ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexprlem1ssl Structured version   GIF version

Theorem recexprlem1ssl 6461
Description: The lower cut of one is a subset of the lower cut of A ·P B. Lemma for recexpr 6466. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlem1ssl (A P → (1st ‘1P) ⊆ (1st ‘(A ·P B)))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem recexprlem1ssl
Dummy variables z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1prl 6399 . . . 4 (1st ‘1P) = {ww <Q 1Q}
21abeq2i 2126 . . 3 (w (1st ‘1P) ↔ w <Q 1Q)
3 rec1nq 6248 . . . . . . 7 (*Q‘1Q) = 1Q
4 ltrnqi 6272 . . . . . . 7 (w <Q 1Q → (*Q‘1Q) <Q (*Qw))
53, 4syl5eqbrr 3768 . . . . . 6 (w <Q 1Q → 1Q <Q (*Qw))
6 prop 6323 . . . . . . 7 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
7 prmuloc2 6405 . . . . . . 7 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P 1Q <Q (*Qw)) → v (1stA)(v ·Q (*Qw)) (2ndA))
86, 7sylan 267 . . . . . 6 ((A P 1Q <Q (*Qw)) → v (1stA)(v ·Q (*Qw)) (2ndA))
95, 8sylan2 270 . . . . 5 ((A P w <Q 1Q) → v (1stA)(v ·Q (*Qw)) (2ndA))
10 prnmaxl 6336 . . . . . . . 8 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P v (1stA)) → z (1stA)v <Q z)
116, 10sylan 267 . . . . . . 7 ((A P v (1stA)) → z (1stA)v <Q z)
1211ad2ant2r 466 . . . . . 6 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → z (1stA)v <Q z)
13 elprnql 6329 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P v (1stA)) → v Q)
146, 13sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((A P v (1stA)) → v Q)
1514ad2ant2r 466 . . . . . . . . . . . 12 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → v Q)
16153adant3 910 . . . . . . . . . . 11 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → v Q)
17 simp1r 915 . . . . . . . . . . . 12 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → w <Q 1Q)
18 ltrelnq 6218 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q ⊆ (Q × Q)
1918brel 4315 . . . . . . . . . . . . 13 (w <Q 1Q → (w Q 1Q Q))
2019simpld 105 . . . . . . . . . . . 12 (w <Q 1Qw Q)
2117, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → w Q)
22 simp3 892 . . . . . . . . . . 11 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → v <Q z)
23 simp2r 917 . . . . . . . . . . 11 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → (v ·Q (*Qw)) (2ndA))
24 simpr 103 . . . . . . . . . . . 12 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA)))
25 ltrnqi 6272 . . . . . . . . . . . . . 14 (v <Q z → (*Qz) <Q (*Qv))
26 ltmnqg 6254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f Q g Q Q) → (f <Q g ↔ ( ·Q f) <Q ( ·Q g)))
2726adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) (f Q g Q Q)) → (f <Q g ↔ ( ·Q f) <Q ( ·Q g)))
28 simprl 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → v <Q z)
2918brel 4315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (v <Q z → (v Q z Q))
3029simprd 107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (v <Q zz Q)
31 recclnq 6245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (z Q → (*Qz) Q)
3228, 30, 313syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (*Qz) Q)
33 recclnq 6245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (v Q → (*Qv) Q)
3433ad2antrr 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (*Qv) Q)
35 simplr 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → w Q)
36 mulcomnqg 6236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f Q g Q) → (f ·Q g) = (g ·Q f))
3736adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) (f Q g Q)) → (f ·Q g) = (g ·Q f))
3827, 32, 34, 35, 37caovord2d 5589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → ((*Qz) <Q (*Qv) ↔ ((*Qz) ·Q w) <Q ((*Qv) ·Q w)))
3925, 38syl5ib 143 . . . . . . . . . . . . 13 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (v <Q z → ((*Qz) ·Q w) <Q ((*Qv) ·Q w)))
40 1nq 6219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1Q Q
41 mulidnq 6242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1Q Q → (1Q ·Q 1Q) = 1Q)
4240, 41ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1Q ·Q 1Q) = 1Q
43 mulcomnqg 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((v Q (*Qv) Q) → (v ·Q (*Qv)) = ((*Qv) ·Q v))
4433, 43mpdan 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (v Q → (v ·Q (*Qv)) = ((*Qv) ·Q v))
45 recidnq 6246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (v Q → (v ·Q (*Qv)) = 1Q)
