Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prop GIF version

Theorem prop 6573
 Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prop (𝐴P → ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ P)

Proof of Theorem prop
StepHypRef Expression
1 npsspw 6569 . . . 4 P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
21sseli 2941 . . 3 (𝐴P𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3 1st2nd2 5801 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → 𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩)
42, 3syl 14 . 2 (𝐴P𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩)
5 eleq1 2100 . . 3 (𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ → (𝐴P ↔ ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ P))
65biimpcd 148 . 2 (𝐴P → (𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ → ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ P))
74, 6mpd 13 1 (𝐴P → ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ P)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  𝒫 cpw 3359  ⟨cop 3378   × cxp 4343  ‘cfv 4902  1st c1st 5765  2nd c2nd 5766  Qcnq 6378  Pcnp 6389 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-inp 6564 This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  6574  0npr  6581  genpdf  6606  genipv  6607  genpelvl  6610  genpelvu  6611  genpml  6615  genpmu  6616  genprndl  6619  genprndu  6620  genpdisj  6621  genpassl  6622  genpassu  6623  addnqprl  6627  addnqpru  6628  addlocprlemeqgt  6630  addlocprlemgt  6632  addlocprlem  6633  addlocpr  6634  nqprl  6649  nqpru  6650  addnqprlemfl  6657  addnqprlemfu  6658  mulnqprl  6666  mulnqpru  6667  mullocprlem  6668  mullocpr  6669  mulnqprlemfl  6673  mulnqprlemfu  6674  addcomprg  6676  mulcomprg  6678  distrlem1prl  6680  distrlem1pru  6681  distrlem4prl  6682  distrlem4pru  6683  ltprordil  6687  1idprl  6688  1idpru  6689  ltpopr  6693  ltsopr  6694  ltaddpr  6695  ltexprlemm  6698  ltexprlemopl  6699  ltexprlemlol  6700  ltexprlemopu  6701  ltexprlemupu  6702  ltexprlemdisj  6704  ltexprlemloc  6705  ltexprlemfl  6707  ltexprlemrl  6708  ltexprlemfu  6709  ltexprlemru  6710  addcanprleml  6712  addcanprlemu  6713  prplnqu  6718  recexprlemm  6722  recexprlemdisj  6728  recexprlemloc  6729  recexprlem1ssl  6731  recexprlem1ssu  6732  recexprlemss1l  6733  recexprlemss1u  6734  aptiprleml  6737  aptiprlemu  6738  archpr  6741  cauappcvgprlemladdru  6754  cauappcvgprlemladdrl  6755  archrecpr  6762  caucvgprlemladdrl  6776  caucvgprprlemml  6792  caucvgprprlemmu  6793  caucvgprprlemopl  6795
 Copyright terms: Public domain W3C validator