Theorem ltsonq 6382

Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltsonq	⊢ <Q Or Q

Proof of Theorem ltsonq

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 f x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6332	. . . . . 6 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = x → [⟨z, w⟩] ~Q = x)
3	2, 2	breq12d 3768	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = x → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ x <Q x))
4	3	notbid 591	. . . . . 6 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = x → (¬ [⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ ¬ x <Q x))
5		ltsopi 6304	. . . . . . . 8 ⊢ <N Or N
6		ltrelpi 6308	. . . . . . . 8 ⊢ <N ⊆ (N × N)
7	5, 6	soirri 4662	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (w ·N z) <N (w ·N z)
8		ordpipqqs 6358	. . . . . . . . 9 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (z ·N w) <N (w ·N z)))
9	8	anidms 377	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (z ·N w) <N (w ·N z)))
10		mulcompig 6315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N) → (z ·N w) = (w ·N z))
11	10	breq1d 3765	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N) → ((z ·N w) <N (w ·N z) ↔ (w ·N z) <N (w ·N z)))
12	9, 11	bitrd 177	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (w ·N z) <N (w ·N z)))
13	7, 12	mtbiri 599	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N) → ¬ [⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6129	. . . . 5 ⊢ (x ∈ Q → ¬ x <Q x)
15	14	adantl 262	. . . 4 ⊢ (( ⊤ ∧ x ∈ Q) → ¬ x <Q x)
16		breq1 3758	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = x → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ x <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ))
17	16	anbi1d 438	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = x → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ) ↔ (x <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q )))
18		breq1 3758	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = x → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ↔ x <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ))
19	17, 18	imbi12d 223	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = x → ((([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ) ↔ ((x <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ) → x <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q )))
20		breq2 3759	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = y → (x <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ x <Q y))
21		breq1 3758	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = y → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ↔ y <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ))
22	20, 21	anbi12d 442	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = y → ((x <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ) ↔ (x <Q y ∧ y <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q )))
23	22	imbi1d 220	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = y → (((x <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ) → x <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ) ↔ ((x <Q y ∧ y <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ) → x <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q )))
24		breq2 3759	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑒, f⟩] ~Q = z → (y <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ↔ y <Q z))
25	24	anbi2d 437	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑒, f⟩] ~Q = z → ((x <Q y ∧ y <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ) ↔ (x <Q y ∧ y <Q z)))
26		breq2 3759	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑒, f⟩] ~Q = z → (x <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ↔ x <Q z))
27	25, 26	imbi12d 223	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑒, f⟩] ~Q = z → (((x <Q y ∧ y <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ) → x <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ) ↔ ((x <Q y ∧ y <Q z) → x <Q z)))
28		ordpipqqs 6358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐)))
29	28	3adant3 923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐)))
30		simp1l 927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → 𝑎 ∈ N)
31		simp2r 930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → 𝑑 ∈ N)
32		mulclpi 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) → (𝑎 ·N 𝑑) ∈ N)
33	30, 31, 32	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → (𝑎 ·N 𝑑) ∈ N)
34		simp1r 928	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → 𝑏 ∈ N)
35		simp2l 929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → 𝑐 ∈ N)
36		mulclpi 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ N ∧ 𝑐 ∈ N) → (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N)
37	34, 35, 36	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N)
38		simp3r 932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → f ∈ N)
39		mulclpi 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 ∈ N ∧ f ∈ N) → (𝑐 ·N f) ∈ N)
40	35, 38, 39	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → (𝑐 ·N f) ∈ N)
41		ltmpig 6323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ·N 𝑑) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N ∧ (𝑐 ·N f) ∈ N) → ((𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐) ↔ ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N f) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
42	33, 37, 40, 41	syl3anc 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ((𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐) ↔ ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N f) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
43	29, 42	bitrd 177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N f) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
44	43	biimpa 280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) ∧ [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ) → ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N f) ·N (𝑏 ·N 𝑐)))
45	44	adantrr 448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N f) ·N (𝑏 ·N 𝑐)))
46		mulcompig 6315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑐 ·N f) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) → ((𝑐 ·N f) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N f)))
47	40, 37, 46	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ((𝑐 ·N f) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N f)))
48	47	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N f) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N f)))
49	45, 48	breqtrd 3779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N f)))
50		ordpipqqs 6358	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ↔ (𝑐 ·N f) <N (𝑑 ·N 𝑒)))
51	50	3adant1 921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ↔ (𝑐 ·N f) <N (𝑑 ·N 𝑒)))
52		simp3l 931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → 𝑒 ∈ N)
53		mulclpi 6312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑 ∈ N ∧ 𝑒 ∈ N) → (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N)
54	31, 52, 53	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N)
