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Theorem mulext1 7348
Description: Left extensionality for complex multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulext1 ((A B 𝐶 ℂ) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) → A # B))

Proof of Theorem mulext1
Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 6773 . . 3 (𝐶 ℂ → u v 𝐶 = (u + (i · v)))
213ad2ant3 926 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → u v 𝐶 = (u + (i · v)))
3 cnre 6773 . . . . . . 7 (B ℂ → z w B = (z + (i · w)))
433ad2ant2 925 . . . . . 6 ((A B 𝐶 ℂ) → z w B = (z + (i · w)))
54ad2antrr 457 . . . . 5 ((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) → z w B = (z + (i · w)))
6 cnre 6773 . . . . . . . . . . 11 (A ℂ → x y A = (x + (i · y)))
763ad2ant1 924 . . . . . . . . . 10 ((A B 𝐶 ℂ) → x y A = (x + (i · y)))
87adantr 261 . . . . . . . . 9 (((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) → x y A = (x + (i · y)))
98ad3antrrr 461 . . . . . . . 8 ((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → x y A = (x + (i · y)))
10 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → x ℝ)
1110recnd 6803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → x ℂ)
12 simprl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) → u ℝ)
1312ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → u ℝ)
1413ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → u ℝ)
1514recnd 6803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → u ℂ)
1611, 15mulcld 6797 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (x · u) ℂ)
17 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → y ℝ)
1817recnd 6803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → y ℂ)
19 simprr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) → v ℝ)
2019ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → v ℝ)
2120ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → v ℝ)
2221recnd 6803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → v ℂ)
2318, 22mulcld 6797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (y · v) ℂ)
2423negcld 7057 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → -(y · v) ℂ)
25 simprl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → z ℝ)
2625ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → z ℝ)
2726recnd 6803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → z ℂ)
2827, 15mulcld 6797 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (z · u) ℂ)
29 simprr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → w ℝ)
3029ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → w ℝ)
3130recnd 6803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → w ℂ)
3231, 22mulcld 6797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (w · v) ℂ)
3332negcld 7057 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → -(w · v) ℂ)
34 addext 7346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((x · u) -(y · v) ℂ) ((z · u) -(w · v) ℂ)) → (((x · u) + -(y · v)) # ((z · u) + -(w · v)) → ((x · u) # (z · u) -(y · v) # -(w · v))))
3516, 24, 28, 33, 34syl22anc 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (((x · u) + -(y · v)) # ((z · u) + -(w · v)) → ((x · u) # (z · u) -(y · v) # -(w · v))))
36 remulext1 7335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((x z u ℝ) → ((x · u) # (z · u) → x # z))
3710, 26, 14, 36syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x · u) # (z · u) → x # z))
38 apneg 7347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((y · v) (w · v) ℂ) → ((y · v) # (w · v) ↔ -(y · v) # -(w · v)))
3923, 32, 38syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((y · v) # (w · v) ↔ -(y · v) # -(w · v)))
40 remulext1 7335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((y w v ℝ) → ((y · v) # (w · v) → y # w))
4117, 30, 21, 40syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((y · v) # (w · v) → y # w))
4239, 41sylbird 159 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (-(y · v) # -(w · v) → y # w))
4337, 42orim12d 699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (((x · u) # (z · u) -(y · v) # -(w · v)) → (x # z y # w)))
4435, 43syld 40 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (((x · u) + -(y · v)) # ((z · u) + -(w · v)) → (x # z y # w)))
