ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordpipqqs Structured version   GIF version

Theorem ordpipqqs 6227
Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ordpipqqs (((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) → ([⟨A, B⟩] ~Q <Q [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (A ·N 𝐷) <N (B ·N 𝐶)))

Proof of Theorem ordpipqqs
Dummy variables x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enqex 6213 . 2 ~Q V
2 enqer 6211 . 2 ~Q Er (N × N)
3 df-nqqs 6201 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
4 df-ltnqqs 6206 . 2 <Q = {⟨x, y⟩ ∣ ((x Q y Q) zwvu((x = [⟨z, w⟩] ~Q y = [⟨v, u⟩] ~Q ) (z ·N u) <N (w ·N v)))}
5 enqeceq 6212 . . . . 5 (((z N w N) (A N B N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨A, B⟩] ~Q ↔ (z ·N B) = (w ·N A)))
6 enqeceq 6212 . . . . . 6 (((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (v ·N 𝐷) = (u ·N 𝐶)))
7 eqcom 2020 . . . . . 6 ((v ·N 𝐷) = (u ·N 𝐶) ↔ (u ·N 𝐶) = (v ·N 𝐷))
86, 7syl6bb 185 . . . . 5 (((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (u ·N 𝐶) = (v ·N 𝐷)))
95, 8bi2anan9 526 . . . 4 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → (([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨A, B⟩] ~Q [⟨v, u⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) ↔ ((z ·N B) = (w ·N A) (u ·N 𝐶) = (v ·N 𝐷))))
10 oveq12 5441 . . . . 5 (((z ·N B) = (w ·N A) (u ·N 𝐶) = (v ·N 𝐷)) → ((z ·N B) ·N (u ·N 𝐶)) = ((w ·N A) ·N (v ·N 𝐷)))
11 simplll 473 . . . . . . 7 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → z N)
12 simprlr 478 . . . . . . 7 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → u N)
13 simplrr 476 . . . . . . 7 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → B N)
14 mulcompig 6185 . . . . . . . 8 ((x N y N) → (x ·N y) = (y ·N x))
1514adantl 262 . . . . . . 7 (((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) (x N y N)) → (x ·N y) = (y ·N x))
16 mulasspig 6186 . . . . . . . 8 ((x N y N f N) → ((x ·N y) ·N f) = (x ·N (y ·N f)))
1716adantl 262 . . . . . . 7 (((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) (x N y N f N)) → ((x ·N y) ·N f) = (x ·N (y ·N f)))
18 simprrl 479 . . . . . . 7 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → 𝐶 N)
19 mulclpi 6182 . . . . . . . 8 ((x N y N) → (x ·N y) N)
2019adantl 262 . . . . . . 7 (((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) (x N y N)) → (x ·N y) N)
2111, 12, 13, 15, 17, 18, 20caov4d 5604 . . . . . 6 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → ((z ·N u) ·N (B ·N 𝐶)) = ((z ·N B) ·N (u ·N 𝐶)))
22 simpllr 474 . . . . . . 7 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → w N)
23 simprll 477 . . . . . . 7 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → v N)
24 simplrl 475 . . . . . . 7 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → A N)
25 simprrr 480 . . . . . . 7 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → 𝐷 N)
2622, 23, 24, 15, 17, 25, 20caov4d 5604 . . . . . 6 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → ((w ·N v) ·N (A ·N 𝐷)) = ((w ·N A) ·N (v ·N 𝐷)))
2721, 26eqeq12d 2032 . . . . 5 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → (((z ·N u) ·N (B ·N 𝐶)) = ((w ·N v) ·N (A ·N 𝐷)) ↔ ((z ·N B) ·N (u ·N 𝐶)) = ((w ·N A) ·N (v ·N 𝐷))))
2810, 27syl5ibr 145 . . . 4 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → (((z ·N B) = (w ·N A) (u ·N 𝐶) = (v ·N 𝐷)) → ((z ·N u) ·N (B ·N 𝐶)) = ((w ·N v) ·N (A ·N 𝐷))))
299, 28sylbid 139 . . 3 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → (([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨A, B⟩] ~Q [⟨v, u⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) → ((z ·N u) ·N (B ·N 𝐶)) = ((w ·N v) ·N (A ·N 𝐷))))
30 ltmpig 6193 . . . . 5 ((x N y N f N) → (x <N y ↔ (f ·N x) <N (f ·N y)))
3130adantl 262 . . . 4 (((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) (x N y N f N)) → (x <N y ↔ (f ·N x) <N (f ·N y)))
3220, 11, 12caovcld 5573 . . . 4 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → (z ·N u) N)
3320, 13, 18caovcld 5573 . . . 4 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → (B ·N 𝐶) N)
3420, 22, 23caovcld 5573 . . . 4 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → (w ·N v) N)
3520, 24, 25caovcld 5573 . . . 4 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → (A ·N 𝐷) N)
3631, 32, 33, 34, 15, 35caovord3d 5590 . . 3 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → (((z ·N u) ·N (B ·N 𝐶)) = ((w ·N v) ·N (A ·N 𝐷)) → ((z ·N u) <N (w ·N v) ↔ (A ·N 𝐷) <N (B ·N 𝐶))))
3729, 36syld 40 . 2 ((((z N w N) (A N B N)) ((v N u N) (𝐶 N 𝐷 N))) → (([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨A, B⟩] ~Q [⟨v, u⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) → ((z ·N u) <N (w ·N v) ↔ (A ·N 𝐷) <N (B ·N 𝐶))))
381, 2, 3, 4, 37brecop 6103 1 (((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) → ([⟨A, B⟩] ~Q <Q [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (A ·N 𝐷) <N (B ·N 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 871   = wceq 1226   wcel 1370  cop 3349   class class class wbr 3734  (class class class)co 5432  [cec 6011  Ncnpi 6126   ·N cmi 6128   <N clti 6129   ~Q ceq 6133  Qcnq 6134   <Q cltq 6139
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-mi 6160  df-lti 6161  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-ltnqqs 6206
This theorem is referenced by:  nqtri3or  6249  ltdcnq  6250  ltsonq  6251  ltanqg  6253  ltmnqg  6254  1lt2nq  6258  ltexnqq  6260  archnqq  6268  prarloclemarch2  6270  prarloclemlt  6341
  Copyright terms: Public domain W3C validator