ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brel Structured version   GIF version

Theorem brel 4335
Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
brel.1 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
Assertion
Ref Expression
brel (A𝑅B → (A 𝐶 B 𝐷))

Proof of Theorem brel
StepHypRef Expression
1 brel.1 . . 3 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
21ssbri 3797 . 2 (A𝑅BA(𝐶 × 𝐷)B)
3 brxp 4318 . 2 (A(𝐶 × 𝐷)B ↔ (A 𝐶 B 𝐷))
42, 3sylib 127 1 (A𝑅B → (A 𝐶 B 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1390  wss 2911   class class class wbr 3755   × cxp 4286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294
This theorem is referenced by:  brab2a  4336  brab2ga  4358  soirri  4662  sotri  4663  sotri2  4665  sotri3  4666  swoer  6070  ecopovsym  6138  ecopovtrn  6139  ecopovsymg  6141  ecopovtrng  6142  ltanqi  6386  ltmnqi  6387  ltexnqi  6392  ltbtwnnqq  6398  ltbtwnnq  6399  ltrnqi  6404  prcdnql  6466  prcunqu  6467  prnmaxl  6470  prnminu  6471  prloc  6473  prarloclemcalc  6484  genplt2i  6492  genpcdl  6501  genpcuu  6502  addnqprllem  6509  addnqprulem  6510  addlocprlemlt  6513  addlocprlemeq  6515  addlocprlemgt  6516  addlocprlem  6517  nqprxx  6528  ltnqex  6530  gtnqex  6531  addnqprlemrl  6537  addnqprlemru  6538  addnqprlemfl  6539  addnqprlemfu  6540  appdivnq  6543  prmuloclemcalc  6545  prmuloc  6546  ltprordil  6564  1idprl  6565  1idpru  6566  ltexprlemm  6573  ltexprlemopl  6574  ltexprlemlol  6575  ltexprlemopu  6576  ltexprlemupu  6577  ltexprlemdisj  6579  ltexprlemloc  6580  ltexprlemfl  6582  ltexprlemrl  6583  ltexprlemfu  6584  ltexprlemru  6585  ltexpri  6586  ltaprlem  6590  recexprlemell  6593  recexprlemelu  6594  recexprlemloc  6602  recexprlempr  6603  recexprlem1ssl  6604  recexprlem1ssu  6605  recexprlemss1l  6606  recexprlemss1u  6607  cauappcvgprlemm  6616  cauappcvgprlemlol  6618  cauappcvgprlemupu  6620  cauappcvgprlemladdfu  6625  cauappcvgprlemladdfl  6626  gt0srpr  6656  recexgt0sr  6681  addgt0sr  6683  mulgt0sr  6684  ltresr  6716
  Copyright terms: Public domain W3C validator