Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | df-nqqs 6332 |
. . . . . 6
⊢
Q = ((N × N) /
~Q ) |
2 | | id 19 |
. . . . . . . 8
⊢
([〈z, w〉] ~Q = x → [〈z, w〉]
~Q = x) |
3 | 2, 2 | breq12d 3768 |
. . . . . . 7
⊢
([〈z, w〉] ~Q = x → ([〈z, w〉]
~Q <Q [〈z, w〉]
~Q ↔ x
<Q x)) |
4 | 3 | notbid 591 |
. . . . . 6
⊢
([〈z, w〉] ~Q = x → (¬ [〈z, w〉]
~Q <Q [〈z, w〉]
~Q ↔ ¬ x
<Q x)) |
5 | | ltsopi 6304 |
. . . . . . . 8
⊢
<N Or N |
6 | | ltrelpi 6308 |
. . . . . . . 8
⊢
<N ⊆ (N ×
N) |
7 | 5, 6 | soirri 4662 |
. . . . . . 7
⊢ ¬
(w ·N
z) <N (w ·N z) |
8 | | ordpipqqs 6358 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([〈z, w〉]
~Q <Q [〈z, w〉]
~Q ↔ (z
·N w)
<N (w
·N z))) |
9 | 8 | anidms 377 |
. . . . . . . 8
⊢
((z ∈ N ∧ w ∈ N) → ([〈z, w〉]
~Q <Q [〈z, w〉]
~Q ↔ (z
·N w)
<N (w
·N z))) |
10 | | mulcompig 6315 |
. . . . . . . . 9
⊢
((z ∈ N ∧ w ∈ N) → (z ·N w) = (w
·N z)) |
11 | 10 | breq1d 3765 |
. . . . . . . 8
⊢
((z ∈ N ∧ w ∈ N) → ((z ·N w) <N (w ·N z) ↔ (w
·N z)
<N (w
·N z))) |
12 | 9, 11 | bitrd 177 |
. . . . . . 7
⊢
((z ∈ N ∧ w ∈ N) → ([〈z, w〉]
~Q <Q [〈z, w〉]
~Q ↔ (w
·N z)
<N (w
·N z))) |
13 | 7, 12 | mtbiri 599 |
. . . . . 6
⊢
((z ∈ N ∧ w ∈ N) → ¬ [〈z, w〉]
~Q <Q [〈z, w〉]
~Q ) |
14 | 1, 4, 13 | ecoptocl 6129 |
. . . . 5
⊢ (x ∈
Q → ¬ x
<Q x) |
15 | 14 | adantl 262 |
. . . 4
⊢ ((
⊤ ∧ x ∈
Q) → ¬ x
<Q x) |
16 | | breq1 3758 |
. . . . . . . 8
⊢
([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
= x → ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ↔
x <Q
[〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
)) |
17 | 16 | anbi1d 438 |
. . . . . . 7
⊢
([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
= x → (([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ) ↔
(x <Q
[〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q
))) |
18 | | breq1 3758 |
. . . . . . 7
⊢
([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
= x → ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ↔ x <Q [〈𝑒, f〉] ~Q
)) |
19 | 17, 18 | imbi12d 223 |
. . . . . 6
⊢
([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
= x → ((([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ) →
[〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ) ↔
((x <Q
[〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ) →
x <Q
[〈𝑒, f〉] ~Q
))) |
20 | | breq2 3759 |
. . . . . . . 8
⊢
([〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
= y → (x <Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ↔
x <Q y)) |
21 | | breq1 3758 |
. . . . . . . 8
⊢
([〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
= y → ([〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ↔ y <Q [〈𝑒, f〉] ~Q
)) |
22 | 20, 21 | anbi12d 442 |
. . . . . . 7
⊢
([〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
= y → ((x <Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ) ↔
(x <Q y ∧ y <Q [〈𝑒, f〉] ~Q
))) |
23 | 22 | imbi1d 220 |
. . . . . 6
⊢
([〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
= y → (((x <Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ) →
x <Q
[〈𝑒, f〉] ~Q ) ↔
((x <Q y ∧ y <Q [〈𝑒, f〉] ~Q ) →
x <Q
[〈𝑒, f〉] ~Q
))) |
24 | | breq2 3759 |
. . . . . . . 8
⊢
([〈𝑒, f〉] ~Q = z → (y
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ↔ y <Q z)) |
25 | 24 | anbi2d 437 |
. . . . . . 7
⊢
([〈𝑒, f〉] ~Q = z → ((x
<Q y ∧ y
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ) ↔
(x <Q y ∧ y <Q z))) |
26 | | breq2 3759 |
. . . . . . 7
⊢
([〈𝑒, f〉] ~Q = z → (x
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ↔ x <Q z)) |
27 | 25, 26 | imbi12d 223 |
. . . . . 6
⊢
([〈𝑒, f〉] ~Q = z → (((x
<Q y ∧ y
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ) →
x <Q
[〈𝑒, f〉] ~Q ) ↔
((x <Q y ∧ y <Q z) → x
<Q z))) |
28 | | ordpipqqs 6358 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N)) → ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ↔