4644, 45eqtr3d 2052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (v Q → ((*Qv) ·Q v) = 1Q)
47 recidnq 6246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (w Q → (w ·Q (*Qw)) = 1Q)
4846, 47oveqan12d 5451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((v Q w Q) → (((*Qv) ·Q v) ·Q (w ·Q (*Qw))) = (1Q ·Q 1Q))
4948adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (((*Qv) ·Q v) ·Q (w ·Q (*Qw))) = (1Q ·Q 1Q))
50 simpll 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → v Q)
51 mulassnqg 6237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((f Q g Q Q) → ((f ·Q g) ·Q ) = (f ·Q (g ·Q )))
5251adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) (f Q g Q Q)) → ((f ·Q g) ·Q ) = (f ·Q (g ·Q )))
53 recclnq 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (w Q → (*Qw) Q)
5435, 53syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (*Qw) Q)
55 mulclnq 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((f Q g Q) → (f ·Q g) Q)
5655adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) (f Q g Q)) → (f ·Q g) Q)
5734, 50, 35, 37, 52, 54, 56caov4d 5604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (((*Qv) ·Q v) ·Q (w ·Q (*Qw))) = (((*Qv) ·Q w) ·Q (v ·Q (*Qw))))
5849, 57eqtr3d 2052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (1Q ·Q 1Q) = (((*Qv) ·Q w) ·Q (v ·Q (*Qw))))
5942, 58syl5reqr 2065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (((*Qv) ·Q w) ·Q (v ·Q (*Qw))) = 1Q)
60 mulclnq 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((*Qv) Q w Q) → ((*Qv) ·Q w) Q)
6133, 60sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((v Q w Q) → ((*Qv) ·Q w) Q)
62 mulclnq 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((v Q (*Qw) Q) → (v ·Q (*Qw)) Q)
6353, 62sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((v Q w Q) → (v ·Q (*Qw)) Q)
64 recmulnqg 6244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((*Qv) ·Q w) Q (v ·Q (*Qw)) Q) → ((*Q‘((*Qv) ·Q w)) = (v ·Q (*Qw)) ↔ (((*Qv) ·Q w) ·Q (v ·Q (*Qw))) = 1Q))
6561, 63, 64syl2anc 393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((v Q w Q) → ((*Q‘((*Qv) ·Q w)) = (v ·Q (*Qw)) ↔ (((*Qv) ·Q w) ·Q (v ·Q (*Qw))) = 1Q))
6665adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → ((*Q‘((*Qv) ·Q w)) = (v ·Q (*Qw)) ↔ (((*Qv) ·Q w) ·Q (v ·Q (*Qw))) = 1Q))
6759, 66mpbird 156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (*Q‘((*Qv) ·Q w)) = (v ·Q (*Qw)))
6867eleq1d 2084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → ((*Q‘((*Qv) ·Q w)) (2ndA) ↔ (v ·Q (*Qw)) (2ndA)))
6968biimprd 147 . . . . . . . . . . . . 13 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → ((v ·Q (*Qw)) (2ndA) → (*Q‘((*Qv) ·Q w)) (2ndA)))
70 breq2 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (y = ((*Qv) ·Q w) → (((*Qz) ·Q w) <Q y ↔ ((*Qz) ·Q w) <Q ((*Qv) ·Q w)))
71 fveq2 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (y = ((*Qv) ·Q w) → (*Qy) = (*Q‘((*Qv) ·Q w)))
7271eleq1d 2084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (y = ((*Qv) ·Q w) → ((*Qy) (2ndA) ↔ (*Q‘((*Qv) ·Q w)) (2ndA)))
7370, 72anbi12d 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (y = ((*Qv) ·Q w) → ((((*Qz) ·Q w) <Q y (*Qy) (2ndA)) ↔ (((*Qz) ·Q w) <Q ((*Qv) ·Q w) (*Q‘((*Qv) ·Q w)) (2ndA))))
7473spcegv 2614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((*Qv) ·Q w) Q → ((((*Qz) ·Q w) <Q ((*Qv) ·Q w) (*Q‘((*Qv) ·Q w)) (2ndA)) → y(((*Qz) ·Q w) <Q y (*Qy) (2ndA))))
7561, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((v Q w Q) → ((((*Qz) ·Q w) <Q ((*Qv) ·Q w) (*Q‘((*Qv) ·Q w)) (2ndA)) → y(((*Qz) ·Q w) <Q y (*Qy) (2ndA))))
76 recexpr.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
7776recexprlemell 6450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((*Qz) ·Q w) (1stB) ↔ y(((*Qz) ·Q w) <Q y (*Qy) (2ndA)))
7875, 77syl6ibr 151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((v Q w Q) → ((((*Qz) ·Q w) <Q ((*Qv) ·Q w) (*Q‘((*Qv) ·Q w)) (2ndA)) → ((*Qz) ·Q w) (1stB)))
7978adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → ((((*Qz) ·Q w) <Q ((*Qv) ·Q w) (*Q‘((*Qv) ·Q w)) (2ndA)) → ((*Qz) ·Q w) (1stB)))
8039, 69, 79syl2and 279 . . . . . . . . . . . 12 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → ((v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) → ((*Qz) ·Q w) (1stB)))
