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Theorem appdivnq 6542
Description: Approximate division for positive rationals. Proposition 12.7 of [BauerTaylor], p. 55 (a special case where A and B are positive, as well as 𝐶). Our proof is simpler than the one in BauerTaylor because we have reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
appdivnq ((A <Q B 𝐶 Q) → 𝑚 Q (A <Q (𝑚 ·Q 𝐶) (𝑚 ·Q 𝐶) <Q B))
Distinct variable groups:   A,𝑚   B,𝑚   𝐶,𝑚

Proof of Theorem appdivnq
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . . 4 ((A <Q B 𝐶 Q) → A <Q B)
2 ltrelnq 6349 . . . . . . . 8 <Q ⊆ (Q × Q)
32brel 4335 . . . . . . 7 (A <Q B → (A Q B Q))
43adantr 261 . . . . . 6 ((A <Q B 𝐶 Q) → (A Q B Q))
54simpld 105 . . . . 5 ((A <Q B 𝐶 Q) → A Q)
64simprd 107 . . . . 5 ((A <Q B 𝐶 Q) → B Q)
7 recclnq 6376 . . . . . 6 (𝐶 Q → (*Q𝐶) Q)
87adantl 262 . . . . 5 ((A <Q B 𝐶 Q) → (*Q𝐶) Q)
9 ltmnqg 6385 . . . . 5 ((A Q B Q (*Q𝐶) Q) → (A <Q B ↔ ((*Q𝐶) ·Q A) <Q ((*Q𝐶) ·Q B)))
105, 6, 8, 9syl3anc 1134 . . . 4 ((A <Q B 𝐶 Q) → (A <Q B ↔ ((*Q𝐶) ·Q A) <Q ((*Q𝐶) ·Q B)))
111, 10mpbid 135 . . 3 ((A <Q B 𝐶 Q) → ((*Q𝐶) ·Q A) <Q ((*Q𝐶) ·Q B))
12 ltbtwnnqq 6398 . . 3 (((*Q𝐶) ·Q A) <Q ((*Q𝐶) ·Q B) ↔ 𝑚 Q (((*Q𝐶) ·Q A) <Q 𝑚 𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q B)))
1311, 12sylib 127 . 2 ((A <Q B 𝐶 Q) → 𝑚 Q (((*Q𝐶) ·Q A) <Q 𝑚 𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q B)))
148adantr 261 . . . . . . . . 9 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → (*Q𝐶) Q)
155adantr 261 . . . . . . . . 9 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → A Q)
16 mulclnq 6360 . . . . . . . . 9 (((*Q𝐶) Q A Q) → ((*Q𝐶) ·Q A) Q)
1714, 15, 16syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → ((*Q𝐶) ·Q A) Q)
18 simpr 103 . . . . . . . 8 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → 𝑚 Q)
19 simplr 482 . . . . . . . 8 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → 𝐶 Q)
20 ltmnqg 6385 . . . . . . . 8 ((((*Q𝐶) ·Q A) Q 𝑚 Q 𝐶 Q) → (((*Q𝐶) ·Q A) <Q 𝑚 ↔ (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q A)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1134 . . . . . . 7 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → (((*Q𝐶) ·Q A) <Q 𝑚 ↔ (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q A)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
22 recidnq 6377 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 Q → (𝐶 ·Q (*Q𝐶)) = 1Q)
2322oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10 (𝐶 Q → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q A) = (1Q ·Q A))
2423ad2antlr 458 . . . . . . . . 9 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q A) = (1Q ·Q A))
25 mulassnqg 6368 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 Q (*Q𝐶) Q A Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q A) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q A)))
2619, 14, 15, 25syl3anc 1134 . . . . . . . . 9 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q A) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q A)))
27 1nq 6350 . . . . . . . . . . . 12 1Q Q
28 mulcomnqg 6367 . . . . . . . . . . . 12 ((1Q Q A Q) → (1Q ·Q A) = (A ·Q 1Q))
2927, 28mpan 400 . . . . . . . . . . 11 (A Q → (1Q ·Q A) = (A ·Q 1Q))
30 mulidnq 6373 . . . . . . . . . . 11 (A Q → (A ·Q 1Q) = A)
3129, 30eqtrd 2069 . . . . . . . . . 10 (A Q → (1Q ·Q A) = A)
3215, 31syl 14 . . . . . . . . 9 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → (1Q ·Q A) = A)
3324, 26, 323eqtr3d 2077 . . . . . . . 8 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q A)) = A)
3433breq1d 3765 . . . . . . 7 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → ((𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q A)) <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ↔ A <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