(𝑎
·N 𝑑) <N (𝑏 ·N
𝑐))) |
29 | 28 | 3adant3 923 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ↔
(𝑎
·N 𝑑) <N (𝑏 ·N
𝑐))) |
30 | | simp1l 927 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → 𝑎
∈ N) |
31 | | simp2r 930 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → 𝑑
∈ N) |
32 | | mulclpi 6312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑎 ∈ N ∧ 𝑑
∈ N) → (𝑎 ·N 𝑑) ∈ N) |
33 | 30, 31, 32 | syl2anc 391 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → (𝑎
·N 𝑑) ∈
N) |
34 | | simp1r 928 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → 𝑏
∈ N) |
35 | | simp2l 929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → 𝑐
∈ N) |
36 | | mulclpi 6312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑏 ∈ N ∧ 𝑐
∈ N) → (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) |
37 | 34, 35, 36 | syl2anc 391 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → (𝑏
·N 𝑐) ∈
N) |
38 | | simp3r 932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → f ∈ N) |
39 | | mulclpi 6312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑐 ∈ N ∧ f ∈ N) → (𝑐 ·N f) ∈
N) |
40 | 35, 38, 39 | syl2anc 391 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → (𝑐
·N f) ∈ N) |
41 | | ltmpig 6323 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑎 ·N
𝑑) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N ∧ (𝑐 ·N f) ∈
N) → ((𝑎
·N 𝑑) <N (𝑏 ·N
𝑐) ↔ ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N
𝑑))
<N ((𝑐 ·N f) ·N (𝑏 ·N
𝑐)))) |
42 | 33, 37, 40, 41 | syl3anc 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ((𝑎
·N 𝑑) <N (𝑏 ·N
𝑐) ↔ ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N
𝑑))
<N ((𝑐 ·N f) ·N (𝑏 ·N
𝑐)))) |
43 | 29, 42 | bitrd 177 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ↔
((𝑐
·N f)
·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N
((𝑐
·N f)
·N (𝑏 ·N 𝑐)))) |
44 | 43 | biimpa 280 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) ∧ [〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ) →
((𝑐
·N f)
·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N
((𝑐
·N f)
·N (𝑏 ·N 𝑐))) |
45 | 44 | adantrr 448 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) ∧ ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q )) →
((𝑐
·N f)
·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N
((𝑐
·N f)
·N (𝑏 ·N 𝑐))) |
46 | | mulcompig 6315 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑐 ·N
f) ∈
N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) → ((𝑐 ·N f) ·N (𝑏 ·N
𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐)
·N (𝑐 ·N f))) |
47 | 40, 37, 46 | syl2anc 391 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ((𝑐
·N f)
·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐)
·N (𝑐 ·N f))) |
48 | 47 | adantr 261 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) ∧ ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q )) →
((𝑐
·N f)
·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐)
·N (𝑐 ·N f))) |
49 | 45, 48 | breqtrd 3779 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) ∧ ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q )) →
((𝑐
·N f)
·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N
((𝑏
·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N
f))) |
50 | | ordpipqqs 6358 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑐 ∈ N ∧ 𝑑
∈ N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ([〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ↔ (𝑐 ·N
f) <N (𝑑 ·N
𝑒))) |
51 | 50 | 3adant1 921 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ([〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ↔ (𝑐 ·N
f) <N (𝑑 ·N
𝑒))) |
52 | | simp3l 931 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → 𝑒
∈ N) |
53 | | mulclpi 6312 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑑 ∈ N ∧ 𝑒
