ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prop Structured version   GIF version

Theorem prop 6450
Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prop (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)

Proof of Theorem prop
StepHypRef Expression
1 npsspw 6446 . . . 4 P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
21sseli 2935 . . 3 (A PA (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3 1st2nd2 5740 . . 3 (A (𝒫 Q × 𝒫 Q) → A = ⟨(1stA), (2ndA)⟩)
42, 3syl 14 . 2 (A PA = ⟨(1stA), (2ndA)⟩)
5 eleq1 2097 . . 3 (A = ⟨(1stA), (2ndA)⟩ → (A P ↔ ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P))
65biimpcd 148 . 2 (A P → (A = ⟨(1stA), (2ndA)⟩ → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P))
74, 6mpd 13 1 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1242   wcel 1390  𝒫 cpw 3350  cop 3369   × cxp 4285  cfv 4844  1st c1st 5704  2nd c2nd 5705  Qcnq 6257  Pcnp 6268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-id 4020  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fv 4852  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-inp 6441
This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  6451  0npr  6458  genpdf  6483  genipv  6484  genpelvl  6487  genpelvu  6488  genpml  6493  genpmu  6494  genprndl  6497  genprndu  6498  genpdisj  6499  genpassl  6500  genpassu  6501  addnqprl  6505  addnqpru  6506  addlocprlemeqgt  6508  addlocprlemgt  6510  addlocprlem  6511  addlocpr  6512  addnqpr1lemil  6531  addnqpr1lemiu  6532  mulnqprl  6539  mulnqpru  6540  mullocprlem  6541  mullocpr  6542  addcomprg  6544  mulcomprg  6546  distrlem1prl  6548  distrlem1pru  6549  distrlem4prl  6550  distrlem4pru  6551  ltprordil  6555  1idprl  6556  1idpru  6557  ltpopr  6559  ltsopr  6560  ltaddpr  6561  ltexprlemm  6564  ltexprlemopl  6565  ltexprlemlol  6566  ltexprlemopu  6567  ltexprlemupu  6568  ltexprlemdisj  6570  ltexprlemloc  6571  ltexprlemfl  6573  ltexprlemrl  6574  ltexprlemfu  6575  ltexprlemru  6576  addcanprleml  6578  addcanprlemu  6579  recexprlemm  6586  recexprlemdisj  6592  recexprlemloc  6593  recexprlem1ssl  6595  recexprlem1ssu  6596  recexprlemss1l  6597  recexprlemss1u  6598  aptiprleml  6601  aptiprlemu  6602  archpr  6605
  Copyright terms: Public domain W3C validator