ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brel Structured version   GIF version

Theorem brel 4335
Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
brel.1 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
Assertion
Ref Expression
brel (A𝑅B → (A 𝐶 B 𝐷))

Proof of Theorem brel
StepHypRef Expression
1 brel.1 . . 3 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
21ssbri 3797 . 2 (A𝑅BA(𝐶 × 𝐷)B)
3 brxp 4318 . 2 (A(𝐶 × 𝐷)B ↔ (A 𝐶 B 𝐷))
42, 3sylib 127 1 (A𝑅B → (A 𝐶 B 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1390  wss 2911   class class class wbr 3755   × cxp 4286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294
This theorem is referenced by:  brab2a  4336  brab2ga  4358  soirri  4662  sotri  4663  sotri2  4665  sotri3  4666  swoer  6070  ecopovsym  6138  ecopovtrn  6139  ecopovsymg  6141  ecopovtrng  6142  ltanqi  6386  ltmnqi  6387  ltexnqi  6392  ltbtwnnqq  6398  ltbtwnnq  6399  ltrnqi  6404  prcdnql  6467  prcunqu  6468  prnmaxl  6471  prnminu  6472  prloc  6474  prarloclemcalc  6485  genplt2i  6493  genpcdl  6502  genpcuu  6503  addnqprllem  6510  addnqprulem  6511  addlocprlemlt  6514  addlocprlemeq  6516  addlocprlemgt  6517  addlocprlem  6518  nqprxx  6529  ltnqex  6531  gtnqex  6532  addnqprlemrl  6538  addnqprlemru  6539  addnqprlemfl  6540  addnqprlemfu  6541  appdivnq  6544  prmuloclemcalc  6546  prmuloc  6547  ltprordil  6565  1idprl  6566  1idpru  6567  ltexprlemm  6574  ltexprlemopl  6575  ltexprlemlol  6576  ltexprlemopu  6577  ltexprlemupu  6578  ltexprlemdisj  6580  ltexprlemloc  6581  ltexprlemfl  6583  ltexprlemrl  6584  ltexprlemfu  6585  ltexprlemru  6586  ltexpri  6587  ltaprlem  6591  recexprlemell  6594  recexprlemelu  6595  recexprlemloc  6603  recexprlempr  6604  recexprlem1ssl  6605  recexprlem1ssu  6606  recexprlemss1l  6607  recexprlemss1u  6608  cauappcvgprlemm  6617  cauappcvgprlemlol  6619  cauappcvgprlemupu  6621  cauappcvgprlemladdfu  6626  cauappcvgprlemladdfl  6627  caucvgprlemk  6636  caucvgprlemm  6639  caucvgprlemlol  6641  caucvgprlemupu  6643  caucvgprlemladdfu  6648  caucvgprlem1  6650  caucvgprlem2  6651  gt0srpr  6676  recexgt0sr  6701  addgt0sr  6703  mulgt0sr  6704  ltresr  6736
  Copyright terms: Public domain W3C validator