mulext1 - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulext1		Unicode version

Theorem mulext1 7603

Description: Left extensionality for complex multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulext1	$/\$ $/\$ # #

Proof of Theorem mulext1 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7023	. . 3
2	1	3ad2ant3 927	. 2 $/\$ $/\$
3		cnre 7023	. . . . . . 7
4	3	3ad2ant2 926	. . . . . 6 $/\$ $/\$
5	4	ad2antrr 457	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		cnre 7023	. . . . . . . . . . 11
7	6	3ad2ant1 925	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	7	adantr 261	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	8	ad3antrrr 461	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		simplrl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	10	recnd 7054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		simprl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	12	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	13	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	recnd 7054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 15	mulcld 7047	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17		simplrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	17	recnd 7054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19		simprr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20	19	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	20	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21	recnd 7054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	18, 22	mulcld 7047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	23	negcld 7309	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		simprl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	26	recnd 7054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	27, 15	mulcld 7047	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		simprr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	29	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	30	recnd 7054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	31, 22	mulcld 7047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	32	negcld 7309	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		addext 7601	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ # # $\/$ #
35	16, 24, 28, 33, 34	syl22anc 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # # $\/$ #
36		remulext1 7590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ # #
37	10, 26, 14, 36	syl3anc 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
38		apneg 7602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # #
39	23, 32, 38	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
40		remulext1 7590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ # #
41	17, 30, 21, 40	syl3anc 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
42	39, 41	sylbird 159	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
43	37, 42	orim12d 700	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # $\/$ # # $\/$ #
44	35, 43	syld 40	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # # $\/$ #
45	15, 18	mulcld 7047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	22, 11	mulcld 7047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	15, 31	mulcld 7047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	22, 27	mulcld 7047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		addext 7601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ # # $\/$ #
50	45, 46, 47, 48, 49	syl22anc 1136	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # # $\/$ #
51		remulext2 7591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ # #
52	17, 30, 14, 51	syl3anc 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
53		remulext2 7591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ # #
54	10, 26, 21, 53	syl3anc 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
55	52, 54	orim12d 700	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # $\/$ # # $\/$ #
56	50, 55	syld 40	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # # $\/$ #
57		orcom 647	. . . . . . . . . . . . . 14 # $\/$ # # $\/$ #
58	56, 57	syl6ib 150	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # # $\/$ #
59	44, 58	jaod 637	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # $\/$ # # $\/$ #
60		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		simplr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	61	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	60, 62	oveq12d 5530	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simpllr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64, 62	oveq12d 5530	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	63, 65	breq12d 3777	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
67		mulreim 7595	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
68	10, 17, 14, 21, 67	syl22anc 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		mulreim 7595	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
70	26, 30, 14, 21, 69	syl22anc 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	68, 70	breq12d 3777	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
72	10, 14	remulcld 7056	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	17, 21	remulcld 7056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	renegcld 7378	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	72, 74	readdcld 7055	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	14, 17	remulcld 7056	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	21, 10	remulcld 7056	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	76, 77	readdcld 7055	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	26, 14	remulcld 7056	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	30, 21	remulcld 7056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	80	renegcld 7378	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	79, 81	readdcld 7055	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	14, 30	remulcld 7056	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	21, 26	remulcld 7056	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	83, 84	readdcld 7055	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		apreim 7594	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ # # $\/$ #
87	75, 78, 82, 85, 86	syl22anc 1136	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # # $\/$ #
88	66, 71, 87	3bitrd 203	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # # $\/$ #
89		apreim 7594	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ # # $\/$ #
90	10, 17, 26, 30, 89	syl22anc 1136	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # # $\/$ #
91	59, 88, 90	3imtr4d 192	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
92	60, 64	breq12d 3777	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
93	91, 92	sylibrd 158	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
94	93	ex 108	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
95	94	rexlimdvva 2440	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
96	9, 95	mpd 13	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
97	96	ex 108	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
98	97	rexlimdvva 2440	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
99	5, 98	mpd 13	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
100	99	ex 108	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # #
101	100	rexlimdvva 2440	. 2 $/\$ $/\$ # #
102	2, 101	mpd 13	1 $/\$ $/\$ # #

