ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprlu Structured version   GIF version

Theorem nqprlu 6395
Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprlu (A Q → ⟨{xx <Q A}, {xA <Q x}⟩ P)
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem nqprlu
Dummy variables 𝑟 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqprm 6391 . . 3 (A Q → (𝑞 Q 𝑞 {xx <Q A} 𝑟 Q 𝑟 {xA <Q x}))
2 ltrelnq 6218 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
32brel 4315 . . . . . 6 (x <Q A → (x Q A Q))
43simpld 105 . . . . 5 (x <Q Ax Q)
54abssi 2988 . . . 4 {xx <Q A} ⊆ Q
62brel 4315 . . . . . 6 (A <Q x → (A Q x Q))
76simprd 107 . . . . 5 (A <Q xx Q)
87abssi 2988 . . . 4 {xA <Q x} ⊆ Q
95, 8pm3.2i 257 . . 3 ({xx <Q A} ⊆ Q {xA <Q x} ⊆ Q)
101, 9jctil 295 . 2 (A Q → (({xx <Q A} ⊆ Q {xA <Q x} ⊆ Q) (𝑞 Q 𝑞 {xx <Q A} 𝑟 Q 𝑟 {xA <Q x})))
11 nqprrnd 6392 . . 3 (A Q → (𝑞 Q (𝑞 {xx <Q A} ↔ 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 {xx <Q A})) 𝑟 Q (𝑟 {xA <Q x} ↔ 𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 {xA <Q x}))))
12 nqprdisj 6393 . . 3 (A Q𝑞 Q ¬ (𝑞 {xx <Q A} 𝑞 {xA <Q x}))
13 nqprloc 6394 . . 3 (A Q𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
1411, 12, 133jca 1067 . 2 (A Q → ((𝑞 Q (𝑞 {xx <Q A} ↔ 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 {xx <Q A})) 𝑟 Q (𝑟 {xA <Q x} ↔ 𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 {xA <Q x}))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 {xx <Q A} 𝑞 {xA <Q x}) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x}))))
15 elinp 6322 . 2 (⟨{xx <Q A}, {xA <Q x}⟩ P ↔ ((({xx <Q A} ⊆ Q {xA <Q x} ⊆ Q) (𝑞 Q 𝑞 {xx <Q A} 𝑟 Q 𝑟 {xA <Q x})) ((𝑞 Q (𝑞 {xx <Q A} ↔ 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 {xx <Q A})) 𝑟 Q (𝑟 {xA <Q x} ↔ 𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 {xA <Q x}))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 {xx <Q A} 𝑞 {xA <Q x}) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))))
1610, 14, 15sylanbrc 396 1 (A Q → ⟨{xx <Q A}, {xA <Q x}⟩ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 616   w3a 871   wcel 1370  {cab 2004  wral 2280  wrex 2281  wss 2890  cop 3349   class class class wbr 3734  Qcnq 6134   <Q cltq 6139  Pcnp 6145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-po 4003  df-iso 4004  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-1o 5912  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-pli 6159  df-mi 6160  df-lti 6161  df-plpq 6197  df-mpq 6198  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-plqqs 6202  df-mqqs 6203  df-1nqqs 6204  df-rq 6205  df-ltnqqs 6206  df-inp 6314
This theorem is referenced by:  1pr  6398
  Copyright terms: Public domain W3C validator