8124, 80mpd 13 . . . . . . . . . . 11 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → ((*Qz) ·Q w) (1stB))
8216, 21, 22, 23, 81syl22anc 1120 . . . . . . . . . 10 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → ((*Qz) ·Q w) (1stB))
83303ad2ant3 913 . . . . . . . . . . 11 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → z Q)
84 mulidnq 6242 . . . . . . . . . . . . . 14 (w Q → (w ·Q 1Q) = w)
85 mulcomnqg 6236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((w Q 1Q Q) → (w ·Q 1Q) = (1Q ·Q w))
8640, 85mpan2 403 . . . . . . . . . . . . . 14 (w Q → (w ·Q 1Q) = (1Q ·Q w))
8784, 86eqtr3d 2052 . . . . . . . . . . . . 13 (w Qw = (1Q ·Q w))
8887adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((z Q w Q) → w = (1Q ·Q w))
89 recidnq 6246 . . . . . . . . . . . . . 14 (z Q → (z ·Q (*Qz)) = 1Q)
9089oveq1d 5447 . . . . . . . . . . . . 13 (z Q → ((z ·Q (*Qz)) ·Q w) = (1Q ·Q w))
9190adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((z Q w Q) → ((z ·Q (*Qz)) ·Q w) = (1Q ·Q w))
92 mulassnqg 6237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z Q (*Qz) Q w Q) → ((z ·Q (*Qz)) ·Q w) = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
9331, 92syl3an2 1153 . . . . . . . . . . . . 13 ((z Q z Q w Q) → ((z ·Q (*Qz)) ·Q w) = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
94933anidm12 1176 . . . . . . . . . . . 12 ((z Q w Q) → ((z ·Q (*Qz)) ·Q w) = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
9588, 91, 943eqtr2d 2056 . . . . . . . . . . 11 ((z Q w Q) → w = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
9683, 21, 95syl2anc 393 . . . . . . . . . 10 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → w = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
97 oveq2 5440 . . . . . . . . . . . 12 (x = ((*Qz) ·Q w) → (z ·Q x) = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
9897eqeq2d 2029 . . . . . . . . . . 11 (x = ((*Qz) ·Q w) → (w = (z ·Q x) ↔ w = (z ·Q ((*Qz) ·Q w))))
9998rspcev 2629 . . . . . . . . . 10 ((((*Qz) ·Q w) (1stB) w = (z ·Q ((*Qz) ·Q w))) → x (1stB)w = (z ·Q x))
10082, 96, 99syl2anc 393 . . . . . . . . 9 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → x (1stB)w = (z ·Q x))
1011003expia 1090 . . . . . . . 8 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (v <Q zx (1stB)w = (z ·Q x)))
102101reximdv 2394 . . . . . . 7 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (z (1stA)v <Q zz (1stA)x (1stB)w = (z ·Q x)))
10376recexprlempr 6460 . . . . . . . . 9 (A PB P)
104 df-imp 6317 . . . . . . . . . 10 ·P = (y P, w P ↦ ⟨{u Qf Q g Q (f (1sty) g (1stw) u = (f ·Q g))}, {u Qf Q g Q (f (2ndy) g (2ndw) u = (f ·Q g))}⟩)
105104, 55genpelvl 6360 . . . . . . . . 9 ((A P B P) → (w (1st ‘(A ·P B)) ↔ z (1stA)x (1stB)w = (z ·Q x)))
106103, 105mpdan 400 . . . . . . . 8 (A P → (w (1st ‘(A ·P B)) ↔ z (1stA)x (1stB)w = (z ·Q x)))
107106ad2antrr 460 . . . . . . 7 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (w (1st ‘(A ·P B)) ↔ z (1stA)x (1stB)w = (z ·Q x)))
108102, 107sylibrd 158 . . . . . 6 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (z (1stA)v <Q zw (1st ‘(A ·P B))))
10912, 108mpd 13 . . . . 5 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → w (1st ‘(A ·P B)))
1109, 109rexlimddv 2411 . . . 4 ((A P w <Q 1Q) → w (1st ‘(A ·P B)))
111110ex 108 . . 3 (A P → (w <Q 1Qw (1st ‘(A ·P B))))
1122, 111syl5bi 141 . 2 (A P → (w (1st ‘1P) → w (1st ‘(A ·P B))))
113112ssrdv 2924 1 (A P → (1st ‘1P) ⊆ (1st ‘(A ·P B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 871   = wceq 1226  wex 1358   wcel 1370  {cab 2004  wrex 2281  wss 2890  cop 3349   class class class wbr 3734  cfv 4825  (class class class)co 5432  1st c1st 5684  2nd c2nd 5685  Qcnq 6134  1Qc1q 6135   ·Q cmq 6137  *Qcrq 6138   <Q cltq 6139  Pcnp 6145  1Pc1p 6146   ·P cmp 6148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-po 4003  df-iso 4004  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-1o 5912  df-2o 5913  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-pli 6159  df-mi 6160  df-lti 6161  df-plpq 6197  df-mpq 6198  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-plqqs 6202  df-mqqs 6203  df-1nqqs 6204  df-rq 6205  df-ltnqqs 6206  df-enq0 6273  df-nq0 6274  df-0nq0 6275  df-plq0 6276  df-mq0 6277  df-inp 6314  df-i1p 6315  df-imp 6317
This theorem is referenced by:  recexprlemex  6465
  Copyright terms: Public domain W3C validator