ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addlocprlemgt Structured version   GIF version

Theorem addlocprlemgt 6378
Description: Lemma for addlocpr 6380. The (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄 case. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlocprlem.a (φA P)
addlocprlem.b (φB P)
addlocprlem.qr (φ𝑄 <Q 𝑅)
addlocprlem.p (φ𝑃 Q)
addlocprlem.qppr (φ → (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)) = 𝑅)
addlocprlem.dlo (φ𝐷 (1stA))
addlocprlem.uup (φ𝑈 (2ndA))
addlocprlem.du (φ𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
addlocprlem.elo (φ𝐸 (1stB))
addlocprlem.tup (φ𝑇 (2ndB))
addlocprlem.et (φ𝑇 <Q (𝐸 +Q 𝑃))
Assertion
Ref Expression
addlocprlemgt (φ → ((𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄𝑅 (2nd ‘(A +P B))))

Proof of Theorem addlocprlemgt
StepHypRef Expression
1 addlocprlem.a . . . . . . 7 (φA P)
2 addlocprlem.b . . . . . . 7 (φB P)
3 addlocprlem.qr . . . . . . 7 (φ𝑄 <Q 𝑅)
4 addlocprlem.p . . . . . . 7 (φ𝑃 Q)
5 addlocprlem.qppr . . . . . . 7 (φ → (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)) = 𝑅)
6 addlocprlem.dlo . . . . . . 7 (φ𝐷 (1stA))
7 addlocprlem.uup . . . . . . 7 (φ𝑈 (2ndA))
8 addlocprlem.du . . . . . . 7 (φ𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
9 addlocprlem.elo . . . . . . 7 (φ𝐸 (1stB))
10 addlocprlem.tup . . . . . . 7 (φ𝑇 (2ndB))
11 addlocprlem.et . . . . . . 7 (φ𝑇 <Q (𝐸 +Q 𝑃))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11addlocprlemeqgt 6376 . . . . . 6 (φ → (𝑈 +Q 𝑇) <Q ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
1312adantr 261 . . . . 5 ((φ (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄) → (𝑈 +Q 𝑇) <Q ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
14 prop 6318 . . . . . . . . . . . 12 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
151, 14syl 14 . . . . . . . . . . 11 (φ → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
16 elprnql 6324 . . . . . . . . . . 11 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P 𝐷 (1stA)) → 𝐷 Q)
1715, 6, 16syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (φ𝐷 Q)
18 prop 6318 . . . . . . . . . . . 12 (B P → ⟨(1stB), (2ndB)⟩ P)
192, 18syl 14 . . . . . . . . . . 11 (φ → ⟨(1stB), (2ndB)⟩ P)
20 elprnql 6324 . . . . . . . . . . 11 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P 𝐸 (1stB)) → 𝐸 Q)
2119, 9, 20syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (φ𝐸 Q)
22 addclnq 6223 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 Q 𝐸 Q) → (𝐷 +Q 𝐸) Q)
2317, 21, 22syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (φ → (𝐷 +Q 𝐸) Q)
24 ltrelnq 6213 . . . . . . . . . . . 12 <Q ⊆ (Q × Q)
2524brel 4310 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 <Q 𝑅 → (𝑄 Q 𝑅 Q))
263, 25syl 14 . . . . . . . . . 10 (φ → (𝑄 Q 𝑅 Q))
2726simpld 105 . . . . . . . . 9 (φ𝑄 Q)
28 addclnq 6223 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 Q 𝑃 Q) → (𝑃 +Q 𝑃) Q)
294, 4, 28syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (φ → (𝑃 +Q 𝑃) Q)
30 ltanqg 6248 . . . . . . . . 9 (((𝐷 +Q 𝐸) Q 𝑄 Q (𝑃 +Q 𝑃) Q) → ((𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄 ↔ ((𝑃 +Q 𝑃) +Q (𝐷 +Q 𝐸)) <Q ((𝑃 +Q 𝑃) +Q 𝑄)))
3123, 27, 29, 30syl3anc 1118 . . . . . . . 8 (φ → ((𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄 ↔ ((𝑃 +Q 𝑃) +Q (𝐷 +Q 𝐸)) <Q ((𝑃 +Q 𝑃) +Q 𝑄)))
32 addcomnqg 6229 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 +Q 𝑃) Q (𝐷 +Q 𝐸) Q) → ((𝑃 +Q 𝑃) +Q (𝐷 +Q 𝐸)) = ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
3329, 23, 32syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (φ → ((𝑃 +Q 𝑃) +Q (𝐷 +Q 𝐸)) = ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
34 addcomnqg 6229 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 +Q 𝑃) Q 𝑄 Q) → ((𝑃 +Q 𝑃) +Q 𝑄) = (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
3529, 27, 34syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (φ → ((𝑃 +Q 𝑃) +Q 𝑄) = (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
