ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addlocprlemgt Structured version   GIF version

Theorem addlocprlemgt 6517
Description: Lemma for addlocpr 6519. The (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄 case. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlocprlem.a (φA P)
addlocprlem.b (φB P)
addlocprlem.qr (φ𝑄 <Q 𝑅)
addlocprlem.p (φ𝑃 Q)
addlocprlem.qppr (φ → (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)) = 𝑅)
addlocprlem.dlo (φ𝐷 (1stA))
addlocprlem.uup (φ𝑈 (2ndA))
addlocprlem.du (φ𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
addlocprlem.elo (φ𝐸 (1stB))
addlocprlem.tup (φ𝑇 (2ndB))
addlocprlem.et (φ𝑇 <Q (𝐸 +Q 𝑃))
Assertion
Ref Expression
addlocprlemgt (φ → ((𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄𝑅 (2nd ‘(A +P B))))

Proof of Theorem addlocprlemgt
StepHypRef Expression
1 addlocprlem.a . . . . . . 7 (φA P)
2 addlocprlem.b . . . . . . 7 (φB P)
3 addlocprlem.qr . . . . . . 7 (φ𝑄 <Q 𝑅)
4 addlocprlem.p . . . . . . 7 (φ𝑃 Q)
5 addlocprlem.qppr . . . . . . 7 (φ → (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)) = 𝑅)
6 addlocprlem.dlo . . . . . . 7 (φ𝐷 (1stA))
7 addlocprlem.uup . . . . . . 7 (φ𝑈 (2ndA))
8 addlocprlem.du . . . . . . 7 (φ𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
9 addlocprlem.elo . . . . . . 7 (φ𝐸 (1stB))
10 addlocprlem.tup . . . . . . 7 (φ𝑇 (2ndB))
11 addlocprlem.et . . . . . . 7 (φ𝑇 <Q (𝐸 +Q 𝑃))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11addlocprlemeqgt 6515 . . . . . 6 (φ → (𝑈 +Q 𝑇) <Q ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
1312adantr 261 . . . . 5 ((φ (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄) → (𝑈 +Q 𝑇) <Q ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
14 prop 6457 . . . . . . . . . . . 12 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
151, 14syl 14 . . . . . . . . . . 11 (φ → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
16 elprnql 6463 . . . . . . . . . . 11 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P 𝐷 (1stA)) → 𝐷 Q)
1715, 6, 16syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (φ𝐷 Q)
18 prop 6457 . . . . . . . . . . . 12 (B P → ⟨(1stB), (2ndB)⟩ P)
192, 18syl 14 . . . . . . . . . . 11 (φ → ⟨(1stB), (2ndB)⟩ P)
20 elprnql 6463 . . . . . . . . . . 11 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P 𝐸 (1stB)) → 𝐸 Q)
2119, 9, 20syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (φ𝐸 Q)
22 addclnq 6359 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 Q 𝐸 Q) → (𝐷 +Q 𝐸) Q)
2317, 21, 22syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (φ → (𝐷 +Q 𝐸) Q)
24 ltrelnq 6349 . . . . . . . . . . . 12 <Q ⊆ (Q × Q)
2524brel 4335 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 <Q 𝑅 → (𝑄 Q 𝑅 Q))
263, 25syl 14 . . . . . . . . . 10 (φ → (𝑄 Q 𝑅 Q))
2726simpld 105 . . . . . . . . 9 (φ𝑄 Q)
28 addclnq 6359 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 Q 𝑃 Q) → (𝑃 +Q 𝑃) Q)
294, 4, 28syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (φ → (𝑃 +Q 𝑃) Q)
30 ltanqg 6384 . . . . . . . . 9 (((𝐷 +Q 𝐸) Q 𝑄 Q (𝑃 +Q 𝑃) Q) → ((𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄 ↔ ((𝑃 +Q 𝑃) +Q (𝐷 +Q 𝐸)) <Q ((𝑃 +Q 𝑃) +Q 𝑄)))
3123, 27, 29, 30syl3anc 1134 . . . . . . . 8 (φ → ((𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄 ↔ ((𝑃 +Q 𝑃) +Q (𝐷 +Q 𝐸)) <Q ((𝑃 +Q 𝑃) +Q 𝑄)))
32 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 +Q 𝑃) Q (𝐷 +Q 𝐸) Q) → ((𝑃 +Q 𝑃) +Q (𝐷 +Q 𝐸)) = ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
3329, 23, 32syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (φ → ((𝑃 +Q 𝑃) +Q (𝐷 +Q 𝐸)) = ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
34 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 +Q 𝑃) Q 𝑄 Q) → ((𝑃 +Q 𝑃) +Q 𝑄) = (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
3529, 27, 34syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (φ → ((𝑃 +Q 𝑃) +Q 𝑄) = (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
3633, 35breq12d 3768 . . . . . . . 8 (φ → (((𝑃 +Q 𝑃) +Q (𝐷 +Q 𝐸)) <Q ((𝑃 +Q 𝑃) +Q 𝑄) ↔ ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃))))
3731, 36bitrd 177 . . . . . . 7 (φ → ((𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄 ↔ ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃))))
3837biimpa 280 . . . . . 6 ((φ (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄) → ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
395breq2d 3767 . . . . . . 7 (φ → (((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)) ↔ ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q 𝑅))
4039adantr 261 . . . . . 6 ((φ (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄) → (((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)) ↔ ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q 𝑅))
4138, 40mpbid 135 . . . . 5 ((φ (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄) → ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q 𝑅)
4213, 41jca 290 . . . 4 ((φ (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄) → ((𝑈 +Q 𝑇) <Q ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q 𝑅))
43 ltsonq 6382 . . . . 5 <Q Or Q
4443, 24sotri 4663 . . . 4 (((𝑈 +Q 𝑇) <Q ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q 𝑅) → (𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅)
4542, 44syl 14 . . 3 ((φ (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄) → (𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅)
461, 7jca 290 . . . . 5 (φ → (A P 𝑈 (2ndA)))
472, 10jca 290 . . . . 5 (φ → (B P 𝑇 (2ndB)))
4826simprd 107 . . . . 5 (φ𝑅 Q)
49 addnqpru 6513 . . . . 5 ((((A P 𝑈 (2ndA)) (B P 𝑇 (2ndB))) 𝑅 Q) → ((𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅𝑅 (2nd ‘(A +P B))))
5046, 47, 48, 49syl21anc 1133 . . . 4 (φ → ((𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅𝑅 (2nd ‘(A +P B))))
5150adantr 261 . . 3 ((φ (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄) → ((𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅𝑅 (2nd ‘(A +P B))))
5245, 51mpd 13 . 2 ((φ (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄) → 𝑅 (2nd ‘(A +P B)))
5352ex 108 1 (φ → ((𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄𝑅 (2nd ‘(A +P B))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264   +Q cplq 6266   <Q cltq 6269  Pcnp 6275   +P cpp 6277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-inp 6448  df-iplp 6450
This theorem is referenced by:  addlocprlem  6518
  Copyright terms: Public domain W3C validator