∈ N) → (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N) |
54 | 31, 52, 53 | syl2anc 391 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → (𝑑
·N 𝑒) ∈
N) |
55 | | ltmpig 6323 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑐 ·N
f) ∈
N ∧ (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) → ((𝑐 ·N f) <N (𝑑 ·N 𝑒) ↔ ((𝑏 ·N 𝑐)
·N (𝑐 ·N f)) <N ((𝑏 ·N 𝑐)
·N (𝑑 ·N 𝑒)))) |
56 | 40, 54, 37, 55 | syl3anc 1134 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ((𝑐
·N f)
<N (𝑑 ·N 𝑒) ↔ ((𝑏 ·N 𝑐)
·N (𝑐 ·N f)) <N ((𝑏 ·N 𝑐)
·N (𝑑 ·N 𝑒)))) |
57 | 51, 56 | bitrd 177 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ([〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ↔ ((𝑏 ·N
𝑐)
·N (𝑐 ·N f)) <N ((𝑏 ·N 𝑐)
·N (𝑑 ·N 𝑒)))) |
58 | 57 | biimpa 280 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ) →
((𝑏
·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N
f)) <N ((𝑏 ·N
𝑐)
·N (𝑑 ·N 𝑒))) |
59 | 58 | adantrl 447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) ∧ ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q )) →
((𝑏
·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N
f)) <N ((𝑏 ·N
𝑐)
·N (𝑑 ·N 𝑒))) |
60 | 5, 6 | sotri 4663 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑐 ·N
f) ·N
(𝑎
·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N
𝑐)
·N (𝑐 ·N f)) ∧ ((𝑏 ·N
𝑐)
·N (𝑐 ·N f)) <N ((𝑏 ·N 𝑐)
·N (𝑑 ·N 𝑒))) → ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N
𝑑))
<N ((𝑏 ·N 𝑐)
·N (𝑑 ·N 𝑒))) |
61 | 49, 59, 60 | syl2anc 391 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) ∧ ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q )) →
((𝑐
·N f)
·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N
((𝑏
·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N
𝑒))) |
62 | | mulcompig 6315 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((x ∈ N ∧ y ∈ N) → (x ·N y) = (y
·N x)) |
63 | 62 | adantl 262 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) ∧ (x ∈
N ∧ y ∈
N)) → (x
·N y) =
(y ·N
x)) |
64 | | mulasspig 6316 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ z ∈ N) → ((x ·N y) ·N z) = (x
·N (y
·N z))) |
65 | 64 | adantl 262 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) ∧ (x ∈
N ∧ y ∈
N ∧ z ∈
N)) → ((x
·N y)
·N z) =
(x ·N
(y ·N
z))) |
66 | | mulclpi 6312 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((x ∈ N ∧ y ∈ N) → (x ·N y) ∈
N) |
67 | 66 | adantl 262 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) ∧ (x ∈
N ∧ y ∈
N)) → (x
·N y) ∈ N) |
68 | 35, 31, 30, 63, 65, 38, 67 | caov411d 5628 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ((𝑐
·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N
f)) = ((𝑎 ·N 𝑑)
·N (𝑐 ·N f))) |
69 | 63, 33, 40 | caovcomd 5599 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ((𝑎
·N 𝑑) ·N (𝑐 ·N
f)) = ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N
𝑑))) |
70 | 68, 69 | eqtrd 2069 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ((𝑐
·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N
f)) = ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N
𝑑))) |
71 | 35, 31, 34, 63, 65, 52, 67 | caov4d 5627 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ((𝑐
·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N
𝑒)) = ((𝑐 ·N 𝑏)
·N (𝑑 ·N 𝑒))) |
72 | 63, 35, 34 | caovcomd 5599 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → (𝑐
·N 𝑏) = (𝑏 ·N 𝑐)) |
73 | 72 | oveq1d 5470 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ((𝑐
·N 𝑏) ·N (𝑑 ·N
𝑒)) = ((𝑏 ·N 𝑐)
·N (𝑑 ·N 𝑒))) |
74 | 71, 73 | eqtrd 2069 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ((𝑐
·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N
𝑒)) = ((𝑏 ·N 𝑐)
·N (𝑑 ·N 𝑒))) |
75 | 70, 74 | breq12d 3768 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → (((𝑐
·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N
f)) <N ((𝑐 ·N
