addnqprlemfl - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem addnqprlemfl 6657

Description: Lemma for addnqpr 6659. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
addnqprlemfl	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑙,𝑢 𝐵,𝑙,𝑢

Proof of Theorem addnqprlemfl Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addnqprlemru 6656	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩))
2		ltsonq 6496	. . . . . . . . 9 ⊢ <_Q Or Q
3		addclnq 6473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q)
4		sonr 4054	. . . . . . . . 9 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
5	2, 3, 4	sylancr 393	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
6		ltrelnq 6463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 4392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵) → ((𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q ∧ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q))
8	7	simpld 105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵) → (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q)
9		elex 2566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q → (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵) → (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ V)
11		breq2 3768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝐴 +_Q 𝐵) → ((𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢 ↔ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)))
12	10, 11	elab3 2694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) ∈ {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢} ↔ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
13	5, 12	sylnibr 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢})
14		ltnqex 6647	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)} ∈ V
15		gtnqex 6648	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢} ∈ V
16	14, 15	op2nd 5774	. . . . . . . 8 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}
17	16	eleq2i 2104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢})
18	13, 17	sylnibr 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩))
19	1, 18	ssneldd 2948	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
20	19	adantr 261	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
21		nqprlu 6645	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
22		nqprlu 6645	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
23		addclpr 6635	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
24	21, 22, 23	syl2an 273	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
25		prop 6573	. . . . . 6 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
26	24, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
27		vex 2560	. . . . . . 7 ⊢ 𝑟 ∈ V
28		breq1 3767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → (𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵) ↔ 𝑟 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)))
29	14, 15	op1st 5773	. . . . . . 7 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}
30	27, 28, 29	elab2 2690	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ↔ 𝑟 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
31	30	biimpi 113	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
32		prloc 6589	. . . . 5 ⊢ ((⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ 𝑟 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)) → (𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
33	26, 31, 32	syl2an 273	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → (𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
34	20, 33	ecased 1239	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
35	34	ex 108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
36	35	ssrdv 2951	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 97 ∨ wo 629 ∈ wcel 1393 {cab 2026 Vcvv 2557 ⊆ wss 2917 ⟨cop 3378 class class class wbr 3764 Or wor 4032 ‘cfv 4902 (class class class)co 5512 1^st c1st 5765 2^nd c2nd 5766 Qcnq 6378 +_Q cplq 6380 <_Q cltq 6383 Pcnp 6389 +_P cpp 6391

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 630 ax-5 1336 ax-7 1337 ax-gen 1338 ax-ie1 1382 ax-ie2 1383 ax-8 1395 ax-10 1396 ax-11 1397 ax-i12 1398 ax-bndl 1399 ax-4 1400 ax-13 1404 ax-14 1405 ax-17 1419 ax-i9 1423 ax-ial 1427 ax-i5r 1428 ax-ext 2022 ax-coll 3872 ax-sep 3875 ax-nul 3883 ax-pow 3927 ax-pr 3944 ax-un 4170 ax-setind 4262 ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-dc 743 df-3or 886 df-3an 887 df-tru 1246 df-fal 1249 df-nf 1350 df-sb 1646 df-eu 1903 df-mo 1904 df-clab 2027 df-cleq 2033 df-clel 2036 df-nfc 2167 df-ne 2206 df-ral 2311 df-rex 2312 df-reu 2313 df-rab 2315 df-v 2559 df-sbc 2765 df-csb 2853 df-dif 2920 df-un 2922 df-in 2924 df-ss 2931 df-nul 3225 df-pw 3361 df-sn 3381 df-pr 3382 df-op 3384 df-uni 3581 df-int 3616 df-iun 3659 df-br 3765 df-opab 3819 df-mpt 3820 df-tr 3855 df-eprel 4026 df-id 4030 df-po 4033 df-iso 4034 df-iord 4103 df-on 4105 df-suc 4108 df-iom 4314 df-xp 4351 df-rel 4352 df-cnv 4353 df-co 4354 df-dm 4355 df-rn 4356 df-res 4357 df-ima 4358 df-iota 4867 df-fun 4904 df-fn 4905 df-f 4906 df-f1 4907 df-fo 4908 df-f1o 4909 df-fv 4910 df-ov 5515 df-oprab 5516 df-mpt2 5517 df-1st 5767 df-2nd 5768 df-recs 5920 df-irdg 5957 df-1o 6001 df-2o 6002 df-oadd 6005 df-omul 6006 df-er 6106 df-ec 6108 df-qs 6112 df-ni 6402 df-pli 6403 df-mi 6404 df-lti 6405 df-plpq 6442 df-mpq 6443 df-enq 6445 df-nqqs 6446 df-plqqs 6447 df-mqqs 6448 df-1nqqs 6449 df-rq 6450 df-ltnqqs 6451 df-enq0 6522 df-nq0 6523 df-0nq0 6524 df-plq0 6525 df-mq0 6526 df-inp 6564 df-iplp 6566

This theorem is referenced by: addnqpr 6659

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