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Theorem appdivnq 6661
Description: Approximate division for positive rationals. Proposition 12.7 of [BauerTaylor], p. 55 (a special case where 𝐴 and 𝐵 are positive, as well as 𝐶). Our proof is simpler than the one in BauerTaylor because we have reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
appdivnq ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → ∃𝑚Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚

Proof of Theorem appdivnq
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → 𝐴 <Q 𝐵)
2 ltrelnq 6463 . . . . . . . 8 <Q ⊆ (Q × Q)
32brel 4392 . . . . . . 7 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
43adantr 261 . . . . . 6 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (𝐴Q𝐵Q))
54simpld 105 . . . . 5 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → 𝐴Q)
64simprd 107 . . . . 5 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → 𝐵Q)
7 recclnq 6490 . . . . . 6 (𝐶Q → (*Q𝐶) ∈ Q)
87adantl 262 . . . . 5 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (*Q𝐶) ∈ Q)
9 ltmnqg 6499 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q ∧ (*Q𝐶) ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
105, 6, 8, 9syl3anc 1135 . . . 4 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
111, 10mpbid 135 . . 3 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵))
12 ltbtwnnqq 6513 . . 3 (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ↔ ∃𝑚Q (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
1311, 12sylib 127 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → ∃𝑚Q (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
148adantr 261 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (*Q𝐶) ∈ Q)
155adantr 261 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → 𝐴Q)
16 mulclnq 6474 . . . . . . . . 9 (((*Q𝐶) ∈ Q𝐴Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q)
1714, 15, 16syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q)
18 simpr 103 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → 𝑚Q)
19 simplr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → 𝐶Q)
20 ltmnqg 6499 . . . . . . . 8 ((((*Q𝐶) ·Q 𝐴) ∈ Q𝑚Q𝐶Q) → (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ↔ (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1135 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚 ↔ (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
22 recidnq 6491 . . . . . . . . . . 11 (𝐶Q → (𝐶 ·Q (*Q𝐶)) = 1Q)
2322oveq1d 5527 . . . . . . . . . 10 (𝐶Q → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐴) = (1Q ·Q 𝐴))
2423ad2antlr 458 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐴) = (1Q ·Q 𝐴))
25 mulassnqg 6482 . . . . . . . . . 10 ((𝐶Q ∧ (*Q𝐶) ∈ Q𝐴Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐴) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)))
2619, 14, 15, 25syl3anc 1135 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐴) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)))
27 1nq 6464 . . . . . . . . . . . 12 1QQ
28 mulcomnqg 6481 . . . . . . . . . . . 12 ((1QQ𝐴Q) → (1Q ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 1Q))
2927, 28mpan 400 . . . . . . . . . . 11 (𝐴Q → (1Q ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 1Q))
30 mulidnq 6487 . . . . . . . . . . 11 (𝐴Q → (𝐴 ·Q 1Q) = 𝐴)
3129, 30eqtrd 2072 . . . . . . . . . 10 (𝐴Q → (1Q ·Q 𝐴) = 𝐴)
3215, 31syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (1Q ·Q 𝐴) = 𝐴)
3324, 26, 323eqtr3d 2080 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)) = 𝐴)
3433breq1d 3774 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐴)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ↔ 𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
3521, 34bitrd 177 . . . . . 6 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
366adantr 261 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → 𝐵Q)
37 mulclnq 6474 . . . . . . . . 9 (((*Q𝐶) ∈ Q𝐵Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q)
3814, 36, 37syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q)
39 ltmnqg 6499 . . . . . . . 8 ((𝑚Q ∧ ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ∈ Q𝐶Q) → (𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵))))
4018, 38, 19, 39syl3anc 1135 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵))))
4122oveq1d 5527 . . . . . . . . . 10 (𝐶Q → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐵) = (1Q ·Q 𝐵))
4241ad2antlr 458 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐵) = (1Q ·Q 𝐵))
43 mulassnqg 6482 . . . . . . . . . 10 ((𝐶Q ∧ (*Q𝐶) ∈ Q𝐵Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐵) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
4419, 14, 36, 43syl3anc 1135 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q 𝐵) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)))
45 mulcomnqg 6481 . . . . . . . . . . . 12 ((1QQ𝐵Q) → (1Q ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 1Q))
4627, 45mpan 400 . . . . . . . . . . 11 (𝐵Q → (1Q ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 1Q))
47 mulidnq 6487 . . . . . . . . . . 11 (𝐵Q → (𝐵 ·Q 1Q) = 𝐵)
4846, 47eqtrd 2072 . . . . . . . . . 10 (𝐵Q → (1Q ·Q 𝐵) = 𝐵)
4936, 48syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (1Q ·Q 𝐵) = 𝐵)
5042, 44, 493eqtr3d 2080 . . . . . . . 8 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) = 𝐵)
5150breq2d 3776 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵))
5240, 51bitrd 177 . . . . . 6 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵))
5335, 52anbi12d 442 . . . . 5 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ∧ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵)))
54 mulcomnqg 6481 . . . . . . . 8 ((𝐶Q𝑚Q) → (𝐶 ·Q 𝑚) = (𝑚 ·Q 𝐶))
5519, 18, 54syl2anc 391 . . . . . . 7 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝐶 ·Q 𝑚) = (𝑚 ·Q 𝐶))
5655breq2d 3776 . . . . . 6 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → (𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ↔ 𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶)))
5755breq1d 3774 . . . . . 6 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵 ↔ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))
5856, 57anbi12d 442 . . . . 5 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((𝐴 <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ∧ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
5953, 58bitrd 177 . . . 4 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) ↔ (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
6059biimpd 132 . . 3 (((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) ∧ 𝑚Q) → ((((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) → (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
6160reximdva 2421 . 2 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → (∃𝑚Q (((*Q𝐶) ·Q 𝐴) <Q 𝑚𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q 𝐵)) → ∃𝑚Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)))
6213, 61mpd 13 1 ((𝐴 <Q 𝐵𝐶Q) → ∃𝑚Q (𝐴 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wcel 1393  wrex 2307   class class class wbr 3764  cfv 4902  (class class class)co 5512  Qcnq 6378  1Qc1q 6379   ·Q cmq 6381  *Qcrq 6382   <Q cltq 6383
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451
This theorem is referenced by:  appdiv0nq  6662  mullocpr  6669
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