cauappcvgprlemladdrl - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem cauappcvgprlemladdrl 6755

Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 6756. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
cauappcvgprlemladd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)

**Assertion**
Ref	Expression
cauappcvgprlemladdrl	⊢ (𝜑 → (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐿,𝑝,𝑞 𝜑,𝑝,𝑞 𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞 𝑆,𝑙,𝑞,𝑢,𝑝 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑢,𝑙) 𝐴(𝑢,𝑞,𝑙) 𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdrl Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑟 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5519	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → (𝑙 +_Q 𝑞) = (𝑟 +_Q 𝑞))
2	1	breq1d 3774	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → ((𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
3	2	rexbidv 2327	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
4		nqex 6461	. . . . . 6 ⊢ Q ∈ V
5	4	rabex 3901	. . . . 5 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)} ∈ V
6	4	rabex 3901	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢} ∈ V
7	5, 6	op1st 5773	. . . 4 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}
8	3, 7	elrab2 2700	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
9		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
10	9	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝐹:Q⟶Q)
11	10	ffvelrnda 5302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝐹‘𝑏) ∈ Q)
12		simplr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑞 ∈ Q)
13		addclnq 6473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑞 +_Q 𝑏) ∈ Q)
14	12, 13	sylan 267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑞 +_Q 𝑏) ∈ Q)
15		addclnq 6473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑏) ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) ∈ Q)
16	11, 14, 15	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) ∈ Q)
17	10	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝐹:Q⟶Q)
18		simpllr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑞 ∈ Q)
19	17, 18	ffvelrnd 5303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) ∈ Q)
20		ltsonq 6496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ <_Q Or Q
21		so2nr 4058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ Q)) → ¬ (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏))))
22	20, 21	mpan 400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏))))
23	16, 19, 22	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏))))
24		addclnq 6473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) ∈ Q)
25	11, 24	sylancom 397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) ∈ Q)
26		cauappcvgprlemladd.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)
27	26	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑆 ∈ Q)
28	27	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑆 ∈ Q)
29		addassnqg 6480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) = (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)))
30	25, 18, 28, 29	syl3anc 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) = (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)))
31	30	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
32		ltanqg 6498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
33	32	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
34		addclnq 6473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) ∈ Q)
35	25, 18, 34	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) ∈ Q)
36		addcomnqg 6479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
37	36	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q)) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
38	33, 35, 19, 28, 37	caovord2d 5670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
39		addcomnqg 6479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑆 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑆))
40	28, 18, 39	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑆 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑆))
41	40	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) = (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)))
42	41	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
43	31, 38, 42	3bitr4rd 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)))
44		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ Q)
45		addassnqg 6480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
46	11, 44, 18, 45	syl3anc 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
47		addcomnqg 6479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑏 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑏))
48	44, 18, 47	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑏 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑏))
49	48	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)))
50	46, 49	eqtrd 2072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)))
51	50	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞)))
52	43, 51	bitrd 177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞)))
53	52	biimpd 132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞)))
54		cauappcvgpr.app	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
55	54	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
56		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑏))
57		oveq1 5519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (𝑝 +_Q 𝑞) = (𝑏 +_Q 𝑞))
58	57	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
59	56, 58	breq12d 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ↔ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))))
60	56, 57	oveq12d 5530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
61	60	breq2d 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ↔ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))))
62	59, 61	anbi12d 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) ↔ ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))))
63	62	ralbidv 2326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) ↔ ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))))
64	63	rspcv 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ Q → (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))))
65	55, 64	mpan9 265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))))
66		rsp 2369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))) → (𝑞 ∈ Q → ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))))
67	65, 18, 66	sylc 56	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))))
68	67	simprd 107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
69	68, 49	breqtrd 3788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)))
70	53, 69	jctird 300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)))))
71	23, 70	mtod 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆))
72	71	nrexdv 2412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ¬ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆))
73	72	intnand 840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
74		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))
75		oveq2 5520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → (𝑝 +_Q 𝑏) = (𝑝 +_Q 𝑞))
76	74, 75	oveq12d 5530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
77	76	breq2d 3776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ↔ (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
78	75	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) = ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
79	74, 78	breq12d 3777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ↔ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
80	77, 79	anbi12d 442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏))) ↔ ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))))
81	80	cbvralv 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏))) ↔ ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
82	81	ralbii 2330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏))) ↔ ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
83	55, 82	sylibr 137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏))))
84		cauappcvgpr.bnd	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
85	84	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
86		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
87		oveq2 5520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝑙 +_Q 𝑞) = (𝑙 +_Q 𝑏))
88		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑏))
89	87, 88	breq12d 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → ((𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)))
90	89	cbvrexv 2534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏))
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)))
92	91	rabbiia 2547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)} = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)}
93		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → 𝑞 = 𝑏)
94	88, 93	oveq12d 5530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏))
95	94	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢))
96	95	cbvrexv 2534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢)
97	96	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢))
98	97	rabbiia 2547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢} = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢}
99	92, 98	opeq12i 3554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩ = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢}⟩
100	86, 99	eqtri 2060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢}⟩
101		addclnq 6473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑆 +_Q 𝑞) ∈ Q)
102	27, 12, 101	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (𝑆 +_Q 𝑞) ∈ Q)
103	10, 83, 85, 100, 102	cauappcvgprlemladdfu 6752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}⟩))
104	103	sseld 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}⟩)))
105		breq2 3768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢 ↔ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
106	105	rexbidv 2327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → (∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
107	4	rabex 3901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))} ∈ V
108	4	rabex 3901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢} ∈ V
109	107, 108	op2nd 5774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}
110	106, 109	elrab2 2700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
111	104, 110	syl6ib 150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆))))
112	73, 111	mtod 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ¬ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)))
113	9, 54, 84, 86	cauappcvgprlemcl 6751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ P)
114	113	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝐿 ∈ P)
115		nqprlu 6645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 +_Q 𝑞) ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
116	102, 115	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
117		addclpr 6635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
118	114, 116, 117	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
119		prop 6573	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
120		prloc 6589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ((𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))))
121	119, 120	sylan 267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) ∈ P ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ((𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))))
122	118, 121	sylancom 397	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ((𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))))
123	112, 122	ecased 1239	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)))
124		simpllr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑟 ∈ Q)
125	114, 27, 124, 12	caucvgprlemcanl 6742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ((𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ↔ 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
126	123, 125	mpbid 135	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))
127	126	ex 108	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
128	127	rexlimdva 2433	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) → (∃𝑞 ∈ Q (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
129	128	expimpd 345	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
130	8, 129	syl5bi 141	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
131	130	ssrdv 2951	1 ⊢ (𝜑 → (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 97 ↔ wb 98 ∨ wo 629 ∧ w3a 885 = wceq 1243 ∈ wcel 1393 {cab 2026 ∀wral 2306 ∃wrex 2307 {crab 2310 ⊆ wss 2917 ⟨cop 3378 class class class wbr 3764 Or wor 4032 ⟶wf 4898 ‘cfv 4902 (class class class)co 5512 1^st c1st 5765 2^nd c2nd 5766 Qcnq 6378 +_Q cplq 6380 <_Q cltq 6383 Pcnp 6389 +_P cpp 6391

