Theorem apirr 7192

Description: Apartness is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apirr	⊢ (A ∈ ℂ → ¬ A # A)

Proof of Theorem apirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 6624	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)))
2		reapirr 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ ℝ → ¬ x #ℝ x)
3		apreap 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (x # x ↔ x #ℝ x))
4	3	anidms 377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ ℝ → (x # x ↔ x #ℝ x))
5	2, 4	mtbird 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ℝ → ¬ x # x)
6		reapirr 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ ℝ → ¬ y #ℝ y)
7		apreap 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (y # y ↔ y #ℝ y))
8	7	anidms 377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ ℝ → (y # y ↔ y #ℝ y))
9	6, 8	mtbird 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ ℝ → ¬ y # y)
10	5, 9	anim12i 321	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (¬ x # x ∧ ¬ y # y))
11		ioran 653	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (x # x ∨ y # y) ↔ (¬ x # x ∧ ¬ y # y))
12	10, 11	sylibr 137	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ¬ (x # x ∨ y # y))
13		apreim 7190	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) → ((x + (i · y)) # (x + (i · y)) ↔ (x # x ∨ y # y)))
14	13	anidms 377	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ((x + (i · y)) # (x + (i · y)) ↔ (x # x ∨ y # y)))
15	12, 14	mtbird 582	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ¬ (x + (i · y)) # (x + (i · y)))
16	15	ad2antlr 459	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → ¬ (x + (i · y)) # (x + (i · y)))
17		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (A = (x + (i · y)) → A = (x + (i · y)))
18	17, 17	breq12d 3740	. . . . . . 7 ⊢ (A = (x + (i · y)) → (A # A ↔ (x + (i · y)) # (x + (i · y))))
19	18	notbid 576	. . . . . 6 ⊢ (A = (x + (i · y)) → (¬ A # A ↔ ¬ (x + (i · y)) # (x + (i · y))))
20	19	adantl 262	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → (¬ A # A ↔ ¬ (x + (i · y)) # (x + (i · y))))
21	16, 20	mpbird 156	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) ∧ A = (x + (i · y))) → ¬ A # A)
22	21	ex 108	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ)) → (A = (x + (i · y)) → ¬ A # A))
23	22	rexlimdvva 2409	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → (∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)) → ¬ A # A))
24	1, 23	mpd 13	1 ⊢ (A ∈ ℂ → ¬ A # A)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 613   = wceq 1223   ∈ wcel 1366  ∃wrex 2276   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424  ℂcc 6518  ℝcr 6519  ici 6522   + caddc 6523   · cmul 6525   #_ℝ creap 7161   # cap 7168

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226  ax-cnex 6578  ax-resscn 6579  ax-1cn 6580  ax-1re 6581  ax-icn 6582  ax-addcl 6583  ax-addrcl 6584  ax-mulcl 6585  ax-mulrcl 6586  ax-addcom 6587  ax-mulcom 6588  ax-addass 6589  ax-mulass 6590  ax-distr 6591  ax-i2m1 6592  ax-1rid 6594  ax-0id 6595  ax-rnegex 6596  ax-precex 6597  ax-cnre 6598  ax-pre-ltirr 6599  ax-pre-lttrn 6601  ax-pre-apti 6602  ax-pre-ltadd 6603  ax-pre-mulgt0 6604

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-nel 2180  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-po 3996  df-iso 3997  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-riota 5381  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-1o 5904  df-2o 5905  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-lti 6153  df-plpq 6189  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-mqqs 6195  df-1nqqs 6196  df-rq 6197  df-ltnqqs 6198  df-enq0 6265  df-nq0 6266  df-0nq0 6267  df-plq0 6268  df-mq0 6269  df-inp 6306  df-i1p 6307  df-iplp 6308  df-iltp 6310  df-enr 6464  df-nr 6465  df-ltr 6468  df-0r 6469  df-1r 6470  df-0 6527  df-1 6528  df-r 6530  df-lt 6533  df-pnf 6662  df-mnf 6663  df-ltxr 6665  df-sub 6784  df-neg 6785  df-reap 7162  df-ap 7169

This theorem is referenced by:  mulap0r  7202