4515, 18mulcld 6797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (u · y) ℂ)
4622, 11mulcld 6797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (v · x) ℂ)
4715, 31mulcld 6797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (u · w) ℂ)
4822, 27mulcld 6797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (v · z) ℂ)
49 addext 7346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((u · y) (v · x) ℂ) ((u · w) (v · z) ℂ)) → (((u · y) + (v · x)) # ((u · w) + (v · z)) → ((u · y) # (u · w) (v · x) # (v · z))))
5045, 46, 47, 48, 49syl22anc 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (((u · y) + (v · x)) # ((u · w) + (v · z)) → ((u · y) # (u · w) (v · x) # (v · z))))
51 remulext2 7336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((y w u ℝ) → ((u · y) # (u · w) → y # w))
5217, 30, 14, 51syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((u · y) # (u · w) → y # w))
53 remulext2 7336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((x z v ℝ) → ((v · x) # (v · z) → x # z))
5410, 26, 21, 53syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((v · x) # (v · z) → x # z))
5552, 54orim12d 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (((u · y) # (u · w) (v · x) # (v · z)) → (y # w x # z)))
5650, 55syld 40 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (((u · y) + (v · x)) # ((u · w) + (v · z)) → (y # w x # z)))
57 orcom 646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y # w x # z) ↔ (x # z y # w))
5856, 57syl6ib 150 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (((u · y) + (v · x)) # ((u · w) + (v · z)) → (x # z y # w)))
5944, 58jaod 636 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((((x · u) + -(y · v)) # ((z · u) + -(w · v)) ((u · y) + (v · x)) # ((u · w) + (v · z))) → (x # z y # w)))
60 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → A = (x + (i · y)))
61 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → 𝐶 = (u + (i · v)))
6261ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → 𝐶 = (u + (i · v)))
6360, 62oveq12d 5470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A · 𝐶) = ((x + (i · y)) · (u + (i · v))))
64 simpllr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → B = (z + (i · w)))
6564, 62oveq12d 5470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (B · 𝐶) = ((z + (i · w)) · (u + (i · v))))
6663, 65breq12d 3767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) ↔ ((x + (i · y)) · (u + (i · v))) # ((z + (i · w)) · (u + (i · v)))))
67 mulreim 7340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((x y ℝ) (u v ℝ)) → ((x + (i · y)) · (u + (i · v))) = (((x · u) + -(y · v)) + (i · ((u · y) + (v · x)))))
6810, 17, 14, 21, 67syl22anc 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x + (i · y)) · (u + (i · v))) = (((x · u) + -(y · v)) + (i · ((u · y) + (v · x)))))
69 mulreim 7340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((z w ℝ) (u v ℝ)) → ((z + (i · w)) · (u + (i · v))) = (((z · u) + -(w · v)) + (i · ((u · w) + (v · z)))))
7026, 30, 14, 21, 69syl22anc 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((z + (i · w)) · (u + (i · v))) = (((z · u) + -(w · v)) + (i · ((u · w) + (v · z)))))
7168, 70breq12d 3767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (((x + (i · y)) · (u + (i · v))) # ((z + (i · w)) · (u + (i · v))) ↔ (((x · u) + -(y · v)) + (i · ((u · y) + (v · x)))) # (((z · u) + -(w · v)) + (i · ((u · w) + (v · z))))))
7210, 14remulcld 6805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (x · u) ℝ)
7317, 21remulcld 6805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (y · v) ℝ)
7473renegcld 7126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → -(y · v) ℝ)
7572, 74readdcld 6804 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x · u) + -(y · v)) ℝ)
7614, 17remulcld 6805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (u · y) ℝ)
7721, 10remulcld 6805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (v · x) ℝ)
7876, 77readdcld 6804 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((u · y) + (v · x)) ℝ)
7926, 14remulcld 6805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (z · u) ℝ)
8030, 21remulcld 6805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (w · v) ℝ)
8180renegcld 7126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → -(w · v) ℝ)
