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Theorem cauappcvgprlemladdru 6628
Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 6630. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (φ𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (φ𝑝 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (φ𝑝 Q A <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩
cauappcvgprlemladd.s (φ𝑆 Q)
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladdru (φ → (2nd ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u}⟩) ⊆ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)))
Distinct variable groups:   A,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   φ,𝑝,𝑞   𝐹,𝑙,u,𝑝,𝑞   𝑆,𝑙,𝑞,u
Allowed substitution hints:   φ(u,𝑙)   A(u,𝑞,𝑙)   𝑆(𝑝)   𝐿(u,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru
Dummy variables f g 𝑟 v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3759 . . . . 5 (u = 𝑟 → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u ↔ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟))
21rexbidv 2321 . . . 4 (u = 𝑟 → (𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟))
3 nqex 6347 . . . . . 6 Q V
43rabex 3892 . . . . 5 {𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)} V
53rabex 3892 . . . . 5 {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u} V
64, 5op2nd 5716 . . . 4 (2nd ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u}⟩) = {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u}
72, 6elrab2 2694 . . 3 (𝑟 (2nd ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u}⟩) ↔ (𝑟 Q 𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟))
8 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . 13 (φ𝐹:QQ)
9 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . . . 13 (φ𝑝 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
10 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . . . . . . 13 (φ𝑝 Q A <Q (𝐹𝑝))
11 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = ⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩
12 cauappcvgprlemladd.s . . . . . . . . . . . . 13 (φ𝑆 Q)
138, 9, 10, 11, 12cauappcvgprlemladdfl 6627 . . . . . . . . . . . 12 (φ → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u}⟩))
14 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = v → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑙 +Q v))
15 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = v → (𝐹𝑞) = (𝐹v))
1615oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = v → ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) = ((𝐹v) +Q 𝑆))
1714, 16breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = v → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)))
1817cbvrexv 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ v Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆))
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 Q → (𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ v Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)))
2019rabbiia 2541 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)} = {𝑙 Qv Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)}
21 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = v𝑞 = v)
2215, 21oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = v → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) = ((𝐹v) +Q v))
2322oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = v → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) = (((𝐹v) +Q v) +Q 𝑆))
2423breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = v → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u ↔ (((𝐹v) +Q v) +Q 𝑆) <Q u))
2524cbvrexv 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q uv Q (((𝐹v) +Q v) +Q 𝑆) <Q u)
2625a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (u Q → (𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q uv Q (((𝐹v) +Q v) +Q 𝑆) <Q u))
2726rabbiia 2541 . . . . . . . . . . . . . 14 {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u} = {u Qv Q (((𝐹v) +Q v) +Q 𝑆) <Q u}
2820, 27opeq12i 3545 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u}⟩ = ⟨{𝑙 Qv Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)}, {u Qv Q (((𝐹v) +Q v) +Q 𝑆) <Q u}⟩
2928fveq2i 5124 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u}⟩) = (1st ‘⟨{𝑙 Qv Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)}, {u Qv Q (((𝐹v) +Q v) +Q 𝑆) <Q u}⟩)
3013, 29syl6sseq 2985 . . . . . . . . . . 11 (φ → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙 Qv Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)}, {u Qv Q (((𝐹v) +Q v) +Q 𝑆) <Q u}⟩))
3130adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((φ 𝑞 Q) → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙 Qv Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)}, {u Qv Q (((𝐹v) +Q v) +Q 𝑆) <Q u}⟩))
328ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((φ 𝑞 Q) v Q) → 𝐹:QQ)
33 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((φ 𝑞 Q) v Q) → 𝑞 Q)
3432, 33ffvelrnd 5246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((φ 𝑞 Q) v Q) → (𝐹𝑞) Q)
35 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((φ 𝑞 Q) v Q) → v Q)
36 addassnqg 6366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑞) Q 𝑞 Q v Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q v) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v)))
3734, 33, 35, 36syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((φ 𝑞 Q) v Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q v) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v)))
38 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑞) Q 𝑞 Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) Q)
3934, 33, 38syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((φ 𝑞 Q) v Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) Q)
40 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) Q v Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q v) Q)
4139, 40sylancom 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((φ 𝑞 Q) v Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q v) Q)
4237, 41eqeltrrd 2112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((φ 𝑞 Q) v Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v)) Q)
