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Theorem recexprlemloc 6602
Description: B is located. Lemma for recexpr 6609. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemloc (A P𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 (1stB) 𝑟 (2ndB))))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,x,y,A   B,𝑞,𝑟,x,y

Proof of Theorem recexprlemloc
Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prop 6457 . . . . . . . . 9 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
2 prnmaxl 6470 . . . . . . . . 9 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P (*Q𝑟) (1stA)) → u (1stA)(*Q𝑟) <Q u)
31, 2sylan 267 . . . . . . . 8 ((A P (*Q𝑟) (1stA)) → u (1stA)(*Q𝑟) <Q u)
43adantlr 446 . . . . . . 7 (((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑟) (1stA)) → u (1stA)(*Q𝑟) <Q u)
5 simprr 484 . . . . . . . . . 10 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑟) (1stA)) (u (1stA) (*Q𝑟) <Q u)) → (*Q𝑟) <Q u)
6 elprnql 6463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P u (1stA)) → u Q)
71, 6sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((A P u (1stA)) → u Q)
87ad2ant2r 478 . . . . . . . . . . . 12 (((A P 𝑞 <Q 𝑟) (u (1stA) (*Q𝑟) <Q u)) → u Q)
98adantlr 446 . . . . . . . . . . 11 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑟) (1stA)) (u (1stA) (*Q𝑟) <Q u)) → u Q)
10 recrecnq 6378 . . . . . . . . . . 11 (u Q → (*Q‘(*Qu)) = u)
119, 10syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑟) (1stA)) (u (1stA) (*Q𝑟) <Q u)) → (*Q‘(*Qu)) = u)
125, 11breqtrrd 3781 . . . . . . . . 9 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑟) (1stA)) (u (1stA) (*Q𝑟) <Q u)) → (*Q𝑟) <Q (*Q‘(*Qu)))
13 recclnq 6376 . . . . . . . . . . 11 (u Q → (*Qu) Q)
149, 13syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑟) (1stA)) (u (1stA) (*Q𝑟) <Q u)) → (*Qu) Q)
15 ltrelnq 6349 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q ⊆ (Q × Q)
1615brel 4335 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 Q 𝑟 Q))
1716adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((A P 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 Q 𝑟 Q))
1817ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑟) (1stA)) (u (1stA) (*Q𝑟) <Q u)) → (𝑞 Q 𝑟 Q))
1918simprd 107 . . . . . . . . . 10 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑟) (1stA)) (u (1stA) (*Q𝑟) <Q u)) → 𝑟 Q)
20 ltrnqg 6403 . . . . . . . . . 10 (((*Qu) Q 𝑟 Q) → ((*Qu) <Q 𝑟 ↔ (*Q𝑟) <Q (*Q‘(*Qu))))
2114, 19, 20syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑟) (1stA)) (u (1stA) (*Q𝑟) <Q u)) → ((*Qu) <Q 𝑟 ↔ (*Q𝑟) <Q (*Q‘(*Qu))))
2212, 21mpbird 156 . . . . . . . 8 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑟) (1stA)) (u (1stA) (*Q𝑟) <Q u)) → (*Qu) <Q 𝑟)
23 simprl 483 . . . . . . . . 9 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑟) (1stA)) (u (1stA) (*Q𝑟) <Q u)) → u (1stA))
2411, 23eqeltrd 2111 . . . . . . . 8 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑟) (1stA)) (u (1stA) (*Q𝑟) <Q u)) → (*Q‘(*Qu)) (1stA))
25 breq1 3758 . . . . . . . . . . . 12 (y = (*Qu) → (y <Q 𝑟 ↔ (*Qu) <Q 𝑟))
26 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . 13 (y = (*Qu) → (*Qy) = (*Q‘(*Qu)))
2726eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . 12 (y = (*Qu) → ((*Qy) (1stA) ↔ (*Q‘(*Qu)) (1stA)))
2825, 27anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11 (y = (*Qu) → ((y <Q 𝑟 (*Qy) (1stA)) ↔ ((*Qu) <Q 𝑟 (*Q‘(*Qu)) (1stA))))
2928spcegv 2635 . . . . . . . . . 10 ((*Qu) Q → (((*Qu) <Q 𝑟 (*Q‘(*Qu)) (1stA)) → y(y <Q 𝑟 (*Qy) (1stA))))
30 recexpr.1 . . . . . . . . . . 11 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
3130recexprlemelu 6594 . . . . . . . . . 10 (𝑟 (2ndB) ↔ y(y <Q 𝑟 (*Qy) (1stA)))
3229, 31syl6ibr 151 . . . . . . . . 9 ((*Qu) Q → (((*Qu) <Q 𝑟 (*Q‘(*Qu)) (1stA)) → 𝑟 (2ndB)))
3314, 32syl 14 . . . . . . . 8 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑟) (1stA)) (u (1stA) (*Q𝑟) <Q u)) → (((*Qu) <Q 𝑟 (*Q‘(*Qu)) (1stA)) → 𝑟 (2ndB)))
3422, 24, 33mp2and 409 . . . . . . 7 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑟) (1stA)) (u (1stA) (*Q𝑟) <Q u)) → 𝑟 (2ndB))
354, 34rexlimddv 2431 . . . . . 6 (((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑟) (1stA)) → 𝑟 (2ndB))
3635olcd 652 . . . . 5 (((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑟) (1stA)) → (𝑞 (1stB) 𝑟 (2ndB)))
37 prnminu 6471 . . . . . . . . 9 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P (*Q𝑞) (2ndA)) → v (2ndA)v <Q (*Q𝑞))
