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 Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 6629. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (φ𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (φ𝑝 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (φ𝑝 Q A <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladdrl (φ → (1st ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u}⟩) ⊆ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)))
Distinct variable groups:   A,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   φ,𝑝,𝑞   𝐹,𝑙,u,𝑝,𝑞   𝑆,𝑙,𝑞,u,𝑝
Allowed substitution hints:   φ(u,𝑙)   A(u,𝑞,𝑙)   𝐿(u,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdrl
Dummy variables f g 𝑟 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5462 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑟 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑟 +Q 𝑞))
21breq1d 3765 . . . . 5 (𝑙 = 𝑟 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
32rexbidv 2321 . . . 4 (𝑙 = 𝑟 → (𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ 𝑞 Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
4 nqex 6347 . . . . . 6 Q V
54rabex 3892 . . . . 5 {𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)} V
64rabex 3892 . . . . 5 {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u} V
75, 6op1st 5715 . . . 4 (1st ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u}⟩) = {𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}
83, 7elrab2 2694 . . 3 (𝑟 (1st ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u}⟩) ↔ (𝑟 Q 𝑞 Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
9 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (φ𝐹:QQ)
109ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝐹:QQ)
1110ffvelrnda 5245 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → (𝐹𝑏) Q)
12 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑞 Q)
13 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 Q 𝑏 Q) → (𝑞 +Q 𝑏) Q)
1412, 13sylan 267 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → (𝑞 +Q 𝑏) Q)
15 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑏) Q (𝑞 +Q 𝑏) Q) → ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) Q)
1611, 14, 15syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) Q)
1710adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → 𝐹:QQ)
18 simpllr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → 𝑞 Q)
1917, 18ffvelrnd 5246 . . . . . . . . . . . . 13 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → (𝐹𝑞) Q)
20 ltsonq 6382 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q Or Q
21 so2nr 4049 . . . . . . . . . . . . . 14 (( <Q Or Q (((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) Q (𝐹𝑞) Q)) → ¬ (((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏))))
2220, 21mpan 400 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) Q (𝐹𝑞) Q) → ¬ (((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏))))
2316, 19, 22syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → ¬ (((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏))))
24 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑏) Q 𝑏 Q) → ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) Q)
2511, 24sylancom 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) Q)
26 cauappcvgprlemladd.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (φ𝑆 Q)
2726ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑆 Q)
2827adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → 𝑆 Q)
29 addassnqg 6366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) Q 𝑞 Q 𝑆 Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) +Q 𝑆) = (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑆)))
3025, 18, 28, 29syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) +Q 𝑆) = (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑆)))
3130breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → (((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑆)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
32 ltanqg 6384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((f Q g Q Q) → (f <Q g ↔ ( +Q f) <Q ( +Q g)))
3332adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) (f Q g Q Q)) → (f <Q g ↔ ( +Q f) <Q ( +Q g)))
34 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) Q 𝑞 Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) Q)
3525, 18, 34syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) Q)
36 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((f Q g Q) → (f +Q g) = (g +Q f))
3736adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) (f Q g Q)) → (f +Q g) = (g +Q f))
3833, 35, 19, 28, 37caovord2d 5612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
39 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 Q 𝑞 Q) → (𝑆 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑆))
4028, 18, 39syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → (𝑆 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑆))
4140oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) = (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑆)))
4241breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑆)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
4331, 38, 423bitr4rd 210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
44 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → 𝑏 Q)
45 addassnqg 6366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑏) Q 𝑏 Q 𝑞 Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))
4611, 44, 18, 45syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))
47 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 Q 𝑞 Q) → (𝑏 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑏))
4844, 18, 47syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → (𝑏 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑏))
4948oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)))
5046, 49eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)))
5150breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞)))
5243, 51bitrd 177 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞)))
5352biimpd 132 . . . . . . . . . . . . 13 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞)))
54 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (φ𝑝 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
5554ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑝 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
56 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑏 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑏))
57 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 = 𝑏 → (𝑝 +Q 𝑞) = (𝑏 +Q 𝑞))
5857oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))
5956, 58breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞))))
6056, 57oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))
6160breq2d 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞))))
6259, 61anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 𝑏 → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) ↔ ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))))
6362ralbidv 2320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 𝑏 → (𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) ↔ 𝑞 Q ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))))
6463rspcv 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 Q → (𝑝 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → 𝑞 Q ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))))
6555, 64mpan9 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → 𝑞 Q ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞))))
66 rsp 2363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 Q ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞))) → (𝑞 Q → ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))))
6765, 18, 66sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞))))
6867simprd 107 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))
6968, 49breqtrd 3779 . . . . . . . . . . . . 13 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)))
7053, 69jctird 300 . . . . . . . . . . . 12 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → (((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)))))
7123, 70mtod 588 . . . . . . . . . . 11 (((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) 𝑏 Q) → ¬ (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆))
7271nrexdv 2406 . . . . . . . . . 10 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ¬ 𝑏 Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆))
7372intnand 839 . . . . . . . . 9 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) Q 𝑏 Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
74 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑞 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞))
75 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑞 → (𝑝 +Q 𝑏) = (𝑝 +Q 𝑞))
7674, 75oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
7776breq2d 3767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) ↔ (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
7875oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) = ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
