Theorem ltmnqg 6246

Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. Proposition 9-2.6(iii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltmnqg	⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (A <Q B ↔ (𝐶 ·Q A) <Q (𝐶 ·Q B)))

Proof of Theorem ltmnqg

Dummy variables x y z w v u f g ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6193	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		breq1 3730	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~Q = A → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ A <Q [⟨z, w⟩] ~Q ))
3		oveq2 5432	. . . 4 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~Q = A → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A))
4	3	breq1d 3737	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~Q = A → (([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )))
5	2, 4	bibi12d 224	. 2 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~Q = A → (([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ↔ (A <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ))))
6		breq2 3731	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = B → (A <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ A <Q B))
7		oveq2 5432	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = B → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B))
8	7	breq2d 3739	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = B → (([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B)))
9	6, 8	bibi12d 224	. 2 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = B → ((A <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ↔ (A <Q B ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B))))
10		oveq1 5431	. . . 4 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) = (𝐶 ·Q A))
11		oveq1 5431	. . . 4 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B) = (𝐶 ·Q B))
12	10, 11	breq12d 3740	. . 3 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → (([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B) ↔ (𝐶 ·Q A) <Q (𝐶 ·Q B)))
13	12	bibi2d 221	. 2 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → ((A <Q B ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B)) ↔ (A <Q B ↔ (𝐶 ·Q A) <Q (𝐶 ·Q B))))
14		mulclpi 6174	. . . . . . . 8 ⊢ ((f ∈ N ∧ g ∈ N) → (f ·N g) ∈ N)
15	14	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) ∧ (f ∈ N ∧ g ∈ N)) → (f ·N g) ∈ N)
16		simp1l 910	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → x ∈ N)
17		simp2r 913	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → w ∈ N)
18	15, 16, 17	caovcld 5565	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (x ·N w) ∈ N)
19		simp1r 911	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → y ∈ N)
20		simp2l 912	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → z ∈ N)
21	15, 19, 20	caovcld 5565	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (y ·N z) ∈ N)
22		mulclpi 6174	. . . . . . 7 ⊢ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) → (v ·N u) ∈ N)
23	22	3ad2ant3 909	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (v ·N u) ∈ N)
24		ltmpig 6185	. . . . . 6 ⊢ (((x ·N w) ∈ N ∧ (y ·N z) ∈ N ∧ (v ·N u) ∈ N) → ((x ·N w) <N (y ·N z) ↔ ((v ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((v ·N u) ·N (y ·N z))))
25	18, 21, 23, 24	syl3anc 1116	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((x ·N w) <N (y ·N z) ↔ ((v ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((v ·N u) ·N (y ·N z))))
26		simp3l 914	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → v ∈ N)
27		simp3r 915	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → u ∈ N)
28		mulcompig 6177	. . . . . . . 8 ⊢ ((f ∈ N ∧ g ∈ N) → (f ·N g) = (g ·N f))
29	28	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) ∧ (f ∈ N ∧ g ∈ N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
30		mulasspig 6178	. . . . . . . 8 ⊢ ((f ∈ N ∧ g ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → ((f ·N g) ·N ℎ) = (f ·N (g ·N ℎ)))
31	30	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) ∧ (f ∈ N ∧ g ∈ N ∧ ℎ ∈ N)) → ((f ·N g) ·N ℎ) = (f ·N (g ·N ℎ)))
32	26, 16, 27, 29, 31, 17, 15	caov4d 5596	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((v ·N x) ·N (u ·N w)) = ((v ·N u) ·N (x ·N w)))
33	27, 19, 26, 29, 31, 20, 15	caov4d 5596	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((u ·N y) ·N (v ·N z)) = ((u ·N v) ·N (y ·N z)))
34		mulcompig 6177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((u ∈ N ∧ v ∈ N) → (u ·N v) = (v ·N u))
35	34	oveq1d 5439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((u ∈ N ∧ v ∈ N) → ((u ·N v) ·N (y ·N z)) = ((v ·N u) ·N (y ·N z)))
36	35	ancoms 255	. . . . . . . 8 ⊢ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) → ((u ·N v) ·N (y ·N z)) = ((v ·N u) ·N (y ·N z)))
37	36	3ad2ant3 909	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((u ·N v) ·N (y ·N z)) = ((v ·N u) ·N (y ·N z)))
38	33, 37	eqtrd 2045	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((u ·N y) ·N (v ·N z)) = ((v ·N u) ·N (y ·N z)))
39	32, 38	breq12d 3740	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (((v ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (v ·N z)) ↔ ((v ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((v ·N u) ·N (y ·N z))))
40	25, 39	bitr4d 180	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((x ·N w) <N (y ·N z) ↔ ((v ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (v ·N z))))
41		ordpipqqs 6219	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (x ·N w) <N (y ·N z)))
42	41	3adant3 906	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (x ·N w) <N (y ·N z)))
43	15, 26, 16	caovcld 5565	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (v ·N x) ∈ N)
44	15, 27, 19	caovcld 5565	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (u ·N y) ∈ N)
45	15, 26, 20	caovcld 5565	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (v ·N z) ∈ N)
46	15, 27, 17	caovcld 5565	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (u ·N w) ∈ N)
47		ordpipqqs 6219	. . . . 5 ⊢ ((((v ·N x) ∈ N ∧ (u ·N y) ∈ N) ∧ ((v ·N z) ∈ N ∧ (u ·N w) ∈ N)) → ([⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q ↔ ((v ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (v ·N z))))
48	43, 44, 45, 46, 47	syl22anc 1117	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q ↔ ((v ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (v ·N z))))
49	40, 42, 48	3bitr4d 209	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ [⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q ))
50		mulpipqqs 6218	. . . . . 6 ⊢ (((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (x ∈ N ∧ y ∈ N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q )
51	50	ancoms 255	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q )
52	51	3adant2 905	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q )
53		mulpipqqs 6218	. . . . . 6 ⊢ (((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q )
54	53	ancoms 255	. . . . 5 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q )
55	54	3adant1 904	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q )
56	52, 55	breq12d 3740	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ [⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q ))
57	49, 56	bitr4d 180	. 2 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )))
58	1, 5, 9, 13, 57	3ecoptocl 6094	1 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (A <Q B ↔ (𝐶 ·Q A) <Q (𝐶 ·Q B)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 867   = wceq 1223   ∈ wcel 1366  ⟨cop 3342   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424  [cec 6003  Ncnpi 6118   ·_N cmi 6120   <_N clti 6121   ~_Q ceq 6125  Qcnq 6126   ·_Q cmq 6129   <_Q cltq 6131

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-mi 6152  df-lti 6153  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-mqqs 6195  df-ltnqqs 6198

This theorem is referenced by:  ltmnqi  6248  ltaddnq  6251  prarloclemarch  6261  prarloclemarch2  6262  ltrnqg  6263  prarloclemlt  6333  addnqprllem  6368  addnqprulem  6369  appdivnq  6393  mulnqprl  6398  mulnqpru  6399  mullocprlem  6400  mulclpr  6402  distrlem4prl  6409  distrlem4pru  6410  1idprl  6415  1idpru  6416  recexprlem1ssl  6454  recexprlem1ssu  6455