ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apreim Structured version   GIF version

Theorem apreim 7347
Description: Complex apartness in terms of real and imaginary parts. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apreim (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (A # 𝐶 B # 𝐷)))

Proof of Theorem apreim
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 481 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → A ℝ)
21recnd 6811 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → A ℂ)
3 ax-icn 6738 . . . . . . 7 i
43a1i 9 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → i ℂ)
5 simplr 482 . . . . . . 7 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → B ℝ)
65recnd 6811 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → B ℂ)
74, 6mulcld 6805 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (i · B) ℂ)
82, 7addcld 6804 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (A + (i · B)) ℂ)
9 simprl 483 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → 𝐶 ℝ)
109recnd 6811 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → 𝐶 ℂ)
11 simprr 484 . . . . . . 7 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → 𝐷 ℝ)
1211recnd 6811 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → 𝐷 ℂ)
134, 12mulcld 6805 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (i · 𝐷) ℂ)
1410, 13addcld 6804 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ℂ)
15 eqeq1 2043 . . . . . . . . 9 (x = (A + (i · B)) → (x = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠))))
1615anbi1d 438 . . . . . . . 8 (x = (A + (i · B)) → ((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u)))))
1716anbi1d 438 . . . . . . 7 (x = (A + (i · B)) → (((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
18172rexbidv 2343 . . . . . 6 (x = (A + (i · B)) → (𝑡 u ℝ ((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
19182rexbidv 2343 . . . . 5 (x = (A + (i · B)) → (𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ ((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
20 eqeq1 2043 . . . . . . . . 9 (y = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (y = (𝑡 + (i · u)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))))
2120anbi2d 437 . . . . . . . 8 (y = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)))))
2221anbi1d 438 . . . . . . 7 (y = (𝐶 + (i · 𝐷)) → ((((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
23222rexbidv 2343 . . . . . 6 (y = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
24232rexbidv 2343 . . . . 5 (y = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
25 df-ap 7326 . . . . 5 # = {⟨x, y⟩ ∣ 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ ((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))}
2619, 24, 25brabg 3997 . . . 4 (((A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) ℂ) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
278, 14, 26syl2anc 391 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
28 simprr 484 . . . . . . 7 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))
291ad3antrrr 461 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → A ℝ)
309ad3antrrr 461 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → 𝐶 ℝ)
31 apreap 7331 . . . . . . . . . 10 ((A 𝐶 ℝ) → (A # 𝐶A # 𝐶))
3229, 30, 31syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (A # 𝐶A # 𝐶))
335ad3antrrr 461 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → B ℝ)
3411ad3antrrr 461 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → 𝐷 ℝ)
35 apreap 7331 . . . . . . . . . 10 ((B 𝐷 ℝ) → (B # 𝐷B # 𝐷))
3633, 34, 35syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (B # 𝐷B # 𝐷))
3732, 36orbi12d 706 . . . . . . . 8 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → ((A # 𝐶 B # 𝐷) ↔ (A # 𝐶 B # 𝐷)))
38 simprll 489 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)))
39 simpllr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (𝑟 𝑠 ℝ))
40 cru 7346 . . . . . . . . . . . . 13 (((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) → ((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (A = 𝑟 B = 𝑠)))
4129, 33, 39, 40syl21anc 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → ((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (A = 𝑟 B = 𝑠)))
4238, 41mpbid 135 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (A = 𝑟 B = 𝑠))
4342simpld 105 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → A = 𝑟)
44 simprlr 490 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)))
45 simplr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (𝑡 u ℝ))
46 cru 7346 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 𝐷 ℝ) (𝑡 u ℝ)) → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)) ↔ (𝐶 = 𝑡 𝐷 = u)))
4730, 34, 45, 46syl21anc 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)) ↔ (𝐶 = 𝑡 𝐷 = u)))
4844, 47mpbid 135 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (𝐶 = 𝑡 𝐷 = u))
4948simpld 105 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → 𝐶 = 𝑡)
5043, 49breq12d 3768 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (A # 𝐶𝑟 # 𝑡))
5142simprd 107 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → B = 𝑠)
5248simprd 107 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → 𝐷 = u)
5351, 52breq12d 3768 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (B # 𝐷𝑠 # u))
5450, 53orbi12d 706 . . . . . . . 8 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → ((A # 𝐶 B # 𝐷) ↔ (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)))
5537, 54bitrd 177 . . . . . . 7 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → ((A # 𝐶 B # 𝐷) ↔ (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)))
5628, 55mpbird 156 . . . . . 6 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (A # 𝐶 B # 𝐷))
5756ex 108 . . . . 5 (((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) → ((((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) → (A # 𝐶 B # 𝐷)))
5857rexlimdvva 2434 . . . 4 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) → (𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) → (A # 𝐶 B # 𝐷)))
5958rexlimdvva 2434 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) → (A # 𝐶 B # 𝐷)))
6027, 59sylbid 139 . 2 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) → (A # 𝐶 B # 𝐷)))
6131ad2ant2r 478 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (A # 𝐶A # 𝐶))