7974, 78breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) ↔ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
8077, 79anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑞 → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) (𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏))) ↔ ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))))
8180cbvralv 2527 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) (𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏))) ↔ 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
8281ralbii 2324 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 Q 𝑏 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) (𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏))) ↔ 𝑝 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
8355, 82sylibr 137 . . . . . . . . . . . 12 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑝 Q 𝑏 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) (𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏))))
84 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . . . . . . 13 (φ𝑝 Q A <Q (𝐹𝑝))
8584ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . 12 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑝 Q A <Q (𝐹𝑝))
86 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = ⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩
87 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑏 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑙 +Q 𝑏))
88 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑏 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑏))
8987, 88breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑏 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏)))
9089cbvrexv 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ 𝑏 Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏))
9190a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 Q → (𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ 𝑏 Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏)))
9291rabbiia 2541 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} = {𝑙 Q𝑏 Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏)}
93 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 𝑏𝑞 = 𝑏)
9488, 93oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑏 → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑏) +Q 𝑏))
9594breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑏 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u ↔ ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q u))
9695cbvrexv 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u𝑏 Q ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q u)
9796a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (u Q → (𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u𝑏 Q ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q u))
9897rabbiia 2541 . . . . . . . . . . . . . 14 {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u} = {u Q𝑏 Q ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q u}
9992, 98opeq12i 3545 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩ = ⟨{𝑙 Q𝑏 Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏)}, {u Q𝑏 Q ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q u}⟩
10086, 99eqtri 2057 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = ⟨{𝑙 Q𝑏 Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏)}, {u Q𝑏 Q ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q u}⟩
101 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 Q 𝑞 Q) → (𝑆 +Q 𝑞) Q)
10227, 12, 101syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (𝑆 +Q 𝑞) Q)
10310, 83, 85, 100, 102cauappcvgprlemladdfu 6625 . . . . . . . . . . 11 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩)) ⊆ (2nd ‘⟨{𝑙 Q𝑏 Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞))}, {u Q𝑏 Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q u}⟩))
104103sseld 2938 . . . . . . . . . 10 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩)) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) (2nd ‘⟨{𝑙 Q𝑏 Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞))}, {u Q𝑏 Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q u}⟩)))
105 breq2 3759 . . . . . . . . . . . 12 (u = ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q u ↔ (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
106105rexbidv 2321 . . . . . . . . . . 11 (u = ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → (𝑏 Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q u𝑏 Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
1074rabex 3892 . . . . . . . . . . . 12 {𝑙 Q𝑏 Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞))} V
1084rabex 3892 . . . . . . . . . . . 12 {u Q𝑏 Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q u} V
109107, 108op2nd 5716 . . . . . . . . . . 11 (2nd ‘⟨{𝑙 Q𝑏 Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞))}, {u Q𝑏 Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q u}⟩) = {u Q𝑏 Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q u}
110106, 109elrab2 2694 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) (2nd ‘⟨{𝑙 Q𝑏 Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞))}, {u Q𝑏 Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q u}⟩) ↔ (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) Q 𝑏 Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
111104, 110syl6ib 150 . . . . . . . . 9 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩)) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) Q 𝑏 Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆))))
11273, 111mtod 588 . . . . . . . 8 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ¬ ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩)))
1139, 54, 84, 86cauappcvgprlemcl 6624 . . . . . . . . . . 11 (φ𝐿 P)
114113ad3antrrr 461 . . . . . . . . . 10 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝐿 P)
115 nqprlu 6529 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 +Q 𝑞) Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩ P)
116102, 115syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩ P)
117 addclpr 6519 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩ P) → (𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩) P)
118114, 116, 117syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩) P)
119 prop 6457 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩) P → ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩))⟩ P)
120 prloc 6473 . . . . . . . . . 10 ((⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩))⟩ P (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ((𝑟 +Q 𝑞) (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩)) ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩))))
121119, 120sylan 267 . . . . . . . . 9 (((𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩) P (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ((𝑟 +Q 𝑞) (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩)) ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩))))
122118, 121sylancom 397 . . . . . . . 8 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ((𝑟 +Q 𝑞) (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩)) ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩))))
123112, 122ecased 1238 . . . . . . 7 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (𝑟 +Q 𝑞) (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩)))
124 simpllr 486 . . . . . . . 8 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑟 Q)
125114, 27, 124, 12cauappcvgprlemcan 6615 . . . . . . 7 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ((𝑟 +Q 𝑞) (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {u ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q u}⟩)) ↔ 𝑟 (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))))
126123, 125mpbid 135 . . . . . 6 ((((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑟 (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)))
127126ex 108 . . . . 5 (((φ 𝑟 Q) 𝑞 Q) → ((𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → 𝑟 (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))))
128127rexlimdva 2427 . . . 4 ((φ 𝑟 Q) → (𝑞 Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → 𝑟 (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))))
129128expimpd 345 . . 3 (φ → ((𝑟 Q 𝑞 Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑟 (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))))
1308, 129syl5bi 141 . 2 (φ → (𝑟 (1st ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u}⟩) → 𝑟 (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩))))
131130ssrdv 2945 1 (φ → (1st ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {u Q𝑞 Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q u}⟩) ⊆ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {u𝑆 <Q u}⟩)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  {cab 2023  ∀wral 2300  ∃wrex 2301  {crab 2304   ⊆ wss 2911  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755   Or wor 4023  ⟶wf 4841  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264   +Q cplq 6266
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