ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemladdru GIF version

Theorem cauappcvgprlemladdru 6752
Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 6754. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
cauappcvgprlemladd.s (𝜑𝑆Q)
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladdru (𝜑 → (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ⊆ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞   𝑆,𝑙,𝑞,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑞,𝑙)   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑟 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3768 . . . . 5 (𝑢 = 𝑟 → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟))
21rexbidv 2327 . . . 4 (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟))
3 nqex 6459 . . . . . 6 Q ∈ V
43rabex 3901 . . . . 5 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)} ∈ V
53rabex 3901 . . . . 5 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ∈ V
64, 5op2nd 5774 . . . 4 (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}
72, 6elrab2 2700 . . 3 (𝑟 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟))
8 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:QQ)
9 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
10 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
11 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
12 cauappcvgprlemladd.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆Q)
138, 9, 10, 11, 12cauappcvgprlemladdfl 6751 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
14 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑣 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑙 +Q 𝑣))
15 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 𝑣 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑣))
1615oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑣 → ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) = ((𝐹𝑣) +Q 𝑆))
1714, 16breq12d 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑣 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
1817cbvrexv 2534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆))
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙Q → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
2019rabbiia 2547 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)} = {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}
21 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = 𝑣𝑞 = 𝑣)
2215, 21oveq12d 5530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 𝑣 → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑣) +Q 𝑣))
2322oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑣 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) = (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆))
2423breq1d 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑣 → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢))
2524cbvrexv 2534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢)
2625a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢Q → (∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢))
2726rabbiia 2547 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} = {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}
2820, 27opeq12i 3554 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩
2928fveq2i 5181 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) = (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)
3013, 29syl6sseq 2991 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
3130adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞Q) → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
328ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → 𝐹:QQ)
33 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → 𝑞Q)
3432, 33ffvelrnd 5303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝐹𝑞) ∈ Q)
35 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → 𝑣Q)
36 addassnqg 6478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑞) ∈ Q𝑞Q𝑣Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))
3734, 33, 35, 36syl3anc 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))
38 addclnq 6471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑞) ∈ Q𝑞Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
3934, 33, 38syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
40 addclnq 6471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q𝑣Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) ∈ Q)
4139, 40sylancom 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) ∈ Q)
4237, 41eqeltrrd 2115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) ∈ Q)
4332, 35ffvelrnd 5303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝐹𝑣) ∈ Q)
44 ltsonq 6494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 <Q Or Q
45 so2nr 4058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( <Q Or Q ∧ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) ∈ Q ∧ (𝐹𝑣) ∈ Q)) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣) ∧ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣))))
4644, 45mpan 400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) ∈ Q ∧ (𝐹𝑣) ∈ Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣) ∧ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣))))
4742, 43, 46syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣) ∧ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣))))
4812ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → 𝑆Q)
49 addcomnqg 6477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
5049adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) ∧ (𝑓Q𝑔Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
51 addassnqg 6478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓Q𝑔QQ) → ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q )))
5251adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q )))
5339, 48, 35, 50, 52caov32d 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) = ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) +Q 𝑆))
5453breq1d 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) ↔ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
55 ltanqg 6496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓Q𝑔QQ) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
5655adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
5756, 41, 43, 48, 50caovord2d 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) <Q (𝐹𝑣) ↔ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
5837breq1d 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) <Q (𝐹𝑣) ↔ ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣)))
5954, 57, 583bitr2d 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) ↔ ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣)))
6059biimpd 132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣)))
619ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
62 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑣 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑣))
63 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 = 𝑣 → (𝑝 +Q 𝑞) = (𝑣 +Q 𝑞))
6463oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))
6562, 64breq12d 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞))))
6662, 63oveq12d 5530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))
6766breq2d 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞))))
6865, 67anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 = 𝑣 → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) ↔ ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
6968ralbidv 2326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑣 → (∀𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) ↔ ∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
7069rspcv 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣Q → (∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
7170adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
7261, 71mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞))))
73 rsp 2369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞))) → (𝑞Q → ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
7472, 33, 73sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞))))
7574simpld 105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))
76 addcomnqg 6477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣Q𝑞Q) → (𝑣 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑣))
7735, 33, 76syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝑣 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑣))
7877oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))
7975, 78breqtrd 3788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))
8060, 79jctird 300 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) → (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣) ∧ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))))
8147, 80mtod 589 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ¬ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆))
8281nrexdv 2412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞Q) → ¬ ∃𝑣Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆))
838ffvelrnda 5302 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞Q) → (𝐹𝑞) ∈ Q)
8483, 38sylancom 397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
8512adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞Q) → 𝑆Q)
86 addclnq 6471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q𝑆Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q)
8784, 85, 86syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q)
88 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) → (𝑙 +Q 𝑣) = ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣))
8988breq1d 3774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) → ((𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) ↔ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
9089rexbidv 2327 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) → (∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) ↔ ∃𝑣Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
9190elrab3 2699 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)} ↔ ∃𝑣Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
9287, 91syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)} ↔ ∃𝑣Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
9382, 92mtbird 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)})
943rabex 3901 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)} ∈ V
953rabex 3901 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ∈ V
9694, 95op1st 5773 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}
9796eleq2i 2104 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ↔ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)})
9893, 97sylnibr 602 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
9931, 98ssneldd 2948 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
10099adantlr 446 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
101100adantr 261 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
1028, 9, 10, 11cauappcvgprlemcl 6749 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿P)
103 nqprlu 6643 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
10412, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
105 addclpr 6633 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿P ∧ ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P)
106102, 104, 105syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P)
107 prop 6571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
108106, 107syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
109 prloc 6587 . . . . . . . . . . 11 ((⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
110108, 109sylan 267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
111110adantlr 446 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
112111adantlr 446 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
113112orcomd 648 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → (𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
114101, 113ecased 1239 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
115114ex 108 . . . . 5 (((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
116115rexlimdva 2433 . . . 4 ((𝜑𝑟Q) → (∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
117116expimpd 345 . . 3 (𝜑 → ((𝑟Q ∧ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
1187, 117syl5bi 141 . 2 (𝜑 → (𝑟 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
119118ssrdv 2951 1 (𝜑 → (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ⊆ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97  wb 98  wo 629  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393  {cab 2026  wral 2306  wrex 2307  {crab 2310  wss 2917  cop 3378   class class class wbr 3764   Or wor 4032  wf 4898  cfv 4902  (class class class)co 5512  1st c1st 5765  2nd c2nd 5766  Qcnq 6376   +Q cplq 6378   <Q cltq 6381  Pcnp 6387   +P cpp 6389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-iplp 6564
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  6754
  Copyright terms: Public domain W3C validator