Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addext Structured version   GIF version

 Description: Strong extensionality for addition. Given excluded middle, apartness would be equivalent to negated equality and this would follow readily (for all operations) from oveq12 5464. For us, it is proved a different way. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
addext (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A + B) # (𝐶 + 𝐷) → (A # 𝐶 B # 𝐷)))

Proof of Theorem addext
StepHypRef Expression
1 simpll 481 . . . 4 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → A ℂ)
2 simplr 482 . . . 4 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → B ℂ)
31, 2addcld 6824 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (A + B) ℂ)
4 simprl 483 . . . 4 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → 𝐶 ℂ)
5 simprr 484 . . . 4 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → 𝐷 ℂ)
64, 5addcld 6824 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (𝐶 + 𝐷) ℂ)
74, 2addcld 6824 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (𝐶 + B) ℂ)
8 apcotr 7371 . . 3 (((A + B) (𝐶 + 𝐷) (𝐶 + B) ℂ) → ((A + B) # (𝐶 + 𝐷) → ((A + B) # (𝐶 + B) (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + B))))
93, 6, 7, 8syl3anc 1134 . 2 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A + B) # (𝐶 + 𝐷) → ((A + B) # (𝐶 + B) (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + B))))
10 apadd1 7372 . . . 4 ((A 𝐶 B ℂ) → (A # 𝐶 ↔ (A + B) # (𝐶 + B)))
111, 4, 2, 10syl3anc 1134 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (A # 𝐶 ↔ (A + B) # (𝐶 + B)))
12 apadd2 7373 . . . . 5 ((B 𝐷 𝐶 ℂ) → (B # 𝐷 ↔ (𝐶 + B) # (𝐶 + 𝐷)))
132, 5, 4, 12syl3anc 1134 . . . 4 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (B # 𝐷 ↔ (𝐶 + B) # (𝐶 + 𝐷)))
14 apsym 7370 . . . . 5 (((𝐶 + B) (𝐶 + 𝐷) ℂ) → ((𝐶 + B) # (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + B)))
157, 6, 14syl2anc 391 . . . 4 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((𝐶 + B) # (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + B)))
1613, 15bitrd 177 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (B # 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + B)))
1711, 16orbi12d 706 . 2 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A # 𝐶 B # 𝐷) ↔ ((A + B) # (𝐶 + B) (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + B))))
189, 17sylibrd 158 1 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A + B) # (𝐶 + 𝐷) → (A # 𝐶 B # 𝐷)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6689   + caddc 6694   # cap 7345 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-ltxr 6842  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346 This theorem is referenced by:  mulext1  7376
 Copyright terms: Public domain W3C validator