Theorem ssrdv 2951

Description: Deduction rule based on subclass definition. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssrdv.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ssrdv	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ssrdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrdv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	alrimiv 1754	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
3		dfss2 2934	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
4	2, 3	sylibr 137	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1241   ∈ wcel 1393   ⊆ wss 2917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-11 1397  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-in 2924  df-ss 2931

This theorem is referenced by:  sscon  3077  ssdif  3078  unss1  3112  ssrin  3162  eq0rdv  3261  uniss  3601  intss1  3630  intmin  3635  intssunim  3637  iunss1  3668  iinss1  3669  ss2iun  3672  ssiun  3699  ssiun2  3700  iinss  3708  iinss2  3709  trintssm  3870  sspwb  3952  tron  4119  ssorduni  4213  ordsson  4218  ordpwsucss  4291  xpsspw  4450  relop  4486  dmss  4534  dmcosseq  4603  ssrnres  4763  chfnrn  5278  ffnfv  5323  f1imass  5413  fo1stresm  5788  fo2ndresm  5789  fo2ndf  5848  reldmtpos  5868  smoiun  5916  tfrlemi14d  5947  nndifsnid  6080  qsss  6165  fidifsnid  6332  onunsnss  6355  addnqprlemrl  6655  addnqprlemru  6656  addnqprlemfl  6657  addnqprlemfu  6658  mulnqprlemrl  6671  mulnqprlemru  6672  mulnqprlemfl  6673  mulnqprlemfu  6674  distrlem1prl  6680  distrlem1pru  6681  distrlem5prl  6684  distrlem5pru  6685  ltprordil  6687  ltexprlemfl  6707  ltexprlemrl  6708  ltexprlemfu  6709  ltexprlemru  6710  addcanprleml  6712  addcanprlemu  6713  recexprlem1ssl  6731  recexprlem1ssu  6732  recexprlemss1l  6733  recexprlemss1u  6734  aptiprleml  6737  aptiprlemu  6738  cauappcvgprlemladdfu  6752  cauappcvgprlemladdfl  6753  cauappcvgprlemladdru  6754  cauappcvgprlemladdrl  6755  caucvgprlemladdfu  6775  caucvgprlemladdrl  6776  peano5uzti  8346  uzss  8493  ixxdisj  8772  ixxss1  8773  ixxss2  8774  ixxss12  8775  iocssre  8822  icossre  8823  iccssre  8824  icodisj  8860  fzss1  8926  fzss2  8927  fzoss1  9027  fzosplit  9033  fzouzsplit  9035  ssfzo12bi  9081  frecuzrdgfn  9198  ovshftex  9420