ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prop Structured version   GIF version

Theorem prop 6458
Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prop (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)

Proof of Theorem prop
StepHypRef Expression
1 npsspw 6454 . . . 4 P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
21sseli 2935 . . 3 (A PA (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3 1st2nd2 5743 . . 3 (A (𝒫 Q × 𝒫 Q) → A = ⟨(1stA), (2ndA)⟩)
42, 3syl 14 . 2 (A PA = ⟨(1stA), (2ndA)⟩)
5 eleq1 2097 . . 3 (A = ⟨(1stA), (2ndA)⟩ → (A P ↔ ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P))
65biimpcd 148 . 2 (A P → (A = ⟨(1stA), (2ndA)⟩ → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P))
74, 6mpd 13 1 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1242   wcel 1390  𝒫 cpw 3351  cop 3370   × cxp 4286  cfv 4845  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-inp 6449
This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  6459  0npr  6466  genpdf  6491  genipv  6492  genpelvl  6495  genpelvu  6496  genpml  6500  genpmu  6501  genprndl  6504  genprndu  6505  genpdisj  6506  genpassl  6507  genpassu  6508  addnqprl  6512  addnqpru  6513  addlocprlemeqgt  6515  addlocprlemgt  6517  addlocprlem  6518  addlocpr  6519  nqprl  6533  addnqprlemfl  6540  addnqprlemfu  6541  mulnqprl  6549  mulnqpru  6550  mullocprlem  6551  mullocpr  6552  addcomprg  6554  mulcomprg  6556  distrlem1prl  6558  distrlem1pru  6559  distrlem4prl  6560  distrlem4pru  6561  ltprordil  6565  1idprl  6566  1idpru  6567  ltpopr  6569  ltsopr  6570  ltaddpr  6571  ltexprlemm  6574  ltexprlemopl  6575  ltexprlemlol  6576  ltexprlemopu  6577  ltexprlemupu  6578  ltexprlemdisj  6580  ltexprlemloc  6581  ltexprlemfl  6583  ltexprlemrl  6584  ltexprlemfu  6585  ltexprlemru  6586  addcanprleml  6588  addcanprlemu  6589  recexprlemm  6596  recexprlemdisj  6602  recexprlemloc  6603  recexprlem1ssl  6605  recexprlem1ssu  6606  recexprlemss1l  6607  recexprlemss1u  6608  aptiprleml  6611  aptiprlemu  6612  archpr  6615  cauappcvgprlemladdru  6628  cauappcvgprlemladdrl  6629  caucvgprlemladdrl  6649
  Copyright terms: Public domain W3C validator