6235ad2ant2l 477 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (B # 𝐷B # 𝐷))
6361, 62orbi12d 706 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A # 𝐶 B # 𝐷) ↔ (A # 𝐶 B # 𝐷)))
6463pm5.32i 427 . . . 4 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A # 𝐶 B # 𝐷)) ↔ (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A # 𝐶 B # 𝐷)))
65 eqid 2037 . . . . . . . . . . . 12 (A + (i · B)) = (A + (i · B))
66 eqid 2037 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))
6765, 66pm3.2i 257 . . . . . . . . . . 11 ((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
6867biantrur 287 . . . . . . . . . 10 ((A # 𝐶 B # 𝐷) ↔ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) (A # 𝐶 B # 𝐷)))
69 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 + (i · u)) = (𝐶 + (i · u)))
7069eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝐶 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u))))
7170anbi2d 437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝐶 → (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u)))))
72 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝐶 → (A # 𝑡A # 𝐶))
7372orbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝐶 → ((A # 𝑡 B # u) ↔ (A # 𝐶 B # u)))
7471, 73anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝐶 → ((((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 B # u)) ↔ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u))) (A # 𝐶 B # u))))
75 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (u = 𝐷 → (i · u) = (i · 𝐷))
7675oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . 14 (u = 𝐷 → (𝐶 + (i · u)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
7776eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . . . 13 (u = 𝐷 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))))
7877anbi2d 437 . . . . . . . . . . . 12 (u = 𝐷 → (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))))
79 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . 13 (u = 𝐷 → (B # uB # 𝐷))
8079orbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12 (u = 𝐷 → ((A # 𝐶 B # u) ↔ (A # 𝐶 B # 𝐷)))
8178, 80anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11 (u = 𝐷 → ((((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u))) (A # 𝐶 B # u)) ↔ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) (A # 𝐶 B # 𝐷))))
8274, 81rspc2ev 2658 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 𝐷 (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) (A # 𝐶 B # 𝐷))) → 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 B # u)))
8368, 82syl3an3b 1172 . . . . . . . . 9 ((𝐶 𝐷 (A # 𝐶 B # 𝐷)) → 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 B # u)))
84833expa 1103 . . . . . . . 8 (((𝐶 𝐷 ℝ) (A # 𝐶 B # 𝐷)) → 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 B # u)))
85 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = A → (𝑟 + (i · 𝑠)) = (A + (i · 𝑠)))
8685eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = A → ((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠))))
8786anbi1d 438 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = A → (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)))))
88 breq1 3758 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = A → (𝑟 # 𝑡A # 𝑡))
8988orbi1d 704 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = A → ((𝑟 # 𝑡 𝑠 # u) ↔ (A # 𝑡 𝑠 # u)))
9087, 89anbi12d 442 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = A → ((((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ (((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 𝑠 # u))))
91902rexbidv 2343 . . . . . . . . 9 (𝑟 = A → (𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 𝑠 # u))))
92 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = B → (i · 𝑠) = (i · B))
9392oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = B → (A + (i · 𝑠)) = (A + (i · B)))
9493eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = B → ((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) ↔ (A + (i · B)) = (A + (i · B))))
9594anbi1d 438 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = B → (((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)))))
96 breq1 3758 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = B → (𝑠 # uB # u))
9796orbi2d 703 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = B → ((A # 𝑡 𝑠 # u) ↔ (A # 𝑡 B # u)))
9895, 97anbi12d 442 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = B → ((((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 B # u))))
99982rexbidv 2343 . . . . . . . . 9 (𝑠 = B → (𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 B # u))))
10091, 99rspc2ev 2658 . . . . . . . 8 ((A B 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 B # u))) → 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)))
10184, 100syl3an3 1169 . . . . . . 7 ((A B ((𝐶 𝐷 ℝ) (A # 𝐶 B # 𝐷))) → 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)))
1021013expa 1103 . . . . . 6 (((A B ℝ) ((𝐶 𝐷 ℝ) (A # 𝐶 B # 𝐷))) → 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)))
103102anassrs 380 . . . . 5 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A # 𝐶 B # 𝐷)) → 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)))
10427adantr 261 . . . . 5 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A # 𝐶 B # 𝐷)) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
105103, 104mpbird 156 . . . 4 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A # 𝐶 B # 𝐷)) → (A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)))
10664, 105sylbi 114 . . 3 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A # 𝐶 B # 𝐷)) → (A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)))
107106ex 108 . 2 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A # 𝐶 B # 𝐷) → (A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷))))
10860, 107impbid 120 1 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (A # 𝐶 B # 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  ici 6673   + caddc 6674   · cmul 6676   # creap 7318   # cap 7325
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326
This theorem is referenced by:  apirr  7349  apsym  7350  apcotr  7351  apadd1  7352  apneg  7355  mulext1  7356  apti  7366  recexaplem2  7375  crap0  7651  iap0  7885  cjap  9094
  Copyright terms: Public domain W3C validator