ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apreim Structured version   GIF version

Theorem apreim 7190
Description: Complex apartness in terms of real and imaginary parts. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apreim (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (A # 𝐶 B # 𝐷)))

Proof of Theorem apreim
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 466 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → A ℝ)
21recnd 6654 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → A ℂ)
3 ax-icn 6582 . . . . . . 7 i
43a1i 9 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → i ℂ)
5 simplr 467 . . . . . . 7 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → B ℝ)
65recnd 6654 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → B ℂ)
74, 6mulcld 6648 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (i · B) ℂ)
82, 7addcld 6647 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (A + (i · B)) ℂ)
9 simprl 468 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → 𝐶 ℝ)
109recnd 6654 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → 𝐶 ℂ)
11 simprr 469 . . . . . . 7 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → 𝐷 ℝ)
1211recnd 6654 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → 𝐷 ℂ)
134, 12mulcld 6648 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (i · 𝐷) ℂ)
1410, 13addcld 6647 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ℂ)
15 eqeq1 2019 . . . . . . . . 9 (x = (A + (i · B)) → (x = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠))))
1615anbi1d 438 . . . . . . . 8 (x = (A + (i · B)) → ((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u)))))
1716anbi1d 438 . . . . . . 7 (x = (A + (i · B)) → (((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
18172rexbidv 2318 . . . . . 6 (x = (A + (i · B)) → (𝑡 u ℝ ((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
19182rexbidv 2318 . . . . 5 (x = (A + (i · B)) → (𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ ((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
20 eqeq1 2019 . . . . . . . . 9 (y = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (y = (𝑡 + (i · u)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))))
2120anbi2d 437 . . . . . . . 8 (y = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)))))
2221anbi1d 438 . . . . . . 7 (y = (𝐶 + (i · 𝐷)) → ((((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
23222rexbidv 2318 . . . . . 6 (y = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
24232rexbidv 2318 . . . . 5 (y = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
25 df-ap 7169 . . . . 5 # = {⟨x, y⟩ ∣ 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ ((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))}
2619, 24, 25brabg 3969 . . . 4 (((A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) ℂ) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
278, 14, 26syl2anc 391 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
28 simprr 469 . . . . . . 7 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))
291ad3antrrr 458 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → A ℝ)
309ad3antrrr 458 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → 𝐶 ℝ)
31 apreap 7174 . . . . . . . . . 10 ((A 𝐶 ℝ) → (A # 𝐶A # 𝐶))
3229, 30, 31syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (A # 𝐶A # 𝐶))
335ad3antrrr 458 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → B ℝ)
3411ad3antrrr 458 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → 𝐷 ℝ)
35 apreap 7174 . . . . . . . . . 10 ((B 𝐷 ℝ) → (B # 𝐷B # 𝐷))
3633, 34, 35syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (B # 𝐷B # 𝐷))
3732, 36orbi12d 691 . . . . . . . 8 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → ((A # 𝐶 B # 𝐷) ↔ (A # 𝐶 B # 𝐷)))
38 simprll 474 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)))
39 simpllr 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (𝑟 𝑠 ℝ))
40 cru 7189 . . . . . . . . . . . . 13 (((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) → ((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (A = 𝑟 B = 𝑠)))
4129, 33, 39, 40syl21anc 1115 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → ((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (A = 𝑟 B = 𝑠)))
4238, 41mpbid 135 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (A = 𝑟 B = 𝑠))
4342simpld 105 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → A = 𝑟)
44 simprlr 475 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)))
45 simplr 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (𝑡 u ℝ))
46 cru 7189 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 𝐷 ℝ) (𝑡 u ℝ)) → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)) ↔ (𝐶 = 𝑡 𝐷 = u)))
4730, 34, 45, 46syl21anc 1115 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)) ↔ (𝐶 = 𝑡 𝐷 = u)))