4332, 35ffvelrnd 5246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((φ 𝑞 Q) v Q) → (𝐹v) Q)
44 ltsonq 6382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 <Q Or Q
45 so2nr 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( <Q Or Q (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v)) Q (𝐹v) Q)) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v)) <Q (𝐹v) (𝐹v) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v))))
4644, 45mpan 400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v)) Q (𝐹v) Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v)) <Q (𝐹v) (𝐹v) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v))))
4742, 43, 46syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 (((φ 𝑞 Q) v Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v)) <Q (𝐹v) (𝐹v) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v))))
4812ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((φ 𝑞 Q) v Q) → 𝑆 Q)
49 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((f Q g Q) → (f +Q g) = (g +Q f))
5049adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((φ 𝑞 Q) v Q) (f Q g Q)) → (f +Q g) = (g +Q f))
51 addassnqg 6366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((f Q g Q Q) → ((f +Q g) +Q ) = (f +Q (g +Q )))
5251adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((φ 𝑞 Q) v Q) (f Q g Q Q)) → ((f +Q g) +Q ) = (f +Q (g +Q )))
5339, 48, 35, 50, 52caov32d 5623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((φ 𝑞 Q) v Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q v) = ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q v) +Q 𝑆))
5453breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((φ 𝑞 Q) v Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆) ↔ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q v) +Q 𝑆) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)))
55 ltanqg 6384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((f Q g Q Q) → (f <Q g ↔ ( +Q f) <Q ( +Q g)))
5655adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((φ 𝑞 Q) v Q) (f Q g Q Q)) → (f <Q g ↔ ( +Q f) <Q ( +Q g)))
5756, 41, 43, 48, 50caovord2d 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((φ 𝑞 Q) v Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q v) <Q (𝐹v) ↔ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q v) +Q 𝑆) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)))
5837breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((φ 𝑞 Q) v Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q v) <Q (𝐹v) ↔ ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v)) <Q (𝐹v)))
5954, 57, 583bitr2d 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((φ 𝑞 Q) v Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆) ↔ ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v)) <Q (𝐹v)))
6059biimpd 132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((φ 𝑞 Q) v Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v)) <Q (𝐹v)))
619ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((φ 𝑞 Q) v Q) → 𝑝 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
62 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = v → (𝐹𝑝) = (𝐹v))
63 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 = v → (𝑝 +Q 𝑞) = (v +Q 𝑞))
6463oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = v → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑞) +Q (v +Q 𝑞)))
6562, 64breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = v → ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝐹v) <Q ((𝐹𝑞) +Q (v +Q 𝑞))))
6662, 63oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = v → ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = ((𝐹v) +Q (v +Q 𝑞)))
6766breq2d 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = v → ((𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹v) +Q (v +Q 𝑞))))
6865, 67anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 = v → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) ↔ ((𝐹v) <Q ((𝐹𝑞) +Q (v +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹v) +Q (v +Q 𝑞)))))
6968ralbidv 2320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = v → (𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) ↔ 𝑞 Q ((𝐹v) <Q ((𝐹𝑞) +Q (v +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹v) +Q (v +Q 𝑞)))))
7069rspcv 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (v Q → (𝑝 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → 𝑞 Q ((𝐹v) <Q ((𝐹𝑞) +Q (v +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹v) +Q (v +Q 𝑞)))))
7170adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((φ 𝑞 Q) v Q) → (𝑝 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → 𝑞 Q ((𝐹v) <Q ((𝐹𝑞) +Q (v +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹v) +Q (v +Q 𝑞)))))
7261, 71mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((φ 𝑞 Q) v Q) → 𝑞 Q ((𝐹v) <Q ((𝐹𝑞) +Q (v +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹v) +Q (v +Q 𝑞))))
73 rsp 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 Q ((𝐹v) <Q ((𝐹𝑞) +Q (v +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹v) +Q (v +Q 𝑞))) → (𝑞 Q → ((𝐹v) <Q ((𝐹𝑞) +Q (v +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹v) +Q (v +Q 𝑞)))))
7472, 33, 73sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((φ 𝑞 Q) v Q) → ((𝐹v) <Q ((𝐹𝑞) +Q (v +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹v) +Q (v +Q 𝑞))))
7574simpld 105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((φ 𝑞 Q) v Q) → (𝐹v) <Q ((𝐹𝑞) +Q (v +Q 𝑞)))
76 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((v Q 𝑞 Q) → (v +Q 𝑞) = (𝑞 +Q v))
7735, 33, 76syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((φ 𝑞 Q) v Q) → (v +Q 𝑞) = (𝑞 +Q v))
7877oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((φ 𝑞 Q) v Q) → ((𝐹𝑞) +Q (v +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v)))
7975, 78breqtrd 3779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((φ 𝑞 Q) v Q) → (𝐹v) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v)))
8060, 79jctird 300 . . . . . . . . . . . . . 14 (((φ 𝑞 Q) v Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆) → (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v)) <Q (𝐹v) (𝐹v) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q v)))))
