ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexprlemell Structured version   GIF version

Theorem recexprlemell 6593
Description: Membership in the lower cut of B. Lemma for recexpr 6609. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemell (𝐶 (1stB) ↔ y(𝐶 <Q y (*Qy) (2ndA)))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,𝐶,y

Proof of Theorem recexprlemell
StepHypRef Expression
1 elex 2560 . 2 (𝐶 (1stB) → 𝐶 V)
2 ltrelnq 6349 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
32brel 4335 . . . . . 6 (𝐶 <Q y → (𝐶 Q y Q))
43simpld 105 . . . . 5 (𝐶 <Q y𝐶 Q)
5 elex 2560 . . . . 5 (𝐶 Q𝐶 V)
64, 5syl 14 . . . 4 (𝐶 <Q y𝐶 V)
76adantr 261 . . 3 ((𝐶 <Q y (*Qy) (2ndA)) → 𝐶 V)
87exlimiv 1486 . 2 (y(𝐶 <Q y (*Qy) (2ndA)) → 𝐶 V)
9 breq1 3758 . . . . 5 (x = 𝐶 → (x <Q y𝐶 <Q y))
109anbi1d 438 . . . 4 (x = 𝐶 → ((x <Q y (*Qy) (2ndA)) ↔ (𝐶 <Q y (*Qy) (2ndA))))
1110exbidv 1703 . . 3 (x = 𝐶 → (y(x <Q y (*Qy) (2ndA)) ↔ y(𝐶 <Q y (*Qy) (2ndA))))
12 recexpr.1 . . . . 5 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
1312fveq2i 5124 . . . 4 (1stB) = (1st ‘⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩)
14 nqex 6347 . . . . . 6 Q V
152brel 4335 . . . . . . . . . 10 (x <Q y → (x Q y Q))
1615simpld 105 . . . . . . . . 9 (x <Q yx Q)
1716adantr 261 . . . . . . . 8 ((x <Q y (*Qy) (2ndA)) → x Q)
1817exlimiv 1486 . . . . . . 7 (y(x <Q y (*Qy) (2ndA)) → x Q)
1918abssi 3009 . . . . . 6 {xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))} ⊆ Q
2014, 19ssexi 3886 . . . . 5 {xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))} V
212brel 4335 . . . . . . . . . 10 (y <Q x → (y Q x Q))
2221simprd 107 . . . . . . . . 9 (y <Q xx Q)
2322adantr 261 . . . . . . . 8 ((y <Q x (*Qy) (1stA)) → x Q)
2423exlimiv 1486 . . . . . . 7 (y(y <Q x (*Qy) (1stA)) → x Q)
2524abssi 3009 . . . . . 6 {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))} ⊆ Q
2614, 25ssexi 3886 . . . . 5 {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))} V
2720, 26op1st 5715 . . . 4 (1st ‘⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩) = {xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}
2813, 27eqtri 2057 . . 3 (1stB) = {xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}
2911, 28elab2g 2683 . 2 (𝐶 V → (𝐶 (1stB) ↔ y(𝐶 <Q y (*Qy) (2ndA))))
301, 8, 29pm5.21nii 619 1 (𝐶 (1stB) ↔ y(𝐶 <Q y (*Qy) (2ndA)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023  Vcvv 2551  cop 3370   class class class wbr 3755  cfv 4845  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264  *Qcrq 6268   <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-1st 5709  df-qs 6048  df-ni 6288  df-nqqs 6332  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  recexprlemm  6595  recexprlemopl  6596  recexprlemlol  6597  recexprlemdisj  6601  recexprlemloc  6602  recexprlem1ssl  6604  recexprlemss1l  6606
  Copyright terms: Public domain W3C validator