4844, 47mpbid 135 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (𝐶 = 𝑡 𝐷 = u))
4948simpld 105 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → 𝐶 = 𝑡)
5043, 49breq12d 3740 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (A # 𝐶𝑟 # 𝑡))
5142simprd 107 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → B = 𝑠)
5248simprd 107 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → 𝐷 = u)
5351, 52breq12d 3740 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (B # 𝐷𝑠 # u))
5450, 53orbi12d 691 . . . . . . . 8 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → ((A # 𝐶 B # 𝐷) ↔ (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)))
5537, 54bitrd 177 . . . . . . 7 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → ((A # 𝐶 B # 𝐷) ↔ (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)))
5628, 55mpbird 156 . . . . . 6 ((((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (A # 𝐶 B # 𝐷))
5756ex 108 . . . . 5 (((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) → ((((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) → (A # 𝐶 B # 𝐷)))
5857rexlimdvva 2409 . . . 4 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (𝑟 𝑠 ℝ)) → (𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) → (A # 𝐶 B # 𝐷)))
5958rexlimdvva 2409 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) → (A # 𝐶 B # 𝐷)))
6027, 59sylbid 139 . 2 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) → (A # 𝐶 B # 𝐷)))
6131ad2ant2r 463 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (A # 𝐶A # 𝐶))
6235ad2ant2l 462 . . . . . 6 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (B # 𝐷B # 𝐷))
6361, 62orbi12d 691 . . . . 5 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A # 𝐶 B # 𝐷) ↔ (A # 𝐶 B # 𝐷)))
6463pm5.32i 427 . . . 4 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A # 𝐶 B # 𝐷)) ↔ (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A # 𝐶 B # 𝐷)))
65 eqid 2013 . . . . . . . . . . . 12 (A + (i · B)) = (A + (i · B))
66 eqid 2013 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))
6765, 66pm3.2i 257 . . . . . . . . . . 11 ((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
6867biantrur 287 . . . . . . . . . 10 ((A # 𝐶 B # 𝐷) ↔ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) (A # 𝐶 B # 𝐷)))
69 oveq1 5431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 + (i · u)) = (𝐶 + (i · u)))
7069eqeq2d 2024 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝐶 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u))))
7170anbi2d 437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝐶 → (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u)))))
72 breq2 3731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝐶 → (A # 𝑡A # 𝐶))
7372orbi1d 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝐶 → ((A # 𝑡 B # u) ↔ (A # 𝐶 B # u)))
7471, 73anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝐶 → ((((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 B # u)) ↔ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u))) (A # 𝐶 B # u))))
75 oveq2 5432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (u = 𝐷 → (i · u) = (i · 𝐷))
7675oveq2d 5440 . . . . . . . . . . . . . 14 (u = 𝐷 → (𝐶 + (i · u)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
7776eqeq2d 2024 . . . . . . . . . . . . 13 (u = 𝐷 → ((𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u)) ↔ (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))))
7877anbi2d 437 . . . . . . . . . . . 12 (u = 𝐷 → (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))))
79 breq2 3731 . . . . . . . . . . . . 13 (u = 𝐷 → (B # uB # 𝐷))
8079orbi2d 688 . . . . . . . . . . . 12 (u = 𝐷 → ((A # 𝐶 B # u) ↔ (A # 𝐶 B # 𝐷)))
8178, 80anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11 (u = 𝐷 → ((((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · u))) (A # 𝐶 B # u)) ↔ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) (A # 𝐶 B # 𝐷))))
8274, 81rspc2ev 2632 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 𝐷 (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) (A # 𝐶 B # 𝐷))) → 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 B # u)))
8368, 82syl3an3b 1154 . . . . . . . . 9 ((𝐶 𝐷 (A # 𝐶 B # 𝐷)) → 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 B # u)))
84833expa 1085 . . . . . . . 8 (((𝐶 𝐷 ℝ) (A # 𝐶 B # 𝐷)) → 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 B # u)))
85 oveq1 5431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = A → (𝑟 + (i · 𝑠)) = (A + (i · 𝑠)))
8685eqeq2d 2024 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = A → ((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ (A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠))))
8786anbi1d 438 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = A → (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)))))