8279, 81readdcld 6804 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((z · u) + -(w · v)) ℝ)
8314, 30remulcld 6805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (u · w) ℝ)
8421, 26remulcld 6805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (v · z) ℝ)
8583, 84readdcld 6804 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((u · w) + (v · z)) ℝ)
86 apreim 7339 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((x · u) + -(y · v)) ((u · y) + (v · x)) ℝ) (((z · u) + -(w · v)) ((u · w) + (v · z)) ℝ)) → ((((x · u) + -(y · v)) + (i · ((u · y) + (v · x)))) # (((z · u) + -(w · v)) + (i · ((u · w) + (v · z)))) ↔ (((x · u) + -(y · v)) # ((z · u) + -(w · v)) ((u · y) + (v · x)) # ((u · w) + (v · z)))))
8775, 78, 82, 85, 86syl22anc 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((((x · u) + -(y · v)) + (i · ((u · y) + (v · x)))) # (((z · u) + -(w · v)) + (i · ((u · w) + (v · z)))) ↔ (((x · u) + -(y · v)) # ((z · u) + -(w · v)) ((u · y) + (v · x)) # ((u · w) + (v · z)))))
8866, 71, 873bitrd 203 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) ↔ (((x · u) + -(y · v)) # ((z · u) + -(w · v)) ((u · y) + (v · x)) # ((u · w) + (v · z)))))
89 apreim 7339 . . . . . . . . . . . . 13 (((x y ℝ) (z w ℝ)) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z y # w)))
9010, 17, 26, 30, 89syl22anc 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z y # w)))
9159, 88, 903imtr4d 192 . . . . . . . . . . 11 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) → (x + (i · y)) # (z + (i · w))))
9260, 64breq12d 3767 . . . . . . . . . . 11 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A # B ↔ (x + (i · y)) # (z + (i · w))))
9391, 92sylibrd 158 . . . . . . . . . 10 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) → A # B))
9493ex 108 . . . . . . . . 9 (((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) → (A = (x + (i · y)) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) → A # B)))
9594rexlimdvva 2434 . . . . . . . 8 ((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (x y A = (x + (i · y)) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) → A # B)))
969, 95mpd 13 . . . . . . 7 ((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) → A # B))
9796ex 108 . . . . . 6 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → (B = (z + (i · w)) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) → A # B)))
9897rexlimdvva 2434 . . . . 5 ((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) → (z w B = (z + (i · w)) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) → A # B)))
995, 98mpd 13 . . . 4 ((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) → A # B))
10099ex 108 . . 3 (((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) → (𝐶 = (u + (i · v)) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) → A # B)))
101100rexlimdvva 2434 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → (u v 𝐶 = (u + (i · v)) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) → A # B)))
1022, 101mpd 13 1 ((A B 𝐶 ℂ) → ((A · 𝐶) # (B · 𝐶) → A # B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3754  (class class class)co 5452  cc 6661  cr 6662  ici 6665   + caddc 6666   · cmul 6668  -cneg 6932   # cap 7317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253  ax-cnex 6726  ax-resscn 6727  ax-1cn 6728  ax-1re 6729  ax-icn 6730  ax-addcl 6731  ax-addrcl 6732  ax-mulcl 6733  ax-mulrcl 6734  ax-addcom 6735  ax-mulcom 6736  ax-addass 6737  ax-mulass 6738  ax-distr 6739  ax-i2m1 6740  ax-1rid 6742  ax-0id 6743  ax-rnegex 6744  ax-precex 6745  ax-cnre 6746  ax-pre-ltirr 6747  ax-pre-ltwlin 6748  ax-pre-lttrn 6749  ax-pre-apti 6750  ax-pre-ltadd 6751  ax-pre-mulgt0 6752  ax-pre-mulext 6753
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-riota 5409  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-i1p 6442  df-iplp 6443  df-iltp 6445  df-enr 6606  df-nr 6607  df-ltr 6610  df-0r 6611  df-1r 6612  df-0 6670  df-1 6671  df-r 6673  df-lt 6676  df-pnf 6811  df-mnf 6812  df-ltxr 6814  df-sub 6933  df-neg 6934  df-reap 7311  df-ap 7318
This theorem is referenced by:  mulext2  7349  mulext  7350  mulap0  7369  apmul1  7498
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