Theorem apreim 7592

Description: Complex apartness in terms of real and imaginary parts. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apreim	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))

Proof of Theorem apreim

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 7052	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		ax-icn 6977	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → i ∈ ℂ)
5		simplr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 7052	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7	4, 6	mulcld 7045	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
8	2, 7	addcld 7044	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
9		simprl 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 7052	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11		simprr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
12	11	recnd 7052	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
13	4, 12	mulcld 7045	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
14	10, 13	addcld 7044	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
15		eqeq1 2046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → (𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠))))
16	15	anbi1d 438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
17	16	anbi1d 438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → (((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
18	17	2rexbidv 2349	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
19	18	2rexbidv 2349	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + (i · 𝐵)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
20		eqeq1 2046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))))
21	20	anbi2d 437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
22	21	anbi1d 438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
23	22	2rexbidv 2349	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
24	23	2rexbidv 2349	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
25		df-ap 7571	. . . . 5 ⊢ # = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))}
26	19, 24, 25	brabg 4006	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
27	8, 14, 26	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
28		simprr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))
29	1	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐴 ∈ ℝ)
30	9	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐶 ∈ ℝ)
31		apreap 7576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐶 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐶))
32	29, 30, 31	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 # 𝐶 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐶))
33	5	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐵 ∈ ℝ)
34	11	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐷 ∈ ℝ)
35		apreap 7576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 # 𝐷 ↔ 𝐵 #ℝ 𝐷))
36	33, 34, 35	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐵 # 𝐷 ↔ 𝐵 #ℝ 𝐷))
37	32, 36	orbi12d 707	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
38		simprll 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)))
39		simpllr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ))
40		cru 7591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 = 𝑟 ∧ 𝐵 = 𝑠)))
41	29, 33, 39, 40	syl21anc 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 = 𝑟 ∧ 𝐵 = 𝑠)))
42	38, 41	mpbid 135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 = 𝑟 ∧ 𝐵 = 𝑠))
43	42	simpld 105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐴 = 𝑟)
44		simprlr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))
45		simplr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ))
46		cru 7591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 = 𝑡 ∧ 𝐷 = 𝑢)))
47	30, 34, 45, 46	syl21anc 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 = 𝑡 ∧ 𝐷 = 𝑢)))
48	44, 47	mpbid 135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐶 = 𝑡 ∧ 𝐷 = 𝑢))
49	48	simpld 105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐶 = 𝑡)
50	43, 49	breq12d 3777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 #ℝ 𝐶 ↔ 𝑟 #ℝ 𝑡))
51	42	simprd 107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐵 = 𝑠)
52	48	simprd 107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → 𝐷 = 𝑢)
53	51, 52	breq12d 3777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐵 #ℝ 𝐷 ↔ 𝑠 #ℝ 𝑢))
54	50, 53	orbi12d 707	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷) ↔ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
55	37, 54	bitrd 177	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) ↔ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
56	28, 55	mpbird 156	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷))
57	56	ex 108	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
58	57	rexlimdvva 2440	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
59	58	rexlimdvva 2440	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
60	27, 59	sylbid 139	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))
61	31	ad2ant2r 478	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 # 𝐶 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐶))
62	35	ad2ant2l 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 # 𝐷 ↔ 𝐵 #ℝ 𝐷))
63	61, 62	orbi12d 707	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
64	63	pm5.32i 427	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
65		eqid 2040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵))
66		eqid 2040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))
67	65, 66	pm3.2i 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
68	67	biantrur 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
69		oveq1 5519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 + (i · 𝑢)) = (𝐶 + (i · 𝑢)))
70	69	eqeq2d 2051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢))))
71	70	anbi2d 437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢)))))
72		breq2 3768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝐴 #ℝ 𝑡 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐶))
73	72	orbi1d 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
74	71, 73	anbi12d 442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢))))
75		oveq2 5520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (i · 𝑢) = (i · 𝐷))
76	75	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (𝐶 + (i · 𝑢)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
77	76	eqeq2d 2051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))))
78	77	anbi2d 437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))))
79		breq2 3768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → (𝐵 #ℝ 𝑢 ↔ 𝐵 #ℝ 𝐷))
80	79	orbi2d 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → ((𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)))
81	78, 80	anbi12d 442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝐷 → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷))))
82	74, 81	rspc2ev 2664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷))) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
83	68, 82	syl3an3b 1173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
84	83	3expa 1104	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
85		oveq1 5519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝐴 + (i · 𝑠)))
86	85	eqeq2d 2051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠))))
87	86	anbi1d 438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
88		breq1 3767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 #ℝ 𝑡 ↔ 𝐴 #ℝ 𝑡))
89	88	orbi1d 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
90	87, 89	anbi12d 442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
91	90	2rexbidv 2349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
92		oveq2 5520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (i · 𝑠) = (i · 𝐵))
93	92	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (𝐴 + (i · 𝑠)) = (𝐴 + (i · 𝐵)))
94	93	eqeq2d 2051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵))))
95	94	anbi1d 438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
96		breq1 3767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (𝑠 #ℝ 𝑢 ↔ 𝐵 #ℝ 𝑢))
97	96	orbi2d 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → ((𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢) ↔ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢)))
98	95, 97	anbi12d 442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢))))
99	98	2rexbidv 2349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝐵 → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢))))
100	91, 99	rspc2ev 2664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 #ℝ 𝑡 ∨ 𝐵 #ℝ 𝑢))) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
101	84, 100	syl3an3 1170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷))) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
102	101	3expa 1104	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷))) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
103	102	anassrs 380	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢)))
104	27	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ (((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ 𝑢))))
105	103, 104	mpbird 156	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 #ℝ 𝐶 ∨ 𝐵 #ℝ 𝐷)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)))
106	64, 105	sylbi 114	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)))
107	106	ex 108	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) → (𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷))))
108	60, 107	impbid 120	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℂcc 6885  ℝcr 6886  ici 6889   + caddc 6890   · cmul 6892   #_ℝ creap 7563   # cap 7570

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-mulrcl 6981  ax-addcom 6982  ax-mulcom 6983  ax-addass 6984  ax-mulass 6985  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-1rid 6989  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-precex 6992  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-apti 6997  ax-pre-ltadd 6998  ax-pre-mulgt0 6999

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-ltxr 7063  df-sub 7182  df-neg 7183  df-reap 7564  df-ap 7571

This theorem is referenced by:  apirr  7594  apsym  7595  apcotr  7596  apadd1  7597  apneg  7600  mulext1  7601  apti  7611  recexaplem2  7631  crap0  7908  iap0  8146  cjap  9480  absext  9635