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Theorem ltbtwnnqq 6272
Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltbtwnnqq (A <Q Bx Q (A <Q x x <Q B))
Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltbtwnnqq
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6224 . . . . 5 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4319 . . . 4 (A <Q B → (A Q B Q))
32simpld 105 . . 3 (A <Q BA Q)
4 ltexnqq 6266 . . . . 5 ((A Q B Q) → (A <Q By Q (A +Q y) = B))
52, 4syl 14 . . . 4 (A <Q B → (A <Q By Q (A +Q y) = B))
65ibi 165 . . 3 (A <Q By Q (A +Q y) = B)
7 nsmallnq 6270 . . . . . 6 (y Qz z <Q y)
81brel 4319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z <Q y → (z Q y Q))
98simpld 105 . . . . . . . . . . . . . 14 (z <Q yz Q)
10 ltaddnq 6265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A Q z Q) → A <Q (A +Q z))
119, 10sylan2 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((A Q z <Q y) → A <Q (A +Q z))
1211ancoms 255 . . . . . . . . . . . 12 ((z <Q y A Q) → A <Q (A +Q z))
1312adantr 261 . . . . . . . . . . 11 (((z <Q y A Q) (A +Q y) = B) → A <Q (A +Q z))
14 ax-ia1 99 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z <Q y A Q) → z <Q y)
15 ltanqg 6259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((z Q y Q A Q) → (z <Q y ↔ (A +Q z) <Q (A +Q y)))
16153expa 1090 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((z Q y Q) A Q) → (z <Q y ↔ (A +Q z) <Q (A +Q y)))
178, 16sylan 267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z <Q y A Q) → (z <Q y ↔ (A +Q z) <Q (A +Q y)))
1814, 17mpbid 135 . . . . . . . . . . . . 13 ((z <Q y A Q) → (A +Q z) <Q (A +Q y))
1918adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((z <Q y A Q) (A +Q y) = B) → (A +Q z) <Q (A +Q y))
20 breq2 3742 . . . . . . . . . . . . 13 ((A +Q y) = B → ((A +Q z) <Q (A +Q y) ↔ (A +Q z) <Q B))
2120adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 (((z <Q y A Q) (A +Q y) = B) → ((A +Q z) <Q (A +Q y) ↔ (A +Q z) <Q B))
2219, 21mpbid 135 . . . . . . . . . . 11 (((z <Q y A Q) (A +Q y) = B) → (A +Q z) <Q B)
23 addclnq 6234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((A Q z Q) → (A +Q z) Q)
249, 23sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A Q z <Q y) → (A +Q z) Q)
2524ancoms 255 . . . . . . . . . . . . 13 ((z <Q y A Q) → (A +Q z) Q)
2625adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((z <Q y A Q) (A +Q y) = B) → (A +Q z) Q)
27 breq2 3742 . . . . . . . . . . . . . 14 (x = (A +Q z) → (A <Q xA <Q (A +Q z)))
28 breq1 3741 . . . . . . . . . . . . . 14 (x = (A +Q z) → (x <Q B ↔ (A +Q z) <Q B))
2927, 28anbi12d 445 . . . . . . . . . . . . 13 (x = (A +Q z) → ((A <Q x x <Q B) ↔ (A <Q (A +Q z) (A +Q z) <Q B)))
3029adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((z <Q y A Q) (A +Q y) = B) x = (A +Q z)) → ((A <Q x x <Q B) ↔ (A <Q (A +Q z) (A +Q z) <Q B)))
3126, 30rspcedv 2637 . . . . . . . . . . 11 (((z <Q y A Q) (A +Q y) = B) → ((A <Q (A +Q z) (A +Q z) <Q B) → x Q (A <Q x x <Q B)))
3213, 22, 31mp2and 411 . . . . . . . . . 10 (((z <Q y A Q) (A +Q y) = B) → x Q (A <Q x x <Q B))
33323impa 1085 . . . . . . . . 9 ((z <Q y A Q (A +Q y) = B) → x Q (A <Q x x <Q B))
34333coml 1097 . . . . . . . 8 ((A Q (A +Q y) = B z <Q y) → x Q (A <Q x x <Q B))
35343expia 1092 . . . . . . 7 ((A Q (A +Q y) = B) → (z <Q yx Q (A <Q x x <Q B)))
3635exlimdv 1682 . . . . . 6 ((A Q (A +Q y) = B) → (z z <Q yx Q (A <Q x x <Q B)))
377, 36syl5 28 . . . . 5 ((A Q (A +Q y) = B) → (y Qx Q (A <Q x x <Q B)))
3837impancom 247 . . . 4 ((A Q y Q) → ((A +Q y) = Bx Q (A <Q x x <Q B)))
3938rexlimdva 2411 . . 3 (A Q → (y Q (A +Q y) = Bx Q (A <Q x x <Q B)))
403, 6, 39sylc 56 . 2 (A <Q Bx Q (A <Q x x <Q B))
41 ltsonq 6257 . . . 4 <Q Or Q
4241, 1sotri 4647 . . 3 ((A <Q x x <Q B) → A <Q B)
4342rexlimivw 2407 . 2 (x Q (A <Q x x <Q B) → A <Q B)
4440, 43impbii 117 1 (A <Q Bx Q (A <Q x x <Q B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  wrex 2285   class class class wbr 3738  (class class class)co 5436  Qcnq 6138   +Q cplq 6140   <Q cltq 6143
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-eprel 4000  df-id 4004  df-po 4007  df-iso 4008  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-1o 5916  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-pli 6165  df-mi 6166  df-lti 6167  df-plpq 6203  df-mpq 6204  df-enq 6206  df-nqqs 6207  df-plqqs 6208  df-mqqs 6209  df-1nqqs 6210  df-rq 6211  df-ltnqqs 6212
This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  6273  nqprrnd  6398  appdivnq  6407  recexprlemopl  6459  recexprlemopu  6461
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