ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexpr Structured version   GIF version

Theorem recexpr 6459
Description: The reciprocal of a positive real exists. Part of Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
recexpr (A Px P (A ·P x) = 1P)
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem recexpr
Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq12 3732 . . . . . . 7 ((z = u w = v) → (z <Q wu <Q v))
2 simpr 103 . . . . . . . . 9 ((z = u w = v) → w = v)
32fveq2d 5095 . . . . . . . 8 ((z = u w = v) → (*Qw) = (*Qv))
43eleq1d 2079 . . . . . . 7 ((z = u w = v) → ((*Qw) (2ndA) ↔ (*Qv) (2ndA)))
51, 4anbi12d 442 . . . . . 6 ((z = u w = v) → ((z <Q w (*Qw) (2ndA)) ↔ (u <Q v (*Qv) (2ndA))))
65cbvexdva 1777 . . . . 5 (z = u → (w(z <Q w (*Qw) (2ndA)) ↔ v(u <Q v (*Qv) (2ndA))))
76cbvabv 2134 . . . 4 {zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))} = {uv(u <Q v (*Qv) (2ndA))}
8 simpl 102 . . . . . . . 8 ((z = u w = v) → z = u)
92, 8breq12d 3740 . . . . . . 7 ((z = u w = v) → (w <Q zv <Q u))
103eleq1d 2079 . . . . . . 7 ((z = u w = v) → ((*Qw) (1stA) ↔ (*Qv) (1stA)))
119, 10anbi12d 442 . . . . . 6 ((z = u w = v) → ((w <Q z (*Qw) (1stA)) ↔ (v <Q u (*Qv) (1stA))))
1211cbvexdva 1777 . . . . 5 (z = u → (w(w <Q z (*Qw) (1stA)) ↔ v(v <Q u (*Qv) (1stA))))
1312cbvabv 2134 . . . 4 {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))} = {uv(v <Q u (*Qv) (1stA))}
147, 13opeq12i 3517 . . 3 ⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩ = ⟨{uv(u <Q v (*Qv) (2ndA))}, {uv(v <Q u (*Qv) (1stA))}⟩
1514recexprlempr 6453 . 2 (A P → ⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩ P)
1614recexprlemex 6458 . 2 (A P → (A ·P ⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩) = 1P)
17 oveq2 5432 . . . 4 (x = ⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩ → (A ·P x) = (A ·P ⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩))
1817eqeq1d 2021 . . 3 (x = ⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩ → ((A ·P x) = 1P ↔ (A ·P ⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩) = 1P))
1918rspcev 2624 . 2 ((⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩ P (A ·P ⟨{zw(z <Q w (*Qw) (2ndA))}, {zw(w <Q z (*Qw) (1stA))}⟩) = 1P) → x P (A ·P x) = 1P)
2015, 16, 19syl2anc 391 1 (A Px P (A ·P x) = 1P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1223  wex 1354   wcel 1366  {cab 1999  wrex 2276  cop 3342   class class class wbr 3727  cfv 4817  (class class class)co 5424  1st c1st 5676  2nd c2nd 5677  *Qcrq 6130   <Q cltq 6131  Pcnp 6137  1Pc1p 6138   ·P cmp 6140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-po 3996  df-iso 3997  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-1o 5904  df-2o 5905  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-lti 6153  df-plpq 6189  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-mqqs 6195  df-1nqqs 6196  df-rq 6197  df-ltnqqs 6198  df-enq0 6265  df-nq0 6266  df-0nq0 6267  df-plq0 6268  df-mq0 6269  df-inp 6306  df-i1p 6307  df-imp 6309
This theorem is referenced by:  ltmprr  6463  recexgt0sr  6511
  Copyright terms: Public domain W3C validator