ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexpr Structured version   GIF version

Theorem recexpr 6608
Description: The reciprocal of a positive real exists. Part of Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
recexpr (A Px P (A ·P x) = 1P)
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem recexpr
Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq12 3760 . . . . . . 7 ((z = u w = v) → (z <Q wu <Q v))
2 simpr 103 . . . . . . . . 9 ((z = u w = v) → w = v)
32fveq2d 5125 . . . . . . . 8 ((z = u w = v) → (*Qw) = (*Qv))
43eleq1d 2103 . . . . . . 7 ((z = u w = v) → ((*Qw) (2ndA) ↔ (*Qv) (2ndA)))
51, 4anbi12d 442 . . . . . 6 ((z = u w = v) → ((z <Q w (*Qw) (2ndA)) ↔ (u <Q v (*Qv) (2ndA))))
65cbvexdva 1801 . . . . 5 (z = u → (w(z <Q w (*Qw) (2ndA)) ↔ v(u <Q v (*Qv) (2ndA))))
76cbvabv 2158 . . . 4 {zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))} = {uv(u <Q v (*Qv) (2ndA))}
8 simpl 102 . . . . . . . 8 ((z = u w = v) → z = u)
92, 8breq12d 3768 . . . . . . 7 ((z = u w = v) → (w <Q zv <Q u))
103eleq1d 2103 . . . . . . 7 ((z = u w = v) → ((*Qw) (1stA) ↔ (*Qv) (1stA)))
119, 10anbi12d 442 . . . . . 6 ((z = u w = v) → ((w <Q z (*Qw) (1stA)) ↔ (v <Q u (*Qv) (1stA))))
1211cbvexdva 1801 . . . . 5 (z = u → (w(w <Q z (*Qw) (1stA)) ↔ v(v <Q u (*Qv) (1stA))))
1312cbvabv 2158 . . . 4 {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))} = {uv(v <Q u (*Qv) (1stA))}
147, 13opeq12i 3545 . . 3 ⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩ = ⟨{uv(u <Q v (*Qv) (2ndA))}, {uv(v <Q u (*Qv) (1stA))}⟩
1514recexprlempr 6602 . 2 (A P → ⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩ P)
1614recexprlemex 6607 . 2 (A P → (A ·P ⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩) = 1P)
17 oveq2 5463 . . . 4 (x = ⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩ → (A ·P x) = (A ·P ⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩))
1817eqeq1d 2045 . . 3 (x = ⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩ → ((A ·P x) = 1P ↔ (A ·P ⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩) = 1P))
1918rspcev 2650 . 2 ((⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩ P (A ·P ⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩) = 1P) → x P (A ·P x) = 1P)
2015, 16, 19syl2anc 391 1 (A Px P (A ·P x) = 1P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023  wrex 2301  cop 3370   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  *Qcrq 6268   <Q cltq 6269  Pcnp 6275  1Pc1p 6276   ·P cmp 6278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-imp 6451
This theorem is referenced by:  ltmprr  6612  recexgt0sr  6661
  Copyright terms: Public domain W3C validator