Theorem ltmnqg 6385

Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. Proposition 9-2.6(iii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltmnqg	⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (A <Q B ↔ (𝐶 ·Q A) <Q (𝐶 ·Q B)))

Proof of Theorem ltmnqg

Dummy variables x y z w v u f g ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6332	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		breq1 3758	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~Q = A → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ A <Q [⟨z, w⟩] ~Q ))
3		oveq2 5463	. . . 4 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~Q = A → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A))
4	3	breq1d 3765	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~Q = A → (([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )))
5	2, 4	bibi12d 224	. 2 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~Q = A → (([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ↔ (A <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ))))
6		breq2 3759	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = B → (A <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ A <Q B))
7		oveq2 5463	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = B → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B))
8	7	breq2d 3767	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = B → (([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B)))
9	6, 8	bibi12d 224	. 2 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = B → ((A <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )) ↔ (A <Q B ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B))))
10		oveq1 5462	. . . 4 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) = (𝐶 ·Q A))
11		oveq1 5462	. . . 4 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B) = (𝐶 ·Q B))
12	10, 11	breq12d 3768	. . 3 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → (([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B) ↔ (𝐶 ·Q A) <Q (𝐶 ·Q B)))
13	12	bibi2d 221	. 2 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q = 𝐶 → ((A <Q B ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q A) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q B)) ↔ (A <Q B ↔ (𝐶 ·Q A) <Q (𝐶 ·Q B))))
14		mulclpi 6312	. . . . . . . 8 ⊢ ((f ∈ N ∧ g ∈ N) → (f ·N g) ∈ N)
15	14	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) ∧ (f ∈ N ∧ g ∈ N)) → (f ·N g) ∈ N)
16		simp1l 927	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → x ∈ N)
17		simp2r 930	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → w ∈ N)
18	15, 16, 17	caovcld 5596	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (x ·N w) ∈ N)
19		simp1r 928	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → y ∈ N)
20		simp2l 929	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → z ∈ N)
21	15, 19, 20	caovcld 5596	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (y ·N z) ∈ N)
22		mulclpi 6312	. . . . . . 7 ⊢ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) → (v ·N u) ∈ N)
23	22	3ad2ant3 926	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (v ·N u) ∈ N)
24		ltmpig 6323	. . . . . 6 ⊢ (((x ·N w) ∈ N ∧ (y ·N z) ∈ N ∧ (v ·N u) ∈ N) → ((x ·N w) <N (y ·N z) ↔ ((v ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((v ·N u) ·N (y ·N z))))
25	18, 21, 23, 24	syl3anc 1134	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((x ·N w) <N (y ·N z) ↔ ((v ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((v ·N u) ·N (y ·N z))))
26		simp3l 931	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → v ∈ N)
27		simp3r 932	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → u ∈ N)
28		mulcompig 6315	. . . . . . . 8 ⊢ ((f ∈ N ∧ g ∈ N) → (f ·N g) = (g ·N f))
29	28	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) ∧ (f ∈ N ∧ g ∈ N)) → (f ·N g) = (g ·N f))
30		mulasspig 6316	. . . . . . . 8 ⊢ ((f ∈ N ∧ g ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → ((f ·N g) ·N ℎ) = (f ·N (g ·N ℎ)))
31	30	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) ∧ (f ∈ N ∧ g ∈ N ∧ ℎ ∈ N)) → ((f ·N g) ·N ℎ) = (f ·N (g ·N ℎ)))
32	26, 16, 27, 29, 31, 17, 15	caov4d 5627	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((v ·N x) ·N (u ·N w)) = ((v ·N u) ·N (x ·N w)))
33	27, 19, 26, 29, 31, 20, 15	caov4d 5627	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((u ·N y) ·N (v ·N z)) = ((u ·N v) ·N (y ·N z)))
34		mulcompig 6315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((u ∈ N ∧ v ∈ N) → (u ·N v) = (v ·N u))
35	34	oveq1d 5470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((u ∈ N ∧ v ∈ N) → ((u ·N v) ·N (y ·N z)) = ((v ·N u) ·N (y ·N z)))
36	35	ancoms 255	. . . . . . . 8 ⊢ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) → ((u ·N v) ·N (y ·N z)) = ((v ·N u) ·N (y ·N z)))
37	36	3ad2ant3 926	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((u ·N v) ·N (y ·N z)) = ((v ·N u) ·N (y ·N z)))
38	33, 37	eqtrd 2069	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((u ·N y) ·N (v ·N z)) = ((v ·N u) ·N (y ·N z)))
39	32, 38	breq12d 3768	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (((v ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (v ·N z)) ↔ ((v ·N u) ·N (x ·N w)) <N ((v ·N u) ·N (y ·N z))))
40	25, 39	bitr4d 180	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((x ·N w) <N (y ·N z) ↔ ((v ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (v ·N z))))
41		ordpipqqs 6358	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (x ·N w) <N (y ·N z)))
42	41	3adant3 923	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (x ·N w) <N (y ·N z)))
43	15, 26, 16	caovcld 5596	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (v ·N x) ∈ N)
44	15, 27, 19	caovcld 5596	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (u ·N y) ∈ N)
45	15, 26, 20	caovcld 5596	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (v ·N z) ∈ N)
46	15, 27, 17	caovcld 5596	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (u ·N w) ∈ N)
47		ordpipqqs 6358	. . . . 5 ⊢ ((((v ·N x) ∈ N ∧ (u ·N y) ∈ N) ∧ ((v ·N z) ∈ N ∧ (u ·N w) ∈ N)) → ([⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q ↔ ((v ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (v ·N z))))
48	43, 44, 45, 46, 47	syl22anc 1135	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q ↔ ((v ·N x) ·N (u ·N w)) <N ((u ·N y) ·N (v ·N z))))
49	40, 42, 48	3bitr4d 209	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ [⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q ))
50		mulpipqqs 6357	. . . . . 6 ⊢ (((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (x ∈ N ∧ y ∈ N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q )
51	50	ancoms 255	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q )
52	51	3adant2 922	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q )
53		mulpipqqs 6357	. . . . . 6 ⊢ (((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q )
54	53	ancoms 255	. . . . 5 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q )
55	54	3adant1 921	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q )
56	52, 55	breq12d 3768	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ [⟨(v ·N x), (u ·N y)⟩] ~Q <Q [⟨(v ·N z), (u ·N w)⟩] ~Q ))
57	49, 56	bitr4d 180	. 2 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨x, y⟩] ~Q ) <Q ([⟨v, u⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q )))
58	1, 5, 9, 13, 57	3ecoptocl 6131	1 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (A <Q B ↔ (𝐶 ·Q A) <Q (𝐶 ·Q B)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  [cec 6040  Ncnpi 6256   ·_N cmi 6258   <_N clti 6259   ~_Q ceq 6263  Qcnq 6264   ·_Q cmq 6267   <_Q cltq 6269

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-mqqs 6334  df-ltnqqs 6337

This theorem is referenced by:  ltmnqi  6387  ltaddnq  6390  prarloclemarch  6401  prarloclemarch2  6402  ltrnqg  6403  prarloclemlt  6476  addnqprllem  6510  addnqprulem  6511  appdivnq  6544  mulnqprl  6549  mulnqpru  6550  mullocprlem  6551  mulclpr  6553  distrlem4prl  6560  distrlem4pru  6561  1idprl  6566  1idpru  6567  recexprlem1ssl  6605  recexprlem1ssu  6606