . . . . . . . 11  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN #  x.  x.  1 #  x.  x.  1
278, 19, 22divrecapd 7550 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  1
2827eqcomd 2042 . . . . . . . . . . . 12  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x. 
1
2917, 19, 23mulassd 6848 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  x.  1  x.  x.  1
3019, 22recidapd 7541 . . . . . . . . . . . . . 14  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x. 
1  1
3130oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  x.  1  x.  1
3217mulid1d 6842 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  1
3329, 31, 323eqtrd 2073 . . . . . . . . . . . 12  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  x.  1
3428, 33breq12d 3768 . . . . . . . . . . 11  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x. 
1 #  x.  x.  1 #
3526, 34bitrd 177 . . . . . . . . . 10  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN #  x. #
3613nnzd 8135 . . . . . . . . . . . . . . 15  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  ZZ
377, 36zmulcld 8142 . . . . . . . . . . . . . 14  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  ZZ
3837zcnd 8137 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  CC
3918nnzd 8135 . . . . . . . . . . . . . . 15  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  ZZ
4039, 10zmulcld 8142 . . . . . . . . . . . . . 14  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  ZZ
4140zcnd 8137 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  CC
4214, 16recclapd 7539 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  1  CC
4314, 16recap0d 7540 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  1 #  0
44 apmul1 7546 . . . . . . . . . . . . 13  x.  CC  x.  CC  1  CC 
1 #  0  x. #  x.  x.  x. 
1 #  x.  x. 
1
4538, 41, 42, 43, 44syl112anc 1138 . . . . . . . . . . . 12  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x. #  x.  x.  x. 
1 #  x.  x. 
1
468, 14, 42mulassd 6848 . . . . . . . . . . . . . 14  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  x.  1  x.  x.  1
4714, 16recidapd 7541 . . . . . . . . . . . . . . 15  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x. 
1  1
4847oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . 14  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  x.  1  x.  1
498mulid1d 6842 . . . . . . . . . . . . . 14  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  1
5046, 48, 493eqtrd 2073 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  x.  1
5150breq1d 3765 . . . . . . . . . . . 12  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  x. 
1 #  x.  x. 
1 #  x.  x.  1
5245, 51bitrd 177 . . . . . . . . . . 11  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x. #  x. #  x.  x.  1
5319, 11, 42mulassd 6848 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  x.  1  x.  x.  1
5411, 14, 16divrecapd 7550 . . . . . . . . . . . . . 14  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  1
5554oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  x.  x. 
1
5619, 17mulcomd 6846 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  x.
5753, 55, 563eqtr2d 2075 . . . . . . . . . . . 12  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  x.  1  x.
5857breq2d 3767 . . . . . . . . . . 11  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN #  x.  x.  1 #  x.
5952, 58bitrd 177 . . . . . . . . . 10  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x. #  x. #  x.
60 simpr 103 . . . . . . . . . . 11  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN
61 simpllr 486 . . . . . . . . . . 11  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN
6260, 61breq12d 3768 . . . . . . . . . 10  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN # #
6335, 59, 623bitr4d 209 . . . . . . . . 9  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x. #  x. #
64 zapne 8091 . . . . . . . . . 10  x.  ZZ  x.  ZZ  x. #  x.  x.  =/=  x.
6537, 40, 64syl2anc 391 . . . . . . . . 9  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x. #  x.  x.  =/=  x.
6663, 65bitr3d 179 . . . . . . . 8  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN #  x.  =/=  x.
6763notbid 591 . . . . . . . . . 10  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x. #  x. #
68 apti 7406 . . . . . . . . . . 11  x.  CC  x.  CC  x.  x.  x. #  x.
6938, 41, 68syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  x.  x. #  x.
70 qcn 8345 . . . . . . . . . . . . 13  QQ  CC
7170ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . 12  QQ  QQ  ZZ  NN  CC
7271ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . 11  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  CC
7361, 17eqeltrd 2111 . . . . . . . . . . 11  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  CC
74 apti 7406 . . . . . . . . . . 11  CC  CC #
7572, 73, 74syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN #
7667, 69, 753bitr4d 209 . . . . . . . . 9  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  x.
7776necon3bid 2240 . . . . . . . 8  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN  x.  =/=  x.  =/=
7866, 77bitrd 177 . . . . . . 7  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN #  =/=
7978ex 108 . . . . . 6  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN #  =/=
8079rexlimdvva 2434 . . . . 5  QQ  QQ  ZZ  NN  ZZ  NN #  =/=
816, 80mpd 13 . . . 4  QQ  QQ  ZZ  NN #  =/=
8281ex 108 . . 3  QQ  QQ  ZZ  NN #  =/=
8382rexlimdvva 2434 . 2  QQ  QQ  ZZ  NN #  =/=
843, 83mpd 13 1  QQ  QQ #  =/=
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390    =/= wne 2201  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   CCcc 6709   0cc0 6711   1c1 6712    x. cmul 6716   # cap 7365   cdiv 7433   NNcn 7695   ZZcz 8021   QQcq 8330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-q 8331
This theorem is referenced by:  qreccl  8351  qdivcl  8352  irrmul  8356  qexpclz  8930
  Copyright terms: Public domain W3C validator