ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caovord2d Structured version   GIF version

Theorem caovord2d 5612
Description: Operation ordering law with commuted arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caovordg.1 ((φ (x 𝑆 y 𝑆 z 𝑆)) → (x𝑅y ↔ (z𝐹x)𝑅(z𝐹y)))
caovordd.2 (φA 𝑆)
caovordd.3 (φB 𝑆)
caovordd.4 (φ𝐶 𝑆)
caovord2d.com ((φ (x 𝑆 y 𝑆)) → (x𝐹y) = (y𝐹x))
Assertion
Ref Expression
caovord2d (φ → (A𝑅B ↔ (A𝐹𝐶)𝑅(B𝐹𝐶)))
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,𝐶,y,z   φ,x,y,z   x,𝐹,y,z   x,𝑅,y,z   x,𝑆,y,z

Proof of Theorem caovord2d
StepHypRef Expression
1 caovordg.1 . . 3 ((φ (x 𝑆 y 𝑆 z 𝑆)) → (x𝑅y ↔ (z𝐹x)𝑅(z𝐹y)))
2 caovordd.2 . . 3 (φA 𝑆)
3 caovordd.3 . . 3 (φB 𝑆)
4 caovordd.4 . . 3 (φ𝐶 𝑆)
51, 2, 3, 4caovordd 5611 . 2 (φ → (A𝑅B ↔ (𝐶𝐹A)𝑅(𝐶𝐹B)))
6 caovord2d.com . . . 4 ((φ (x 𝑆 y 𝑆)) → (x𝐹y) = (y𝐹x))
76, 4, 2caovcomd 5599 . . 3 (φ → (𝐶𝐹A) = (A𝐹𝐶))
86, 4, 3caovcomd 5599 . . 3 (φ → (𝐶𝐹B) = (B𝐹𝐶))
97, 8breq12d 3768 . 2 (φ → ((𝐶𝐹A)𝑅(𝐶𝐹B) ↔ (A𝐹𝐶)𝑅(B𝐹𝐶)))
105, 9bitrd 177 1 (φ → (A𝑅B ↔ (A𝐹𝐶)𝑅(B𝐹𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458
This theorem is referenced by:  caovord3d  5613  genplt2i  6493  addnqprllem  6510  addnqprulem  6511  mulnqprl  6549  mulnqpru  6550  distrlem4prl  6560  distrlem4pru  6561  1idprl  6566  1idpru  6567  ltexprlemdisj  6580  ltexprlemloc  6581  ltexprlemfl  6583  ltexprlemfu  6585  recexprlem1ssl  6605  recexprlem1ssu  6606  aptiprleml  6611  aptiprlemu  6612  cauappcvgprlemcan  6616  cauappcvgprlemlol  6619  cauappcvgprlemloc  6624  cauappcvgprlemladdfu  6626  cauappcvgprlemladdru  6628  cauappcvgprlemladdrl  6629  cauappcvgprlem1  6631  caucvgprlemnkj  6637  caucvgprlemnbj  6638  caucvgprlemlol  6641  caucvgprlemloc  6646  caucvgprlemladdfu  6648  caucvgprlemladdrl  6649  lttrsr  6690  ltsosr  6692
  Copyright terms: Public domain W3C validator