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 97

wb 98 $\/$ wo 629 $/\$ w3a 885

wceq 1243

wcel 1393

wrex 2307 class class class wbr 3764 (class class class)co 5512

cc 6887

cr 6888

ci 6891

caddc 6892

cmul 6894

cneg 7183 # cap 7572

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 630 ax-5 1336 ax-7 1337 ax-gen 1338 ax-ie1 1382 ax-ie2 1383 ax-8 1395 ax-10 1396 ax-11 1397 ax-i12 1398 ax-bndl 1399 ax-4 1400 ax-13 1404 ax-14 1405 ax-17 1419 ax-i9 1423 ax-ial 1427 ax-i5r 1428 ax-ext 2022 ax-coll 3872 ax-sep 3875 ax-nul 3883 ax-pow 3927 ax-pr 3944 ax-un 4170 ax-setind 4262 ax-iinf 4311 ax-cnex 6975 ax-resscn 6976 ax-1cn 6977 ax-1re 6978 ax-icn 6979 ax-addcl 6980 ax-addrcl 6981 ax-mulcl 6982 ax-mulrcl 6983 ax-addcom 6984 ax-mulcom 6985 ax-addass 6986 ax-mulass 6987 ax-distr 6988 ax-i2m1 6989 ax-1rid 6991 ax-0id 6992 ax-rnegex 6993 ax-precex 6994 ax-cnre 6995 ax-pre-ltirr 6996 ax-pre-ltwlin 6997 ax-pre-lttrn 6998 ax-pre-apti 6999 ax-pre-ltadd 7000 ax-pre-mulgt0 7001 ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-dc 743 df-3or 886 df-3an 887 df-tru 1246 df-fal 1249 df-nf 1350 df-sb 1646 df-eu 1903 df-mo 1904 df-clab 2027 df-cleq 2033 df-clel 2036 df-nfc 2167 df-ne 2206 df-nel 2207 df-ral 2311 df-rex 2312 df-reu 2313 df-rab 2315 df-v 2559 df-sbc 2765 df-csb 2853 df-dif 2920 df-un 2922 df-in 2924 df-ss 2931 df-nul 3225 df-pw 3361 df-sn 3381 df-pr 3382 df-op 3384 df-uni 3581 df-int 3616 df-iun 3659 df-br 3765 df-opab 3819 df-mpt 3820 df-tr 3855 df-eprel 4026 df-id 4030 df-po 4033 df-iso 4034 df-iord 4103 df-on 4105 df-suc 4108 df-iom 4314 df-xp 4351 df-rel 4352 df-cnv 4353 df-co 4354 df-dm 4355 df-rn 4356 df-res 4357 df-ima 4358 df-iota 4867 df-fun 4904 df-fn 4905 df-f 4906 df-f1 4907 df-fo 4908 df-f1o 4909 df-fv 4910 df-riota 5468 df-ov 5515 df-oprab 5516 df-mpt2 5517 df-1st 5767 df-2nd 5768 df-recs 5920 df-irdg 5957 df-1o 6001 df-2o 6002 df-oadd 6005 df-omul 6006 df-er 6106 df-ec 6108 df-qs 6112 df-ni 6402 df-pli 6403 df-mi 6404 df-lti 6405 df-plpq 6442 df-mpq 6443 df-enq 6445 df-nqqs 6446 df-plqqs 6447 df-mqqs 6448 df-1nqqs 6449 df-rq 6450 df-ltnqqs 6451 df-enq0 6522 df-nq0 6523 df-0nq0 6524 df-plq0 6525 df-mq0 6526 df-inp 6564 df-i1p 6565 df-iplp 6566 df-iltp 6568 df-enr 6811 df-nr 6812 df-ltr 6815 df-0r 6816 df-1r 6817 df-0 6896 df-1 6897 df-r 6899 df-lt 6902 df-pnf 7062 df-mnf 7063 df-ltxr 7065 df-sub 7184 df-neg 7185 df-reap 7566 df-ap 7573

This theorem is referenced by: mulext2 7604 mulext 7605 mulap0 7635 apmul1 7764

W3C validator