ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prop Structured version   GIF version

Theorem prop 6457
Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prop (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)

Proof of Theorem prop
StepHypRef Expression
1 npsspw 6453 . . . 4 P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
21sseli 2935 . . 3 (A PA (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3 1st2nd2 5743 . . 3 (A (𝒫 Q × 𝒫 Q) → A = ⟨(1stA), (2ndA)⟩)
42, 3syl 14 . 2 (A PA = ⟨(1stA), (2ndA)⟩)
5 eleq1 2097 . . 3 (A = ⟨(1stA), (2ndA)⟩ → (A P ↔ ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P))
65biimpcd 148 . 2 (A P → (A = ⟨(1stA), (2ndA)⟩ → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P))
74, 6mpd 13 1 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1242   wcel 1390  𝒫 cpw 3351  cop 3370   × cxp 4286  cfv 4845  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-inp 6448
This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  6458  0npr  6465  genpdf  6490  genipv  6491  genpelvl  6494  genpelvu  6495  genpml  6499  genpmu  6500  genprndl  6503  genprndu  6504  genpdisj  6505  genpassl  6506  genpassu  6507  addnqprl  6511  addnqpru  6512  addlocprlemeqgt  6514  addlocprlemgt  6516  addlocprlem  6517  addlocpr  6518  nqprl  6532  addnqprlemfl  6539  addnqprlemfu  6540  mulnqprl  6548  mulnqpru  6549  mullocprlem  6550  mullocpr  6551  addcomprg  6553  mulcomprg  6555  distrlem1prl  6557  distrlem1pru  6558  distrlem4prl  6559  distrlem4pru  6560  ltprordil  6564  1idprl  6565  1idpru  6566  ltpopr  6568  ltsopr  6569  ltaddpr  6570  ltexprlemm  6573  ltexprlemopl  6574  ltexprlemlol  6575  ltexprlemopu  6576  ltexprlemupu  6577  ltexprlemdisj  6579  ltexprlemloc  6580  ltexprlemfl  6582  ltexprlemrl  6583  ltexprlemfu  6584  ltexprlemru  6585  addcanprleml  6587  addcanprlemu  6588  recexprlemm  6595  recexprlemdisj  6601  recexprlemloc  6602  recexprlem1ssl  6604  recexprlem1ssu  6605  recexprlemss1l  6606  recexprlemss1u  6607  aptiprleml  6610  aptiprlemu  6611  archpr  6614  cauappcvgprlemladdru  6627  cauappcvgprlemladdrl  6628
  Copyright terms: Public domain W3C validator