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Theorem mulreim 7348
Description: Complex multiplication in terms of real and imaginary parts. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulreim (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A + (i · B)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) = (((A · 𝐶) + -(B · 𝐷)) + (i · ((𝐶 · B) + (𝐷 · A)))))

Proof of Theorem mulreim
StepHypRef Expression
1 simpll 481 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → A ℝ)
21recnd 6811 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → A ℂ)
3 ax-icn 6738 . . . . 5 i
43a1i 9 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → i ℂ)
5 simplr 482 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → B ℝ)
65recnd 6811 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → B ℂ)
74, 6mulcld 6805 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (i · B) ℂ)
8 simprl 483 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → 𝐶 ℝ)
98recnd 6811 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → 𝐶 ℂ)
10 simprr 484 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → 𝐷 ℝ)
1110recnd 6811 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → 𝐷 ℂ)
124, 11mulcld 6805 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (i · 𝐷) ℂ)
132, 7, 9, 12muladdd 7169 . 2 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A + (i · B)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) = (((A · 𝐶) + ((i · 𝐷) · (i · B))) + ((A · (i · 𝐷)) + (𝐶 · (i · B)))))
144, 11, 4, 6mul4d 6925 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((i · 𝐷) · (i · B)) = ((i · i) · (𝐷 · B)))
15 ixi 7327 . . . . . . 7 (i · i) = -1
1615oveq1i 5465 . . . . . 6 ((i · i) · (𝐷 · B)) = (-1 · (𝐷 · B))
1714, 16syl6eq 2085 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((i · 𝐷) · (i · B)) = (-1 · (𝐷 · B)))
1811, 6mulcld 6805 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (𝐷 · B) ℂ)
1918mulm1d 7163 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (-1 · (𝐷 · B)) = -(𝐷 · B))
2011, 6mulcomd 6806 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (𝐷 · B) = (B · 𝐷))
2120negeqd 6963 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → -(𝐷 · B) = -(B · 𝐷))
2217, 19, 213eqtrd 2073 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((i · 𝐷) · (i · B)) = -(B · 𝐷))
2322oveq2d 5471 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A · 𝐶) + ((i · 𝐷) · (i · B))) = ((A · 𝐶) + -(B · 𝐷)))
2411, 2mulcld 6805 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (𝐷 · A) ℂ)
254, 24mulcld 6805 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (i · (𝐷 · A)) ℂ)
269, 6mulcld 6805 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (𝐶 · B) ℂ)
274, 26mulcld 6805 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (i · (𝐶 · B)) ℂ)
2825, 27addcomd 6921 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((i · (𝐷 · A)) + (i · (𝐶 · B))) = ((i · (𝐶 · B)) + (i · (𝐷 · A))))
292, 4, 11mul12d 6922 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (A · (i · 𝐷)) = (i · (A · 𝐷)))
302, 11mulcomd 6806 . . . . . . 7 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (A · 𝐷) = (𝐷 · A))
3130oveq2d 5471 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (i · (A · 𝐷)) = (i · (𝐷 · A)))
3229, 31eqtrd 2069 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (A · (i · 𝐷)) = (i · (𝐷 · A)))
339, 4, 6mul12d 6922 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (𝐶 · (i · B)) = (i · (𝐶 · B)))
3432, 33oveq12d 5473 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A · (i · 𝐷)) + (𝐶 · (i · B))) = ((i · (𝐷 · A)) + (i · (𝐶 · B))))
354, 26, 24adddid 6809 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (i · ((𝐶 · B) + (𝐷 · A))) = ((i · (𝐶 · B)) + (i · (𝐷 · A))))
3628, 34, 353eqtr4d 2079 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A · (i · 𝐷)) + (𝐶 · (i · B))) = (i · ((𝐶 · B) + (𝐷 · A))))
3723, 36oveq12d 5473 . 2 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (((A · 𝐶) + ((i · 𝐷) · (i · B))) + ((A · (i · 𝐷)) + (𝐶 · (i · B)))) = (((A · 𝐶) + -(B · 𝐷)) + (i · ((𝐶 · B) + (𝐷 · A)))))
3813, 37eqtrd 2069 1 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A + (i · B)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) = (((A · 𝐶) + -(B · 𝐷)) + (i · ((𝐶 · B) + (𝐷 · A)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  1c1 6672  ici 6673   + caddc 6674   · cmul 6676  -cneg 6940
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6941  df-neg 6942
This theorem is referenced by:  mulext1  7356
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