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Theorem issod 4030
Description: An irreflexive, transitive, trichotomous relation is a linear ordering (in the sense of df-iso 4008). (Contributed by NM, 21-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issod.1 (φ𝑅 Po A)
issod.2 ((φ (x A y A)) → (x𝑅y x = y y𝑅x))
Assertion
Ref Expression
issod (φ𝑅 Or A)
Distinct variable groups:   x,y,𝑅   x,A,y   φ,x,y

Proof of Theorem issod
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issod.1 . 2 (φ𝑅 Po A)
2 issod.2 . . . . . . . . . . 11 ((φ (x A y A)) → (x𝑅y x = y y𝑅x))
323adant3 912 . . . . . . . . . 10 ((φ (x A y A) (z A x𝑅z)) → (x𝑅y x = y y𝑅x))
4 orc 620 . . . . . . . . . . . 12 (x𝑅y → (x𝑅y y𝑅z))
54a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((φ (x A y A) (z A x𝑅z)) → (x𝑅y → (x𝑅y y𝑅z)))
6 simp3r 921 . . . . . . . . . . . . 13 ((φ (x A y A) (z A x𝑅z)) → x𝑅z)
7 breq1 3741 . . . . . . . . . . . . 13 (x = y → (x𝑅zy𝑅z))
86, 7syl5ibcom 144 . . . . . . . . . . . 12 ((φ (x A y A) (z A x𝑅z)) → (x = yy𝑅z))
9 olc 619 . . . . . . . . . . . 12 (y𝑅z → (x𝑅y y𝑅z))
108, 9syl6 29 . . . . . . . . . . 11 ((φ (x A y A) (z A x𝑅z)) → (x = y → (x𝑅y y𝑅z)))
11 simp1 892 . . . . . . . . . . . . 13 ((φ (x A y A) (z A x𝑅z)) → φ)
12 simp2r 919 . . . . . . . . . . . . . 14 ((φ (x A y A) (z A x𝑅z)) → y A)
13 simp2l 918 . . . . . . . . . . . . . 14 ((φ (x A y A) (z A x𝑅z)) → x A)
14 simp3l 920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((φ (x A y A) (z A x𝑅z)) → z A)
1512, 13, 143jca 1069 . . . . . . . . . . . . 13 ((φ (x A y A) (z A x𝑅z)) → (y A x A z A))
16 potr 4019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Po A (y A x A z A)) → ((y𝑅x x𝑅z) → y𝑅z))
171, 16sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((φ (y A x A z A)) → ((y𝑅x x𝑅z) → y𝑅z))
1817expcomd 1309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((φ (y A x A z A)) → (x𝑅z → (y𝑅xy𝑅z)))
1918imp 115 . . . . . . . . . . . . 13 (((φ (y A x A z A)) x𝑅z) → (y𝑅xy𝑅z))
2011, 15, 6, 19syl21anc 1120 . . . . . . . . . . . 12 ((φ (x A y A) (z A x𝑅z)) → (y𝑅xy𝑅z))
2120, 9syl6 29 . . . . . . . . . . 11 ((φ (x A y A) (z A x𝑅z)) → (y𝑅x → (x𝑅y y𝑅z)))
225, 10, 213jaod 1185 . . . . . . . . . 10 ((φ (x A y A) (z A x𝑅z)) → ((x𝑅y x = y y𝑅x) → (x𝑅y y𝑅z)))
233, 22mpd 13 . . . . . . . . 9 ((φ (x A y A) (z A x𝑅z)) → (x𝑅y y𝑅z))
24233expa 1090 . . . . . . . 8 (((φ (x A y A)) (z A x𝑅z)) → (x𝑅y y𝑅z))
2524expr 357 . . . . . . 7 (((φ (x A y A)) z A) → (x𝑅z → (x𝑅y y𝑅z)))
2625ralrimiva 2370 . . . . . 6 ((φ (x A y A)) → z A (x𝑅z → (x𝑅y y𝑅z)))
2726anassrs 382 . . . . 5 (((φ x A) y A) → z A (x𝑅z → (x𝑅y y𝑅z)))
2827ralrimiva 2370 . . . 4 ((φ x A) → y A z A (x𝑅z → (x𝑅y y𝑅z)))
29 ralcom 2451 . . . 4 (y A z A (x𝑅z → (x𝑅y y𝑅z)) ↔ z A y A (x𝑅z → (x𝑅y y𝑅z)))
3028, 29sylib 127 . . 3 ((φ x A) → z A y A (x𝑅z → (x𝑅y y𝑅z)))
3130ralrimiva 2370 . 2 (φx A z A y A (x𝑅z → (x𝑅y y𝑅z)))
32 df-iso 4008 . 2 (𝑅 Or A ↔ (𝑅 Po A x A z A y A (x𝑅z → (x𝑅y y𝑅z))))
331, 31, 32sylanbrc 396 1 (φ𝑅 Or A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wo 616   w3o 872   w3a 873   wcel 1374  wral 2284   class class class wbr 3738   Po wpo 4005   Or wor 4006
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-v 2537  df-un 2899  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-br 3739  df-po 4007  df-iso 4008
This theorem is referenced by:  ltsopi  6180  ltsonq  6257
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