3521, 34bitrd 177 . . . . . 6 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → (((*Q𝐶) ·Q A) <Q 𝑚A <Q (𝐶 ·Q 𝑚)))
366adantr 261 . . . . . . . . 9 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → B Q)
37 mulclnq 6360 . . . . . . . . 9 (((*Q𝐶) Q B Q) → ((*Q𝐶) ·Q B) Q)
3814, 36, 37syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → ((*Q𝐶) ·Q B) Q)
39 ltmnqg 6385 . . . . . . . 8 ((𝑚 Q ((*Q𝐶) ·Q B) Q 𝐶 Q) → (𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q B) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q B))))
4018, 38, 19, 39syl3anc 1134 . . . . . . 7 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → (𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q B) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q B))))
4122oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10 (𝐶 Q → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q B) = (1Q ·Q B))
4241ad2antlr 458 . . . . . . . . 9 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q B) = (1Q ·Q B))
43 mulassnqg 6368 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 Q (*Q𝐶) Q B Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q B) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q B)))
4419, 14, 36, 43syl3anc 1134 . . . . . . . . 9 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → ((𝐶 ·Q (*Q𝐶)) ·Q B) = (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q B)))
45 mulcomnqg 6367 . . . . . . . . . . . 12 ((1Q Q B Q) → (1Q ·Q B) = (B ·Q 1Q))
4627, 45mpan 400 . . . . . . . . . . 11 (B Q → (1Q ·Q B) = (B ·Q 1Q))
47 mulidnq 6373 . . . . . . . . . . 11 (B Q → (B ·Q 1Q) = B)
4846, 47eqtrd 2069 . . . . . . . . . 10 (B Q → (1Q ·Q B) = B)
4936, 48syl 14 . . . . . . . . 9 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → (1Q ·Q B) = B)
5042, 44, 493eqtr3d 2077 . . . . . . . 8 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q B)) = B)
5150breq2d 3767 . . . . . . 7 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → ((𝐶 ·Q 𝑚) <Q (𝐶 ·Q ((*Q𝐶) ·Q B)) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q B))
5240, 51bitrd 177 . . . . . 6 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → (𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q B) ↔ (𝐶 ·Q 𝑚) <Q B))
5335, 52anbi12d 442 . . . . 5 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → ((((*Q𝐶) ·Q A) <Q 𝑚 𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q B)) ↔ (A <Q (𝐶 ·Q 𝑚) (𝐶 ·Q 𝑚) <Q B)))
54 mulcomnqg 6367 . . . . . . . 8 ((𝐶 Q 𝑚 Q) → (𝐶 ·Q 𝑚) = (𝑚 ·Q 𝐶))
5519, 18, 54syl2anc 391 . . . . . . 7 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → (𝐶 ·Q 𝑚) = (𝑚 ·Q 𝐶))
5655breq2d 3767 . . . . . 6 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → (A <Q (𝐶 ·Q 𝑚) ↔ A <Q (𝑚 ·Q 𝐶)))
5755breq1d 3765 . . . . . 6 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → ((𝐶 ·Q 𝑚) <Q B ↔ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q B))
5856, 57anbi12d 442 . . . . 5 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → ((A <Q (𝐶 ·Q 𝑚) (𝐶 ·Q 𝑚) <Q B) ↔ (A <Q (𝑚 ·Q 𝐶) (𝑚 ·Q 𝐶) <Q B)))
5953, 58bitrd 177 . . . 4 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → ((((*Q𝐶) ·Q A) <Q 𝑚 𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q B)) ↔ (A <Q (𝑚 ·Q 𝐶) (𝑚 ·Q 𝐶) <Q B)))
6059biimpd 132 . . 3 (((A <Q B 𝐶 Q) 𝑚 Q) → ((((*Q𝐶) ·Q A) <Q 𝑚 𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q B)) → (A <Q (𝑚 ·Q 𝐶) (𝑚 ·Q 𝐶) <Q B)))
6160reximdva 2415 . 2 ((A <Q B 𝐶 Q) → (𝑚 Q (((*Q𝐶) ·Q A) <Q 𝑚 𝑚 <Q ((*Q𝐶) ·Q B)) → 𝑚 Q (A <Q (𝑚 ·Q 𝐶) (𝑚 ·Q 𝐶) <Q B)))
6213, 61mpd 13 1 ((A <Q B 𝐶 Q) → 𝑚 Q (A <Q (𝑚 ·Q 𝐶) (𝑚 ·Q 𝐶) <Q B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  Qcnq 6264  1Qc1q 6265   ·Q cmq 6267  *Qcrq 6268   <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  appdiv0nq  6543  mullocpr  6550
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