ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmnqg Structured version   GIF version

Theorem ltmnqg 6385
Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. Proposition 9-2.6(iii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltmnqg ((A Q B Q 𝐶 Q) → (A <Q B ↔ (𝐶 ·Q A) <Q (𝐶 ·Q B)))

Proof of Theorem ltmnqg
Dummy variables x y z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6332 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 breq1 3758 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~QA <Q [⟨z, w⟩] ~Q ))
3 oveq2 5463 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A))
43breq1d 3765 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → (([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )))
52, 4bibi12d 224 . 2 ([⟨x, y⟩] ~Q = A → (([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ↔ (A <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ))))
6 breq2 3759 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q = B → (A <Q [⟨z, w⟩] ~QA <Q B))
7 oveq2 5463 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~Q = B → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B))
87breq2d 3767 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q = B → (([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B)))
96, 8bibi12d 224 . 2 ([⟨z, w⟩] ~Q = B → ((A <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ↔ (A <Q B ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B))))
10 oveq1 5462 . . . 4 ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) = (𝐶 ·Q A))
11 oveq1 5462 . . . 4 ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B) = (𝐶 ·Q B))
1210, 11breq12d 3768 . . 3 ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → (([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B) ↔ (𝐶 ·Q A) <Q (𝐶 ·Q B)))
1312bibi2d 221 . 2 ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → ((A <Q B ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B)) ↔ (A <Q B ↔ (𝐶 ·Q A) <Q (𝐶 ·Q B))))
14 mulclpi 6312 . . . . . . . 8 ((f N g N) → (f ·N g) N)
1514adantl 262 . . . . . . 7 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N)) → (f ·N g) N)
16 simp1l 927 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → x N)
17 simp2r 930 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → w N)
1815, 16, 17caovcld 5596 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (x ·N w) N)
19 simp1r 928 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → y N)
20 simp2l 929 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → z N)
2115, 19, 20caovcld 5596 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (y ·N z) N)
22 mulclpi 6312 . . . . . . 7 ((v N u N) → (v ·N u) N)
23223ad2ant3 926 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (v ·N u) N)
24 ltmpig 6323 . . . . . 6 (((x ·N w) N (y ·N z) N (v ·N u) N) → ((x ·N w) <N (y ·N z) ↔ ((v ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((v ·N u) ·N (y ·N z))))
2518, 21, 23, 24syl3anc 1134 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((x ·N w) <N (y ·N z) ↔ ((v ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((v ·N u) ·N (y ·N z))))
26 simp3l 931 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → v N)
27 simp3r 932 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → u N)
28 mulcompig 6315 . . . . . . . 8 ((f N g N) → (f ·N g) = (g ·N f))
2928adantl 262 . . . . . . 7 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
30 mulasspig 6316 . . . . . . . 8 ((f N g N N) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
3130adantl 262 . . . . . . 7 ((((x N y N) (z N w N) (v N u N)) (f N g N N)) → ((f ·N g) ·N ) = (f ·N (g ·N )))
3226, 16, 27, 29, 31, 17, 15caov4d 5627 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((v ·N x) ·N (u ·N w)) = ((v ·N u) ·N (x ·N w)))
3327, 19, 26, 29, 31, 20, 15caov4d 5627 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N y) ·N (v ·N z)) = ((u ·N v) ·N (y ·N z)))
34 mulcompig 6315 . . . . . . . . . 10 ((u N v N) → (u ·N v) = (v ·N u))
3534oveq1d 5470 . . . . . . . . 9 ((u N v N) → ((u ·N v) ·N (y ·N z)) = ((v ·N u) ·N (y ·N z)))
3635ancoms 255 . . . . . . . 8 ((v N u N) → ((u ·N v) ·N (y ·N z)) = ((v ·N u) ·N (y ·N z)))
37363ad2ant3 926 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N v) ·N (y ·N z)) = ((v ·N u) ·N (y ·N z)))
3833, 37eqtrd 2069 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((u ·N y) ·N (v ·N z)) = ((v ·N u) ·N (y ·N z)))
3932, 38breq12d 3768 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (((v ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (v ·N z)) ↔ ((v ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((v ·N u) ·N (y ·N z))))
4025, 39bitr4d 180 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ((x ·N w) <N (y ·N z) ↔ ((v ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (v ·N z))))
41 ordpipqqs 6358 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (x ·N w) <N (y ·N z)))
42413adant3 923 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (x ·N w) <N (y ·N z)))
4315, 26, 16caovcld 5596 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (v ·N x) N)
4415, 27, 19caovcld 5596 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (u ·N y) N)
4515, 26, 20caovcld 5596 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (v ·N z) N)
4615, 27, 17caovcld 5596 . . . . 5 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (u ·N w) N)
47 ordpipqqs 6358 . . . . 5 ((((v ·N x) N (u ·N y) N) ((v ·N z) N (u ·N w) N)) → ([⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q ↔ ((v ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (v ·N z))))
4843, 44, 45, 46, 47syl22anc 1135 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q ↔ ((v ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (v ·N z))))
4940, 42, 483bitr4d 209 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ [⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q ))
50 mulpipqqs 6357 . . . . . 6 (((v N u N) (x N y N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q )
5150ancoms 255 . . . . 5 (((x N y N) (v N u N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q )
52513adant2 922 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q )
53 mulpipqqs 6357 . . . . . 6 (((v N u N) (z N w N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q )
5453ancoms 255 . . . . 5 (((z N w N) (v N u N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q )
55543adant1 921 . . . 4 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q )
5652, 55breq12d 3768 . . 3 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → (([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ [⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q ))
5749, 56bitr4d 180 . 2 (((x N y N) (z N w N) (v N u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )))
581, 5, 9, 13, 573ecoptocl 6131 1 ((A Q B Q 𝐶 Q) → (A <Q B ↔ (𝐶 ·Q A) <Q (𝐶 ·Q B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  [cec 6040  Ncnpi 6256   ·N cmi 6258   <N clti 6259   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   ·Q cmq 6267   <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-mqqs 6334  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  ltmnqi  6387  ltaddnq  6390  prarloclemarch  6401  prarloclemarch2  6402  ltrnqg  6403  prarloclemlt  6475  addnqprllem  6509  addnqprulem  6510  appdivnq  6543  mulnqprl  6548  mulnqpru  6549  mullocprlem  6550  mulclpr  6552  distrlem4prl  6559  distrlem4pru  6560  1idprl  6565  1idpru  6566  recexprlem1ssl  6604  recexprlem1ssu  6605
  Copyright terms: Public domain W3C validator