55		ltmpig 6323	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑐 ·N f) ∈ N ∧ (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) → ((𝑐 ·N f) <N (𝑑 ·N 𝑒) ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N f)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
56	40, 54, 37, 55	syl3anc 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ((𝑐 ·N f) <N (𝑑 ·N 𝑒) ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N f)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
57	51, 56	bitrd 177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N f)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
58	57	biimpa 280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ) → ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N f)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
59	58	adantrl 447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q )) → ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N f)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
60	5, 6	sotri 4663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N f)) ∧ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N f)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))) → ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
61	49, 59, 60	syl2anc 391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
62		mulcompig 6315	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N) → (x ·N y) = (y ·N x))
63	62	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) ∧ (x ∈ N ∧ y ∈ N)) → (x ·N y) = (y ·N x))
64		mulasspig 6316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ z ∈ N) → ((x ·N y) ·N z) = (x ·N (y ·N z)))
65	64	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) ∧ (x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ z ∈ N)) → ((x ·N y) ·N z) = (x ·N (y ·N z)))
66		mulclpi 6312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N) → (x ·N y) ∈ N)
67	66	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) ∧ (x ∈ N ∧ y ∈ N)) → (x ·N y) ∈ N)
68	35, 31, 30, 63, 65, 38, 67	caov411d 5628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N f)) = ((𝑎 ·N 𝑑) ·N (𝑐 ·N f)))
69	63, 33, 40	caovcomd 5599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ((𝑎 ·N 𝑑) ·N (𝑐 ·N f)) = ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N 𝑑)))
70	68, 69	eqtrd 2069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N f)) = ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N 𝑑)))
71	35, 31, 34, 63, 65, 52, 67	caov4d 5627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) = ((𝑐 ·N 𝑏) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
72	63, 35, 34	caovcomd 5599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → (𝑐 ·N 𝑏) = (𝑏 ·N 𝑐))
73	72	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑏) ·N (𝑑 ·N 𝑒)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
74	71, 73	eqtrd 2069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
75	70, 74	breq12d 3768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → (((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N f)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) ↔ ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
76	75	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q )) → (((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N f)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) ↔ ((𝑐 ·N f) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
77	61, 76	mpbird 156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N f)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)))
78		mulclpi 6312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ N ∧ f ∈ N) → (𝑎 ·N f) ∈ N)
79	30, 38, 78	syl2anc 391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → (𝑎 ·N f) ∈ N)
80		mulclpi 6312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ N ∧ 𝑒 ∈ N) → (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N)
81	34, 52, 80	syl2anc 391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N)
82		mulclpi 6312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) → (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N)
83	35, 31, 82	syl2anc 391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N)
84		ltmpig 6323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ·N f) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N ∧ (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N) → ((𝑎 ·N f) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N f)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
85	79, 81, 83, 84	syl3anc 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ((𝑎 ·N f) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N f)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
86	85	adantr 261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q )) → ((𝑎 ·N f) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N f)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
87	77, 86	mpbird 156	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q )) → (𝑎 ·N f) <N (𝑏 ·N 𝑒))
88		ordpipqqs 6358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N f) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
89	88	3adant2 922	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N f) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
90	89	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q )) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N f) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
91	87, 90	mpbird 156	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q )) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q )
92	91	ex 108	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ f ∈ N)) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, f⟩] ~Q ))
93	1, 19, 23, 27, 92	3ecoptocl 6131	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ Q ∧ y ∈ Q ∧ z ∈ Q) → ((x <Q y ∧ y <Q z) → x <Q z))
94	93	adantl 262	. . . 4 ⊢ (( ⊤ ∧ (x ∈ Q ∧ y ∈ Q ∧ z ∈ Q)) → ((x <Q y ∧ y <Q z) → x <Q z))
95	15, 94	ispod 4032	. . 3 ⊢ ( ⊤ → <Q Po Q)
96		nqtri3or 6380	. . . 4 ⊢ ((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) → (x <Q y ∨ x = y ∨ y <Q x))
97	96	adantl 262	. . 3 ⊢ (( ⊤ ∧ (x ∈ Q ∧ y ∈ Q)) → (x <Q y ∨ x = y ∨ y <Q x))
98	95, 97	issod 4047	. 2 ⊢ ( ⊤ → <Q Or Q)
99	98	trud 1251	1 ⊢ <Q Or Q

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ w3o 883   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ⊤ wtru 1243   ∈ wcel 1390  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755   Or wor 4023  (class class class)co 5455  [cec 6040  Ncnpi 6256   ·_N cmi 6258   <_N clti 6259   ~_Q ceq 6263  Qcnq 6264   <_Q cltq 6269

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-ltnqqs 6337

This theorem is referenced by:  nqtric  6383  lt2addnq  6388  ltbtwnnqq  6398  prarloclemarch2  6402  genplt2i  6492  genpdisj  6506  addlocprlemgt  6517  nqprdisj  6527  nqprloc  6528  addnqpr1lemil  6539  addnqpr1lemiu  6540  prmuloclemcalc  6544  distrlem4prl  6558  distrlem4pru  6559  ltsopr  6568  ltexprlemopl  6573  ltexprlemopu  6575  ltexprlemdisj  6578  ltexprlemru  6584  recexprlemlol  6596  recexprlemupu  6598  recexprlemdisj  6600  recexprlemss1l  6605  recexprlemss1u  6606