ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brel Structured version   GIF version

Theorem brel 4334
Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
brel.1 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
Assertion
Ref Expression
brel (A𝑅B → (A 𝐶 B 𝐷))

Proof of Theorem brel
StepHypRef Expression
1 brel.1 . . 3 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
21ssbri 3796 . 2 (A𝑅BA(𝐶 × 𝐷)B)
3 brxp 4317 . 2 (A(𝐶 × 𝐷)B ↔ (A 𝐶 B 𝐷))
42, 3sylib 127 1 (A𝑅B → (A 𝐶 B 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1390  wss 2911   class class class wbr 3754   × cxp 4285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-br 3755  df-opab 3809  df-xp 4293
This theorem is referenced by:  brab2a  4335  brab2ga  4357  soirri  4661  sotri  4662  sotri2  4664  sotri3  4665  swoer  6063  ecopovsym  6131  ecopovtrn  6132  ecopovsymg  6134  ecopovtrng  6135  ltanqi  6379  ltmnqi  6380  ltexnqi  6385  ltbtwnnqq  6391  ltbtwnnq  6392  ltrnqi  6397  prcdnql  6459  prcunqu  6460  prnmaxl  6463  prnminu  6464  prloc  6466  prarloclemcalc  6477  genplt2i  6485  genpcdl  6495  genpcuu  6496  addnqprllem  6503  addnqprulem  6504  addlocprlemlt  6507  addlocprlemeq  6509  addlocprlemgt  6510  addlocprlem  6511  nqprlu  6522  ltnqex  6523  gtnqex  6524  addnqpr1lemrl  6529  addnqpr1lemru  6530  addnqpr1lemil  6531  addnqpr1lemiu  6532  appdivnq  6534  prmuloclemcalc  6536  prmuloc  6537  ltprordil  6555  1idprl  6556  1idpru  6557  ltexprlemm  6564  ltexprlemopl  6565  ltexprlemlol  6566  ltexprlemopu  6567  ltexprlemupu  6568  ltexprlemdisj  6570  ltexprlemloc  6571  ltexprlemfl  6573  ltexprlemrl  6574  ltexprlemfu  6575  ltexprlemru  6576  ltexpri  6577  ltaprlem  6581  recexprlemell  6584  recexprlemelu  6585  recexprlemloc  6593  recexprlempr  6594  recexprlem1ssl  6595  recexprlem1ssu  6596  recexprlemss1l  6597  recexprlemss1u  6598  gt0srpr  6628  recexgt0sr  6653  addgt0sr  6655  mulgt0sr  6656  ltresr  6688
  Copyright terms: Public domain W3C validator