ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prop Structured version   GIF version

Theorem prop 6329
Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prop (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)

Proof of Theorem prop
StepHypRef Expression
1 npsspw 6325 . . . 4 P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
21sseli 2918 . . 3 (A PA (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3 1st2nd2 5724 . . 3 (A (𝒫 Q × 𝒫 Q) → A = ⟨(1stA), (2ndA)⟩)
42, 3syl 14 . 2 (A PA = ⟨(1stA), (2ndA)⟩)
5 eleq1 2082 . . 3 (A = ⟨(1stA), (2ndA)⟩ → (A P ↔ ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P))
65biimpcd 148 . 2 (A P → (A = ⟨(1stA), (2ndA)⟩ → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P))
74, 6mpd 13 1 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1228   wcel 1374  𝒫 cpw 3334  cop 3353   × cxp 4270  cfv 4829  1st c1st 5688  2nd c2nd 5689  Qcnq 6138  Pcnp 6149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-sbc 2742  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fv 4837  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-inp 6320
This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  6330  0npr  6337  genpdf  6362  genipv  6363  genpelvl  6366  genpelvu  6367  genpml  6372  genpmu  6373  genprndl  6376  genprndu  6377  genpdisj  6378  genpassl  6379  genpassu  6380  addnqprl  6384  addnqpru  6385  addlocprlemeqgt  6387  addlocprlemgt  6389  addlocprlem  6390  addlocpr  6391  mulnqprl  6412  mulnqpru  6413  mullocprlem  6414  mullocpr  6415  addcomprg  6417  mulcomprg  6419  distrlem1prl  6421  distrlem1pru  6422  distrlem4prl  6423  distrlem4pru  6424  ltprordil  6428  1idprl  6429  1idpru  6430  ltpopr  6432  ltsopr  6433  ltaddpr  6434  ltexprlemm  6437  ltexprlemopl  6438  ltexprlemlol  6439  ltexprlemopu  6440  ltexprlemupu  6441  ltexprlemdisj  6443  ltexprlemloc  6444  ltexprlemfl  6446  ltexprlemrl  6447  ltexprlemfu  6448  ltexprlemru  6449  addcanprleml  6451  addcanprlemu  6452  recexprlemm  6458  recexprlemdisj  6464  recexprlemloc  6465  recexprlem1ssl  6467  recexprlem1ssu  6468  recexprlemss1l  6469  recexprlemss1u  6470
  Copyright terms: Public domain W3C validator