Theorem apreim 7347

Description: Complex apartness in terms of real and imaginary parts. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apreim	⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (A # 𝐶 ∨ B # 𝐷)))

Proof of Theorem apreim

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 481	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → A ∈ ℝ)
2	1	recnd 6811	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → A ∈ ℂ)
3		ax-icn 6738	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → i ∈ ℂ)
5		simplr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → B ∈ ℝ)
6	5	recnd 6811	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → B ∈ ℂ)
7	4, 6	mulcld 6805	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (i · B) ∈ ℂ)
8	2, 7	addcld 6804	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (A + (i · B)) ∈ ℂ)
9		simprl 483	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 6811	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11		simprr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
12	11	recnd 6811	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
13	4, 12	mulcld 6805	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
14	10, 13	addcld 6804	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
15		eqeq1 2043	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (A + (i · B)) → (x = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠))))
16	15	anbi1d 438	. . . . . . . 8 ⊢ (x = (A + (i · B)) → ((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ y = (𝑡 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ y = (𝑡 + (i · u)))))
17	16	anbi1d 438	. . . . . . 7 ⊢ (x = (A + (i · B)) → (((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ y = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)) ↔ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ y = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))))
18	17	2rexbidv 2343	. . . . . 6 ⊢ (x = (A + (i · B)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ ((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ y = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ y = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))))
19	18	2rexbidv 2343	. . . . 5 ⊢ (x = (A + (i · B)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ ((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ y = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ y = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))))
20		eqeq1 2043	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (y = (𝑡 + (i · u)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))))
21	20	anbi2d 437	. . . . . . . 8 ⊢ (y = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ y = (𝑡 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)))))
22	21	anbi1d 438	. . . . . . 7 ⊢ (y = (𝐶 + (i · 𝐷)) → ((((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ y = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)) ↔ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))))
23	22	2rexbidv 2343	. . . . . 6 ⊢ (y = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ y = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))))
24	23	2rexbidv 2343	. . . . 5 ⊢ (y = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ y = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))))
25		df-ap 7326	. . . . 5 ⊢ # = {⟨x, y⟩ ∣ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ ((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ y = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))}
26	19, 24, 25	brabg 3997	. . . 4 ⊢ (((A + (i · B)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))))
27	8, 14, 26	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))))
28		simprr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))
29	1	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → A ∈ ℝ)
30	9	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → 𝐶 ∈ ℝ)
31		apreap 7331	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (A # 𝐶 ↔ A #ℝ 𝐶))
32	29, 30, 31	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → (A # 𝐶 ↔ A #ℝ 𝐶))
33	5	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → B ∈ ℝ)
34	11	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → 𝐷 ∈ ℝ)
35		apreap 7331	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (B # 𝐷 ↔ B #ℝ 𝐷))
36	33, 34, 35	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → (B # 𝐷 ↔ B #ℝ 𝐷))
37	32, 36	orbi12d 706	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → ((A # 𝐶 ∨ B # 𝐷) ↔ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ 𝐷)))
38		simprll 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → (A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)))
39		simpllr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ))
40		cru 7346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) → ((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (A = 𝑟 ∧ B = 𝑠)))
41	29, 33, 39, 40	syl21anc 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → ((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (A = 𝑟 ∧ B = 𝑠)))
42	38, 41	mpbid 135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → (A = 𝑟 ∧ B = 𝑠))
43	42	simpld 105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → A = 𝑟)
44		simprlr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)))
45		simplr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ))
46		cru 7346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)) ↔ (𝐶 = 𝑡 ∧ 𝐷 = u)))
47	30, 34, 45, 46	syl21anc 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)) ↔ (𝐶 = 𝑡 ∧ 𝐷 = u)))
48	44, 47	mpbid 135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → (𝐶 = 𝑡 ∧ 𝐷 = u))
49	48	simpld 105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → 𝐶 = 𝑡)
50	43, 49	breq12d 3768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → (A #ℝ 𝐶 ↔ 𝑟 #ℝ 𝑡))
51	42	simprd 107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → B = 𝑠)
52	48	simprd 107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → 𝐷 = u)
53	51, 52	breq12d 3768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → (B #ℝ 𝐷 ↔ 𝑠 #ℝ u))
54	50, 53	orbi12d 706	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → ((A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ 𝐷) ↔ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)))
55	37, 54	bitrd 177	. . . . . . 7 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → ((A # 𝐶 ∨ B # 𝐷) ↔ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)))
56	28, 55	mpbird 156	. . . . . 6 ⊢ ((((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) ∧ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))) → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐷))
57	56	ex 108	. . . . 5 ⊢ (((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ u ∈ ℝ)) → ((((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)) → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐷)))
58	57	rexlimdvva 2434	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)) → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐷)))
59	58	rexlimdvva 2434	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)) → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐷)))
60	27, 59	sylbid 139	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) → (A # 𝐶 ∨ B # 𝐷)))
61	31	ad2ant2r 478	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (A # 𝐶 ↔ A #ℝ 𝐶))
