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Theorem ltsopi 6304
Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltsopi <N Or N

Proof of Theorem ltsopi
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elirrv 4226 . . . . . 6 ¬ x x
2 ltpiord 6303 . . . . . . 7 ((x N x N) → (x <N xx x))
32anidms 377 . . . . . 6 (x N → (x <N xx x))
41, 3mtbiri 599 . . . . 5 (x N → ¬ x <N x)
54adantl 262 . . . 4 (( ⊤ x N) → ¬ x <N x)
6 pion 6294 . . . . . . . 8 (z Nz On)
7 ontr1 4092 . . . . . . . 8 (z On → ((x y y z) → x z))
86, 7syl 14 . . . . . . 7 (z N → ((x y y z) → x z))
983ad2ant3 926 . . . . . 6 ((x N y N z N) → ((x y y z) → x z))
10 ltpiord 6303 . . . . . . . 8 ((x N y N) → (x <N yx y))
11103adant3 923 . . . . . . 7 ((x N y N z N) → (x <N yx y))
12 ltpiord 6303 . . . . . . . 8 ((y N z N) → (y <N zy z))
13123adant1 921 . . . . . . 7 ((x N y N z N) → (y <N zy z))
1411, 13anbi12d 442 . . . . . 6 ((x N y N z N) → ((x <N y y <N z) ↔ (x y y z)))
15 ltpiord 6303 . . . . . . 7 ((x N z N) → (x <N zx z))
16153adant2 922 . . . . . 6 ((x N y N z N) → (x <N zx z))
179, 14, 163imtr4d 192 . . . . 5 ((x N y N z N) → ((x <N y y <N z) → x <N z))
1817adantl 262 . . . 4 (( ⊤ (x N y N z N)) → ((x <N y y <N z) → x <N z))
195, 18ispod 4032 . . 3 ( ⊤ → <N Po N)
20 pinn 6293 . . . . . 6 (x Nx 𝜔)
21 pinn 6293 . . . . . 6 (y Ny 𝜔)
22 nntri3or 6011 . . . . . 6 ((x 𝜔 y 𝜔) → (x y x = y y x))
2320, 21, 22syl2an 273 . . . . 5 ((x N y N) → (x y x = y y x))
24 biidd 161 . . . . . 6 ((x N y N) → (x = yx = y))
25 ltpiord 6303 . . . . . . 7 ((y N x N) → (y <N xy x))
2625ancoms 255 . . . . . 6 ((x N y N) → (y <N xy x))
2710, 24, 263orbi123d 1205 . . . . 5 ((x N y N) → ((x <N y x = y y <N x) ↔ (x y x = y y x)))
2823, 27mpbird 156 . . . 4 ((x N y N) → (x <N y x = y y <N x))
2928adantl 262 . . 3 (( ⊤ (x N y N)) → (x <N y x = y y <N x))
3019, 29issod 4047 . 2 ( ⊤ → <N Or N)
3130trud 1251 1 <N Or N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   w3o 883   w3a 884  wtru 1243   wcel 1390   class class class wbr 3755   Or wor 4023  Oncon0 4066  𝜔com 4256  Ncnpi 6256   <N clti 6259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-ni 6288  df-lti 6291
This theorem is referenced by:  ltsonq  6382
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