Theorem ixi 7574

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 7185	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 6989	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 7019	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 6977	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 6979	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 7032	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 7299	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 134	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2061	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1243  (class class class)co 5512  0cc0 6889  1c1 6890  ici 6891   + caddc 6892   · cmul 6894   − cmin 7182  -cneg 7183

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-neg 7185

This theorem is referenced by:  inelr  7575  mulreim  7595  recextlem1  7632  cju  7913  irec  9352  i2  9353  crre  9457  remim  9460  remullem  9471  absi  9657