ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltbtwnnqq Structured version   GIF version

Theorem ltbtwnnqq 6398
Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltbtwnnqq (A <Q Bx Q (A <Q x x <Q B))
Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltbtwnnqq
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6349 . . . . 5 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4335 . . . 4 (A <Q B → (A Q B Q))
32simpld 105 . . 3 (A <Q BA Q)
4 ltexnqi 6392 . . 3 (A <Q By Q (A +Q y) = B)
5 nsmallnq 6396 . . . . . 6 (y Qz z <Q y)
61brel 4335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z <Q y → (z Q y Q))
76simpld 105 . . . . . . . . . . . . . 14 (z <Q yz Q)
8 ltaddnq 6390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A Q z Q) → A <Q (A +Q z))
97, 8sylan2 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((A Q z <Q y) → A <Q (A +Q z))
109ancoms 255 . . . . . . . . . . . 12 ((z <Q y A Q) → A <Q (A +Q z))
1110adantr 261 . . . . . . . . . . 11 (((z <Q y A Q) (A +Q y) = B) → A <Q (A +Q z))
12 ltanqi 6386 . . . . . . . . . . . . 13 ((z <Q y A Q) → (A +Q z) <Q (A +Q y))
1312adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((z <Q y A Q) (A +Q y) = B) → (A +Q z) <Q (A +Q y))
14 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . 13 ((A +Q y) = B → ((A +Q z) <Q (A +Q y) ↔ (A +Q z) <Q B))
1514adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 (((z <Q y A Q) (A +Q y) = B) → ((A +Q z) <Q (A +Q y) ↔ (A +Q z) <Q B))
1613, 15mpbid 135 . . . . . . . . . . 11 (((z <Q y A Q) (A +Q y) = B) → (A +Q z) <Q B)
17 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((A Q z Q) → (A +Q z) Q)
187, 17sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A Q z <Q y) → (A +Q z) Q)
1918ancoms 255 . . . . . . . . . . . . 13 ((z <Q y A Q) → (A +Q z) Q)
2019adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((z <Q y A Q) (A +Q y) = B) → (A +Q z) Q)
21 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . . 14 (x = (A +Q z) → (A <Q xA <Q (A +Q z)))
22 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . . 14 (x = (A +Q z) → (x <Q B ↔ (A +Q z) <Q B))
2321, 22anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . 13 (x = (A +Q z) → ((A <Q x x <Q B) ↔ (A <Q (A +Q z) (A +Q z) <Q B)))
2423adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((z <Q y A Q) (A +Q y) = B) x = (A +Q z)) → ((A <Q x x <Q B) ↔ (A <Q (A +Q z) (A +Q z) <Q B)))
2520, 24rspcedv 2654 . . . . . . . . . . 11 (((z <Q y A Q) (A +Q y) = B) → ((A <Q (A +Q z) (A +Q z) <Q B) → x Q (A <Q x x <Q B)))
2611, 16, 25mp2and 409 . . . . . . . . . 10 (((z <Q y A Q) (A +Q y) = B) → x Q (A <Q x x <Q B))
27263impa 1098 . . . . . . . . 9 ((z <Q y A Q (A +Q y) = B) → x Q (A <Q x x <Q B))
28273coml 1110 . . . . . . . 8 ((A Q (A +Q y) = B z <Q y) → x Q (A <Q x x <Q B))
29283expia 1105 . . . . . . 7 ((A Q (A +Q y) = B) → (z <Q yx Q (A <Q x x <Q B)))
3029exlimdv 1697 . . . . . 6 ((A Q (A +Q y) = B) → (z z <Q yx Q (A <Q x x <Q B)))
315, 30syl5 28 . . . . 5 ((A Q (A +Q y) = B) → (y Qx Q (A <Q x x <Q B)))
3231impancom 247 . . . 4 ((A Q y Q) → ((A +Q y) = Bx Q (A <Q x x <Q B)))
3332rexlimdva 2427 . . 3 (A Q → (y Q (A +Q y) = Bx Q (A <Q x x <Q B)))
343, 4, 33sylc 56 . 2 (A <Q Bx Q (A <Q x x <Q B))
35 ltsonq 6382 . . . 4 <Q Or Q
3635, 1sotri 4663 . . 3 ((A <Q x x <Q B) → A <Q B)
3736rexlimivw 2423 . 2 (x Q (A <Q x x <Q B) → A <Q B)
3834, 37impbii 117 1 (A <Q Bx Q (A <Q x x <Q B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  Qcnq 6264   +Q cplq 6266   <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  6399  nqprrnd  6525  appdivnq  6543  recexprlemopl  6596  recexprlemopu  6598  cauappcvgprlemopl  6617  cauappcvgprlemopu  6619  cauappcvgprlem2  6631
  Copyright terms: Public domain W3C validator