381, 37sylan 267 . . . . . . . 8 ((A P (*Q𝑞) (2ndA)) → v (2ndA)v <Q (*Q𝑞))
3938adantlr 446 . . . . . . 7 (((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑞) (2ndA)) → v (2ndA)v <Q (*Q𝑞))
40 elprnqu 6464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P v (2ndA)) → v Q)
411, 40sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((A P v (2ndA)) → v Q)
4241adantlr 446 . . . . . . . . . . . 12 (((A P 𝑞 <Q 𝑟) v (2ndA)) → v Q)
4342ad2ant2r 478 . . . . . . . . . . 11 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑞) (2ndA)) (v (2ndA) v <Q (*Q𝑞))) → v Q)
44 recrecnq 6378 . . . . . . . . . . 11 (v Q → (*Q‘(*Qv)) = v)
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑞) (2ndA)) (v (2ndA) v <Q (*Q𝑞))) → (*Q‘(*Qv)) = v)
46 simprr 484 . . . . . . . . . 10 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑞) (2ndA)) (v (2ndA) v <Q (*Q𝑞))) → v <Q (*Q𝑞))
4745, 46eqbrtrd 3775 . . . . . . . . 9 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑞) (2ndA)) (v (2ndA) v <Q (*Q𝑞))) → (*Q‘(*Qv)) <Q (*Q𝑞))
4817ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑞) (2ndA)) (v (2ndA) v <Q (*Q𝑞))) → (𝑞 Q 𝑟 Q))
4948simpld 105 . . . . . . . . . 10 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑞) (2ndA)) (v (2ndA) v <Q (*Q𝑞))) → 𝑞 Q)
50 recclnq 6376 . . . . . . . . . . 11 (v Q → (*Qv) Q)
5143, 50syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑞) (2ndA)) (v (2ndA) v <Q (*Q𝑞))) → (*Qv) Q)
52 ltrnqg 6403 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 Q (*Qv) Q) → (𝑞 <Q (*Qv) ↔ (*Q‘(*Qv)) <Q (*Q𝑞)))
5349, 51, 52syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑞) (2ndA)) (v (2ndA) v <Q (*Q𝑞))) → (𝑞 <Q (*Qv) ↔ (*Q‘(*Qv)) <Q (*Q𝑞)))
5447, 53mpbird 156 . . . . . . . 8 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑞) (2ndA)) (v (2ndA) v <Q (*Q𝑞))) → 𝑞 <Q (*Qv))
55 simprl 483 . . . . . . . . 9 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑞) (2ndA)) (v (2ndA) v <Q (*Q𝑞))) → v (2ndA))
5645, 55eqeltrd 2111 . . . . . . . 8 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑞) (2ndA)) (v (2ndA) v <Q (*Q𝑞))) → (*Q‘(*Qv)) (2ndA))
57 breq2 3759 . . . . . . . . . . . 12 (y = (*Qv) → (𝑞 <Q y𝑞 <Q (*Qv)))
58 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . 13 (y = (*Qv) → (*Qy) = (*Q‘(*Qv)))
5958eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . 12 (y = (*Qv) → ((*Qy) (2ndA) ↔ (*Q‘(*Qv)) (2ndA)))
6057, 59anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11 (y = (*Qv) → ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) ↔ (𝑞 <Q (*Qv) (*Q‘(*Qv)) (2ndA))))
6160spcegv 2635 . . . . . . . . . 10 ((*Qv) Q → ((𝑞 <Q (*Qv) (*Q‘(*Qv)) (2ndA)) → y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA))))
6230recexprlemell 6593 . . . . . . . . . 10 (𝑞 (1stB) ↔ y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)))
6361, 62syl6ibr 151 . . . . . . . . 9 ((*Qv) Q → ((𝑞 <Q (*Qv) (*Q‘(*Qv)) (2ndA)) → 𝑞 (1stB)))
6451, 63syl 14 . . . . . . . 8 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑞) (2ndA)) (v (2ndA) v <Q (*Q𝑞))) → ((𝑞 <Q (*Qv) (*Q‘(*Qv)) (2ndA)) → 𝑞 (1stB)))
6554, 56, 64mp2and 409 . . . . . . 7 ((((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑞) (2ndA)) (v (2ndA) v <Q (*Q𝑞))) → 𝑞 (1stB))
6639, 65rexlimddv 2431 . . . . . 6 (((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑞) (2ndA)) → 𝑞 (1stB))
6766orcd 651 . . . . 5 (((A P 𝑞 <Q 𝑟) (*Q𝑞) (2ndA)) → (𝑞 (1stB) 𝑟 (2ndB)))
68 ltrnqi 6404 . . . . . 6 (𝑞 <Q 𝑟 → (*Q𝑟) <Q (*Q𝑞))
69 prloc 6473 . . . . . 6 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P (*Q𝑟) <Q (*Q𝑞)) → ((*Q𝑟) (1stA) (*Q𝑞) (2ndA)))
701, 68, 69syl2an 273 . . . . 5 ((A P 𝑞 <Q 𝑟) → ((*Q𝑟) (1stA) (*Q𝑞) (2ndA)))
7136, 67, 70mpjaodan 710 . . . 4 ((A P 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 (1stB) 𝑟 (2ndB)))
7271ex 108 . . 3 (A P → (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 (1stB) 𝑟 (2ndB))))
7372ralrimivw 2387 . 2 (A P𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 (1stB) 𝑟 (2ndB))))
7473ralrimivw 2387 1 (A P𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 (1stB) 𝑟 (2ndB))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023  wral 2300  wrex 2301  cop 3370   class class class wbr 3755  cfv 4845  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264  *Qcrq 6268   <Q cltq 6269  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-inp 6448
This theorem is referenced by:  recexprlempr  6603
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