62	35	ad2ant2l 477	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (B # 𝐷 ↔ B #ℝ 𝐷))
63	61, 62	orbi12d 706	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((A # 𝐶 ∨ B # 𝐷) ↔ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ 𝐷)))
64	63	pm5.32i 427	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (A # 𝐶 ∨ B # 𝐷)) ↔ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ 𝐷)))
65		eqid 2037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A + (i · B)) = (A + (i · B))
66		eqid 2037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))
67	65, 66	pm3.2i 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
68	67	biantrur 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ 𝐷) ↔ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) ∧ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ 𝐷)))
69		oveq1 5462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 + (i · u)) = (𝐶 + (i · u)))
70	69	eqeq2d 2048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u))))
71	70	anbi2d 437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u)))))
72		breq2 3759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (A #ℝ 𝑡 ↔ A #ℝ 𝐶))
73	72	orbi1d 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((A #ℝ 𝑡 ∨ B #ℝ u) ↔ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ u)))
74	71, 73	anbi12d 442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → ((((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (A #ℝ 𝑡 ∨ B #ℝ u)) ↔ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u))) ∧ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ u))))
75		oveq2 5463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (u = 𝐷 → (i · u) = (i · 𝐷))
76	75	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (u = 𝐷 → (𝐶 + (i · u)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
77	76	eqeq2d 2048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (u = 𝐷 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))))
78	77	anbi2d 437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (u = 𝐷 → (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))))
79		breq2 3759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (u = 𝐷 → (B #ℝ u ↔ B #ℝ 𝐷))
80	79	orbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (u = 𝐷 → ((A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ u) ↔ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ 𝐷)))
81	78, 80	anbi12d 442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (u = 𝐷 → ((((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u))) ∧ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ u)) ↔ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) ∧ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ 𝐷))))
82	74, 81	rspc2ev 2658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) ∧ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ 𝐷))) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (A #ℝ 𝑡 ∨ B #ℝ u)))
83	68, 82	syl3an3b 1172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ 𝐷)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (A #ℝ 𝑡 ∨ B #ℝ u)))
84	83	3expa 1103	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ 𝐷)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (A #ℝ 𝑡 ∨ B #ℝ u)))
85		oveq1 5462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = A → (𝑟 + (i · 𝑠)) = (A + (i · 𝑠)))
86	85	eqeq2d 2048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = A → ((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠))))
87	86	anbi1d 438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = A → (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)))))
88		breq1 3758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = A → (𝑟 #ℝ 𝑡 ↔ A #ℝ 𝑡))
89	88	orbi1d 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = A → ((𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u) ↔ (A #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)))
90	87, 89	anbi12d 442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = A → ((((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)) ↔ (((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (A #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))))
91	90	2rexbidv 2343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = A → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (A #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))))
92		oveq2 5463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = B → (i · 𝑠) = (i · B))
93	92	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = B → (A + (i · 𝑠)) = (A + (i · B)))
94	93	eqeq2d 2048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = B → ((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) ↔ (A + (i · B)) = (A + (i · B))))
95	94	anbi1d 438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = B → (((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)))))
96		breq1 3758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = B → (𝑠 #ℝ u ↔ B #ℝ u))
97	96	orbi2d 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = B → ((A #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u) ↔ (A #ℝ 𝑡 ∨ B #ℝ u)))
98	95, 97	anbi12d 442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = B → ((((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (A #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)) ↔ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (A #ℝ 𝑡 ∨ B #ℝ u))))
99	98	2rexbidv 2343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = B → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (A #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (A #ℝ 𝑡 ∨ B #ℝ u))))
100	91, 99	rspc2ev 2658	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (A #ℝ 𝑡 ∨ B #ℝ u))) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)))
101	84, 100	syl3an3 1169	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ 𝐷))) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)))
102	101	3expa 1103	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ 𝐷))) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)))
103	102	anassrs 380	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ 𝐷)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u)))
104	27	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ 𝐷)) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃u ∈ ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ∧ (𝑟 #ℝ 𝑡 ∨ 𝑠 #ℝ u))))
105	103, 104	mpbird 156	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (A #ℝ 𝐶 ∨ B #ℝ 𝐷)) → (A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)))
106	64, 105	sylbi 114	. . 3 ⊢ ((((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (A # 𝐶 ∨ B # 𝐷)) → (A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)))
107	106	ex 108	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((A # 𝐶 ∨ B # 𝐷) → (A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷))))
108	60, 107	impbid 120	1 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (A # 𝐶 ∨ B # 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6669  ℝcr 6670  ici 6673   + caddc 6674   · cmul 6676   #_ℝ creap 7318   # cap 7325

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326

This theorem is referenced by:  apirr  7349  apsym  7350  apcotr  7351  apadd1  7352  apneg  7355  mulext1  7356  apti  7366  recexaplem2  7375  crap0  7651  iap0  7885  cjap  9094