88 breq1 3730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = A → (𝑟 # 𝑡A # 𝑡))
8988orbi1d 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = A → ((𝑟 # 𝑡 𝑠 # u) ↔ (A # 𝑡 𝑠 # u)))
9087, 89anbi12d 442 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = A → ((((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ (((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 𝑠 # u))))
91902rexbidv 2318 . . . . . . . . 9 (𝑟 = A → (𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 𝑠 # u))))
92 oveq2 5432 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = B → (i · 𝑠) = (i · B))
9392oveq2d 5440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = B → (A + (i · 𝑠)) = (A + (i · B)))
9493eqeq2d 2024 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = B → ((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) ↔ (A + (i · B)) = (A + (i · B))))
9594anbi1d 438 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = B → (((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) ↔ ((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u)))))
96 breq1 3730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = B → (𝑠 # uB # u))
9796orbi2d 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = B → ((A # 𝑡 𝑠 # u) ↔ (A # 𝑡 B # u)))
9895, 97anbi12d 442 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = B → ((((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 B # u))))
99982rexbidv 2318 . . . . . . . . 9 (𝑠 = B → (𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 B # u))))
10091, 99rspc2ev 2632 . . . . . . . 8 ((A B 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (A + (i · B)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 B # u))) → 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)))
10184, 100syl3an3 1151 . . . . . . 7 ((A B ((𝐶 𝐷 ℝ) (A # 𝐶 B # 𝐷))) → 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)))
1021013expa 1085 . . . . . 6 (((A B ℝ) ((𝐶 𝐷 ℝ) (A # 𝐶 B # 𝐷))) → 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)))
103102anassrs 380 . . . . 5 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A # 𝐶 B # 𝐷)) → 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)))
10427adantr 261 . . . . 5 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A # 𝐶 B # 𝐷)) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ (((A + (i · B)) = (𝑟 + (i · 𝑠)) (𝐶 + (i · 𝐷)) = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
105103, 104mpbird 156 . . . 4 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A # 𝐶 B # 𝐷)) → (A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)))
10664, 105sylbi 114 . . 3 ((((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) (A # 𝐶 B # 𝐷)) → (A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)))
107106ex 108 . 2 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A # 𝐶 B # 𝐷) → (A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷))))
10860, 107impbid 120 1 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A + (i · B)) # (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (A # 𝐶 B # 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 613   = wceq 1223   wcel 1366  wrex 2276   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424  cc 6518  cr 6519  ici 6522   + caddc 6523   · cmul 6525   # creap 7161   # cap 7168
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226  ax-cnex 6578  ax-resscn 6579  ax-1cn 6580  ax-1re 6581  ax-icn 6582  ax-addcl 6583  ax-addrcl 6584  ax-mulcl 6585  ax-mulrcl 6586  ax-addcom 6587  ax-mulcom 6588  ax-addass 6589  ax-mulass 6590  ax-distr 6591  ax-i2m1 6592  ax-1rid 6594  ax-0id 6595  ax-rnegex 6596  ax-precex 6597  ax-cnre 6598  ax-pre-ltirr 6599  ax-pre-lttrn 6601  ax-pre-apti 6602  ax-pre-ltadd 6603  ax-pre-mulgt0 6604
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-nel 2180  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-po 3996  df-iso 3997  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-riota 5381  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-1o 5904  df-2o 5905  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-lti 6153  df-plpq 6189  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-mqqs 6195  df-1nqqs 6196  df-rq 6197  df-ltnqqs 6198  df-enq0 6265  df-nq0 6266  df-0nq0 6267  df-plq0 6268  df-mq0 6269  df-inp 6306  df-i1p 6307  df-iplp 6308  df-iltp 6310  df-enr 6464  df-nr 6465  df-ltr 6468  df-0r 6469  df-1r 6470  df-0 6527  df-1 6528  df-r 6530  df-lt 6533  df-pnf 6662  df-mnf 6663  df-ltxr 6665  df-sub 6784  df-neg 6785  df-reap 7162  df-ap 7169
This theorem is referenced by:  apirr  7192  apsym  7193  apcotr  7194  apadd1  7195  apneg  7198  mulext1  7199  apti  7209  recexaplem2  7218  crap0  7493  iap0  7726
  Copyright terms: Public domain W3C validator