ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcompig Structured version   GIF version

Theorem mulcompig 6185
Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcompig ((A N B N) → (A ·N B) = (B ·N A))

Proof of Theorem mulcompig
StepHypRef Expression
1 pinn 6163 . . 3 (A NA 𝜔)
2 pinn 6163 . . 3 (B NB 𝜔)
3 nnmcom 5979 . . 3 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A ·𝑜 B) = (B ·𝑜 A))
41, 2, 3syl2an 273 . 2 ((A N B N) → (A ·𝑜 B) = (B ·𝑜 A))
5 mulpiord 6171 . 2 ((A N B N) → (A ·N B) = (A ·𝑜 B))
6 mulpiord 6171 . . 3 ((B N A N) → (B ·N A) = (B ·𝑜 A))
76ancoms 255 . 2 ((A N B N) → (B ·N A) = (B ·𝑜 A))
84, 5, 73eqtr4d 2060 1 ((A N B N) → (A ·N B) = (B ·N A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1226   wcel 1370  𝜔com 4236  (class class class)co 5432   ·𝑜 comu 5910  Ncnpi 6126   ·N cmi 6128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-id 4000  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-ni 6158  df-mi 6160
This theorem is referenced by:  dfplpq2  6207  enqbreq2  6210  enqer  6211  addcmpblnq  6220  mulcmpblnq  6221  ordpipqqs  6227  addcomnqg  6234  addassnqg  6235  mulcomnqg  6236  mulcanenq  6238  distrnqg  6240  mulidnq  6242  recexnq  6243  nqtri3or  6249  ltsonq  6251  ltanqg  6253  ltmnqg  6254  ltexnqq  6260  archnqq  6268  prarloclemarch2  6270  prarloclemlt  6341
  Copyright terms: Public domain W3C validator