ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltdcnq Structured version   GIF version

Theorem ltdcnq 6250
Description: Less-than for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltdcnq ((A Q B Q) → DECID A <Q B)

Proof of Theorem ltdcnq
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6231 . . . 4 (A Qxy((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ))
2 nqpi 6231 . . . 4 (B Qzw((z N w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q ))
31, 2anim12i 321 . . 3 ((A Q B Q) → (xy((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) zw((z N w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q )))
4 ee4anv 1787 . . 3 (xyzw(((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z N w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q )) ↔ (xy((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) zw((z N w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q )))
53, 4sylibr 137 . 2 ((A Q B Q) → xyzw(((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z N w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q )))
6 mulclpi 6182 . . . . . . . . 9 ((x N w N) → (x ·N w) N)
7 mulclpi 6182 . . . . . . . . 9 ((y N z N) → (y ·N z) N)
8 ltdcpi 6177 . . . . . . . . 9 (((x ·N w) N (y ·N z) N) → DECID (x ·N w) <N (y ·N z))
96, 7, 8syl2an 273 . . . . . . . 8 (((x N w N) (y N z N)) → DECID (x ·N w) <N (y ·N z))
109an42s 510 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N w N)) → DECID (x ·N w) <N (y ·N z))
11 ordpipqqs 6227 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z N w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (x ·N w) <N (y ·N z)))
1211dcbid 736 . . . . . . 7 (((x N y N) (z N w N)) → (DECID [⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~QDECID (x ·N w) <N (y ·N z)))
1310, 12mpbird 156 . . . . . 6 (((x N y N) (z N w N)) → DECID [⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q )
1413ad2ant2r 466 . . . . 5 ((((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z N w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q )) → DECID [⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q )
15 breq12 3739 . . . . . . 7 ((A = [⟨x, y⟩] ~Q B = [⟨z, w⟩] ~Q ) → (A <Q B ↔ [⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ))
1615ad2ant2l 465 . . . . . 6 ((((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z N w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q )) → (A <Q B ↔ [⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ))
1716dcbid 736 . . . . 5 ((((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z N w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q )) → (DECID A <Q BDECID [⟨x, y⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ))
1814, 17mpbird 156 . . . 4 ((((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z N w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q )) → DECID A <Q B)
1918exlimivv 1754 . . 3 (zw(((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z N w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q )) → DECID A <Q B)
2019exlimivv 1754 . 2 (xyzw(((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z N w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q )) → DECID A <Q B)
215, 20syl 14 1 ((A Q B Q) → DECID A <Q B)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  DECID wdc 730   = wceq 1226  wex 1358   wcel 1370  cop 3349   class class class wbr 3734  (class class class)co 5432  [cec 6011  Ncnpi 6126   ·N cmi 6128   <N clti 6129   ~Q ceq 6133  Qcnq 6134   <Q cltq 6139
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-mi 6160  df-lti 6161  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-ltnqqs 6206
This theorem is referenced by:  distrlem4prl  6417  distrlem4pru  6418
  Copyright terms: Public domain W3C validator