3633, 35breq12d 3743 . . . . . . . 8 (φ → (((𝑃 +Q 𝑃) +Q (𝐷 +Q 𝐸)) <Q ((𝑃 +Q 𝑃) +Q 𝑄) ↔ ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃))))
3731, 36bitrd 177 . . . . . . 7 (φ → ((𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄 ↔ ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃))))
3837biimpa 280 . . . . . 6 ((φ (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄) → ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
395breq2d 3742 . . . . . . 7 (φ → (((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)) ↔ ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q 𝑅))
4039adantr 261 . . . . . 6 ((φ (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄) → (((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)) ↔ ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q 𝑅))
4138, 40mpbid 135 . . . . 5 ((φ (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄) → ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q 𝑅)
4213, 41jca 290 . . . 4 ((φ (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄) → ((𝑈 +Q 𝑇) <Q ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q 𝑅))
43 ltsonq 6246 . . . . 5 <Q Or Q
4443, 24sotri 4638 . . . 4 (((𝑈 +Q 𝑇) <Q ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)) <Q 𝑅) → (𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅)
4542, 44syl 14 . . 3 ((φ (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄) → (𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅)
461, 7jca 290 . . . . 5 (φ → (A P 𝑈 (2ndA)))
472, 10jca 290 . . . . 5 (φ → (B P 𝑇 (2ndB)))
4826simprd 107 . . . . 5 (φ𝑅 Q)
49 addnqpru 6374 . . . . 5 ((((A P 𝑈 (2ndA)) (B P 𝑇 (2ndB))) 𝑅 Q) → ((𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅𝑅 (2nd ‘(A +P B))))
5046, 47, 48, 49syl21anc 1117 . . . 4 (φ → ((𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅𝑅 (2nd ‘(A +P B))))
5150adantr 261 . . 3 ((φ (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄) → ((𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅𝑅 (2nd ‘(A +P B))))
5245, 51mpd 13 . 2 ((φ (𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄) → 𝑅 (2nd ‘(A +P B)))
5352ex 108 1 (φ → ((𝐷 +Q 𝐸) <Q 𝑄𝑅 (2nd ‘(A +P B))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1226   wcel 1369  cop 3345   class class class wbr 3730  cfv 4820  (class class class)co 5427  1st c1st 5679  2nd c2nd 5680  Qcnq 6129   +Q cplq 6131   <Q cltq 6134  Pcnp 6140   +P cpp 6142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1358  ax-ie2 1359  ax-8 1371  ax-10 1372  ax-11 1373  ax-i12 1374  ax-bnd 1375  ax-4 1376  ax-13 1380  ax-14 1381  ax-17 1395  ax-i9 1399  ax-ial 1403  ax-i5r 1404  ax-ext 1998  ax-coll 3838  ax-sep 3841  ax-nul 3849  ax-pow 3893  ax-pr 3910  ax-un 4111  ax-setind 4195  ax-iinf 4229
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 870  df-3an 871  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1622  df-eu 1879  df-mo 1880  df-clab 2003  df-cleq 2009  df-clel 2012  df-nfc 2143  df-ne 2182  df-ral 2283  df-rex 2284  df-reu 2285  df-rab 2287  df-v 2531  df-sbc 2736  df-csb 2824  df-dif 2891  df-un 2893  df-in 2895  df-ss 2902  df-nul 3196  df-pw 3328  df-sn 3348  df-pr 3349  df-op 3351  df-uni 3547  df-int 3582  df-iun 3625  df-br 3731  df-opab 3785  df-mpt 3786  df-tr 3821  df-eprel 3992  df-id 3996  df-po 3999  df-iso 4000  df-iord 4044  df-on 4046  df-suc 4049  df-iom 4232  df-xp 4269  df-rel 4270  df-cnv 4271  df-co 4272  df-dm 4273  df-rn 4274  df-res 4275  df-ima 4276  df-iota 4785  df-fun 4822  df-fn 4823  df-f 4824  df-f1 4825  df-fo 4826  df-f1o 4827  df-fv 4828  df-ov 5430  df-oprab 5431  df-mpt2 5432  df-1st 5681  df-2nd 5682  df-recs 5833  df-irdg 5869  df-1o 5907  df-oadd 5911  df-omul 5912  df-er 6008  df-ec 6010  df-qs 6014  df-ni 6153  df-pli 6154  df-mi 6155  df-lti 6156  df-plpq 6192  df-mpq 6193  df-enq 6195  df-nqqs 6196  df-plqqs 6197  df-mqqs 6198  df-1nqqs 6199  df-rq 6200  df-ltnqqs 6201  df-inp 6309  df-iplp 6311
This theorem is referenced by:  addlocprlem  6379
  Copyright terms: Public domain W3C validator