𝑑)
·N (𝑏 ·N 𝑒)) ↔ ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N
𝑑))
<N ((𝑏 ·N 𝑐)
·N (𝑑 ·N 𝑒)))) |
76 | 75 | adantr 261 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) ∧ ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q )) →
(((𝑐
·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N
f)) <N ((𝑐 ·N
𝑑)
·N (𝑏 ·N 𝑒)) ↔ ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N
𝑑))
<N ((𝑏 ·N 𝑐)
·N (𝑑 ·N 𝑒)))) |
77 | 61, 76 | mpbird 156 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) ∧ ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q )) →
((𝑐
·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N
f)) <N ((𝑐 ·N
𝑑)
·N (𝑏 ·N 𝑒))) |
78 | | mulclpi 6312 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑎 ∈ N ∧ f ∈ N) → (𝑎 ·N f) ∈
N) |
79 | 30, 38, 78 | syl2anc 391 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → (𝑎
·N f) ∈ N) |
80 | | mulclpi 6312 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑏 ∈ N ∧ 𝑒
∈ N) → (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N) |
81 | 34, 52, 80 | syl2anc 391 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → (𝑏
·N 𝑒) ∈
N) |
82 | | mulclpi 6312 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑐 ∈ N ∧ 𝑑
∈ N) → (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N) |
83 | 35, 31, 82 | syl2anc 391 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → (𝑐
·N 𝑑) ∈
N) |
84 | | ltmpig 6323 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑎 ·N
f) ∈
N ∧ (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N ∧ (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N) → ((𝑎 ·N f) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑)
·N (𝑎 ·N f)) <N ((𝑐 ·N 𝑑)
·N (𝑏 ·N 𝑒)))) |
85 | 79, 81, 83, 84 | syl3anc 1134 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ((𝑎
·N f)
<N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑)
·N (𝑎 ·N f)) <N ((𝑐 ·N 𝑑)
·N (𝑏 ·N 𝑒)))) |
86 | 85 | adantr 261 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) ∧ ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q )) →
((𝑎
·N f)
<N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑)
·N (𝑎 ·N f)) <N ((𝑐 ·N 𝑑)
·N (𝑏 ·N 𝑒)))) |
87 | 77, 86 | mpbird 156 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) ∧ ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q )) →
(𝑎
·N f)
<N (𝑏 ·N 𝑒)) |
88 | | ordpipqqs 6358 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ↔ (𝑎 ·N
f) <N (𝑏 ·N
𝑒))) |
89 | 88 | 3adant2 922 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ↔ (𝑎 ·N
f) <N (𝑏 ·N
𝑒))) |
90 | 89 | adantr 261 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) ∧ ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q )) →
([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ↔ (𝑎 ·N
f) <N (𝑏 ·N
𝑒))) |
91 | 87, 90 | mpbird 156 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) ∧ ([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q )) →
[〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q
) |
92 | 91 | ex 108 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏
∈ N) ∧ (𝑐 ∈
N ∧ 𝑑 ∈
N) ∧ (𝑒 ∈
N ∧ f ∈
N)) → (([〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q ∧ [〈𝑐, 𝑑〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q ) →
[〈𝑎, 𝑏〉] ~Q
<Q [〈𝑒, f〉] ~Q
)) |
93 | 1, 19, 23, 27, 92 | 3ecoptocl 6131 |
. . . . 5
⊢
((x ∈ Q ∧ y ∈ Q ∧ z ∈ Q) → ((x <Q y ∧ y <Q z) → x
<Q z)) |
94 | 93 | adantl 262 |
. . . 4
⊢ ((
⊤ ∧ (x ∈
Q ∧ y ∈
Q ∧ z ∈
Q)) → ((x
<Q y ∧ y
<Q z) →
x <Q z)) |
95 | 15, 94 | ispod 4032 |
. . 3
⊢ (
⊤ → <Q Po
Q) |
96 | | nqtri3or 6380 |
. . . 4
⊢
((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) → (x <Q y ∨ x = y ∨ y
<Q x)) |
97 | 96 | adantl 262 |
. . 3
⊢ ((
⊤ ∧ (x ∈
Q ∧ y ∈
Q)) → (x
<Q y ∨ x = y ∨ y <Q x)) |
98 | 95, 97 | issod 4047 |
. 2
⊢ (
⊤ → <Q Or
Q) |
99 | 98 | trud 1251 |
1
⊢
<Q Or Q |