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 630 ax-5 1336 ax-7 1337 ax-gen 1338 ax-ie1 1382 ax-ie2 1383 ax-8 1395 ax-10 1396 ax-11 1397 ax-i12 1398 ax-bndl 1399 ax-4 1400 ax-13 1404 ax-14 1405 ax-17 1419 ax-i9 1423 ax-ial 1427 ax-i5r 1428 ax-ext 2022 ax-coll 3872 ax-sep 3875 ax-nul 3883 ax-pow 3927 ax-pr 3944 ax-un 4170 ax-setind 4262 ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-dc 743 df-3or 886 df-3an 887 df-tru 1246 df-fal 1249 df-nf 1350 df-sb 1646 df-eu 1903 df-mo 1904 df-clab 2027 df-cleq 2033 df-clel 2036 df-nfc 2167 df-ne 2206 df-ral 2311 df-rex 2312 df-reu 2313 df-rab 2315 df-v 2559 df-sbc 2765 df-csb 2853 df-dif 2920 df-un 2922 df-in 2924 df-ss 2931 df-nul 3225 df-pw 3361 df-sn 3381 df-pr 3382 df-op 3384 df-uni 3581 df-int 3616 df-iun 3659 df-br 3765 df-opab 3819 df-mpt 3820 df-tr 3855 df-eprel 4026 df-id 4030 df-po 4033 df-iso 4034 df-iord 4103 df-on 4105 df-suc 4108 df-iom 4314 df-xp 4351 df-rel 4352 df-cnv 4353 df-co 4354 df-dm 4355 df-rn 4356 df-res 4357 df-ima 4358 df-iota 4867 df-fun 4904 df-fn 4905 df-f 4906 df-f1 4907 df-fo 4908 df-f1o 4909 df-fv 4910 df-ov 5515 df-oprab 5516 df-mpt2 5517 df-1st 5767 df-2nd 5768 df-recs 5920 df-irdg 5957 df-1o 6001 df-2o 6002 df-oadd 6005 df-omul 6006 df-er 6106 df-ec 6108 df-qs 6112 df-ni 6402 df-pli 6403 df-mi 6404 df-lti 6405 df-plpq 6442 df-mpq 6443 df-enq 6445 df-nqqs 6446 df-plqqs 6447 df-mqqs 6448 df-1nqqs 6449 df-rq 6450 df-ltnqqs 6451 df-enq0 6522 df-nq0 6523 df-0nq0 6524 df-plq0 6525 df-mq0 6526 df-inp 6564 df-iplp 6566 df-iltp 6568

This theorem is referenced by: cauappcvgprlemladd 6756

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