8147, 80mtod 588 . . . . . . . . . . . . 13 (((φ 𝑞 Q) v Q) → ¬ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆))
8281nrexdv 2406 . . . . . . . . . . . 12 ((φ 𝑞 Q) → ¬ v Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆))
838ffvelrnda 5245 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((φ 𝑞 Q) → (𝐹𝑞) Q)
8483, 38sylancom 397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((φ 𝑞 Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) Q)
8512adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((φ 𝑞 Q) → 𝑆 Q)
86 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) Q 𝑆 Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) Q)
8784, 85, 86syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 ((φ 𝑞 Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) Q)
88 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) → (𝑙 +Q v) = ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q v))
8988breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) → ((𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆) ↔ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)))
9089rexbidv 2321 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) → (v Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆) ↔ v Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)))
9190elrab3 2693 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) Q → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) {𝑙 Qv Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)} ↔ v Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)))
9287, 91syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((φ 𝑞 Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) {𝑙 Qv Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)} ↔ v Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)))
9382, 92mtbird 597 . . . . . . . . . . 11 ((φ 𝑞 Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) {𝑙 Qv Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)})
943rabex 3892 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑙 Qv Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)} V
953rabex 3892 . . . . . . . . . . . . 13 {u Qv Q (((𝐹v) +Q v) +Q 𝑆) <Q u} V
9694, 95op1st 5715 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘⟨{𝑙 Qv Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)}, {u Qv Q (((𝐹v) +Q v) +Q 𝑆) <Q u}⟩) = {𝑙 Qv Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)}
9796eleq2i 2101 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) (1st ‘⟨{𝑙 Qv Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)}, {u Qv Q (((𝐹v) +Q v) +Q 𝑆) <Q u}⟩) ↔ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) {𝑙 Qv Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)})
9893, 97sylnibr 601 . . . . . . . . . 10 ((φ 𝑞 Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) (1st ‘⟨{𝑙 Qv Q (𝑙 +Q v) <Q ((𝐹v) +Q 𝑆)}, {u Qv Q (((𝐹v) +Q v) +Q 𝑆) <Q u}⟩))
9931, 98ssneldd 2942 . . . . . . . . 9 ((φ 𝑞 Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)))
10099adantlr 446 . . . . . . . 8 (((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)))
101100adantr 261 . . . . . . 7 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)))
1028, 9, 10, 11cauappcvgprlemcl 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (φ𝐿 P)
103 nqprlu 6530 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩ P)
10412, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (φ → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩ P)
105 addclpr 6520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩ P) → (𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩) P)
106102, 104, 105syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 (φ → (𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩) P)
107 prop 6458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩) P → ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))⟩ P)
108106, 107syl 14 . . . . . . . . . . 11 (φ → ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))⟩ P)
109 prloc 6474 . . . . . . . . . . 11 ((⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))⟩ P (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)) 𝑟 (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))))
110108, 109sylan 267 . . . . . . . . . 10 ((φ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)) 𝑟 (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))))
111110adantlr 446 . . . . . . . . 9 (((φ 𝑟 Q) (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)) 𝑟 (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))))
112111adantlr 446 . . . . . . . 8 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)) 𝑟 (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))))
113112orcomd 647 . . . . . . 7 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → (𝑟 (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)) (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))))
114101, 113ecased 1238 . . . . . 6 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → 𝑟 (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)))
115114ex 108 . . . . 5 (((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟𝑟 (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))))
116115rexlimdva 2427 . . . 4 ((φ 𝑟 Q) → (𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟𝑟 (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))))
117116expimpd 345 . . 3 (φ → ((𝑟 Q 𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → 𝑟 (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))))
1187, 117syl5bi 141 . 2 (φ → (𝑟 (2nd ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u}⟩) → 𝑟 (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))))
119118ssrdv 2945 1 (φ → (2nd ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u}⟩) ⊆ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  {cab 2023  wral 2300  wrex 2301  {crab 2304  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755   Or wor 4023  wf 4841  cfv 4845  (class class class)co 5455  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264   +Q cplq 6266   <Q cltq 6269  Pcnp 6275   +P cpp 6277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-iplp 6451
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  6630
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