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Theorem recexprlem1ssl 6603
Description: The lower cut of one is a subset of the lower cut of A ·P B. Lemma for recexpr 6608. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlem1ssl (A P → (1st ‘1P) ⊆ (1st ‘(A ·P B)))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem recexprlem1ssl
Dummy variables z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1prl 6535 . . . 4 (1st ‘1P) = {ww <Q 1Q}
21abeq2i 2145 . . 3 (w (1st ‘1P) ↔ w <Q 1Q)
3 rec1nq 6379 . . . . . . 7 (*Q‘1Q) = 1Q
4 ltrnqi 6404 . . . . . . 7 (w <Q 1Q → (*Q‘1Q) <Q (*Qw))
53, 4syl5eqbrr 3789 . . . . . 6 (w <Q 1Q → 1Q <Q (*Qw))
6 prop 6457 . . . . . . 7 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
7 prmuloc2 6546 . . . . . . 7 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P 1Q <Q (*Qw)) → v (1stA)(v ·Q (*Qw)) (2ndA))
86, 7sylan 267 . . . . . 6 ((A P 1Q <Q (*Qw)) → v (1stA)(v ·Q (*Qw)) (2ndA))
95, 8sylan2 270 . . . . 5 ((A P w <Q 1Q) → v (1stA)(v ·Q (*Qw)) (2ndA))
10 prnmaxl 6470 . . . . . . . 8 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P v (1stA)) → z (1stA)v <Q z)
116, 10sylan 267 . . . . . . 7 ((A P v (1stA)) → z (1stA)v <Q z)
1211ad2ant2r 478 . . . . . 6 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → z (1stA)v <Q z)
13 elprnql 6463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P v (1stA)) → v Q)
146, 13sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((A P v (1stA)) → v Q)
1514ad2ant2r 478 . . . . . . . . . . . 12 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → v Q)
16153adant3 923 . . . . . . . . . . 11 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → v Q)
17 simp1r 928 . . . . . . . . . . . 12 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → w <Q 1Q)
18 ltrelnq 6349 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q ⊆ (Q × Q)
1918brel 4335 . . . . . . . . . . . . 13 (w <Q 1Q → (w Q 1Q Q))
2019simpld 105 . . . . . . . . . . . 12 (w <Q 1Qw Q)
2117, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → w Q)
22 simp3 905 . . . . . . . . . . 11 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → v <Q z)
23 simp2r 930 . . . . . . . . . . 11 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → (v ·Q (*Qw)) (2ndA))
24 simpr 103 . . . . . . . . . . . 12 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA)))
25 ltrnqi 6404 . . . . . . . . . . . . . 14 (v <Q z → (*Qz) <Q (*Qv))
26 ltmnqg 6385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f Q g Q Q) → (f <Q g ↔ ( ·Q f) <Q ( ·Q g)))
2726adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) (f Q g Q Q)) → (f <Q g ↔ ( ·Q f) <Q ( ·Q g)))
28 simprl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → v <Q z)
2918brel 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (v <Q z → (v Q z Q))
3029simprd 107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (v <Q zz Q)
31 recclnq 6376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (z Q → (*Qz) Q)
3228, 30, 313syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (*Qz) Q)
33 recclnq 6376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (v Q → (*Qv) Q)
3433ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (*Qv) Q)
35 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → w Q)
36 mulcomnqg 6367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f Q g Q) → (f ·Q g) = (g ·Q f))
3736adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) (f Q g Q)) → (f ·Q g) = (g ·Q f))
3827, 32, 34, 35, 37caovord2d 5612 . . . . . . . . . . . . . 14 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → ((*Qz) <Q (*Qv) ↔ ((*Qz) ·Q w) <Q ((*Qv) ·Q w)))
3925, 38syl5ib 143 . . . . . . . . . . . . 13 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (v <Q z → ((*Qz) ·Q w) <Q ((*Qv) ·Q w)))
40 1nq 6350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1Q Q
41 mulidnq 6373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1Q Q → (1Q ·Q 1Q) = 1Q)
4240, 41ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1Q ·Q 1Q) = 1Q
43 mulcomnqg 6367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((v Q (*Qv) Q) → (v ·Q (*Qv)) = ((*Qv) ·Q v))
4433, 43mpdan 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (v Q → (v ·Q (*Qv)) = ((*Qv) ·Q v))
45 recidnq 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (v Q → (v ·Q (*Qv)) = 1Q)
4644, 45eqtr3d 2071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (v Q → ((*Qv) ·Q v) = 1Q)
47 recidnq 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (w Q → (w ·Q (*Qw)) = 1Q)
4846, 47oveqan12d 5474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((v Q w Q) → (((*Qv) ·Q v) ·Q (w ·Q (*Qw))) = (1Q ·Q 1Q))
4948adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (((*Qv) ·Q v) ·Q (w ·Q (*Qw))) = (1Q ·Q 1Q))
50 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → v Q)
51 mulassnqg 6368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((f Q g Q Q) → ((f ·Q g) ·Q ) = (f ·Q (g ·Q )))
5251adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) (f Q g Q Q)) → ((f ·Q g) ·Q ) = (f ·Q (g ·Q )))
53 recclnq 6376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (w Q → (*Qw) Q)
5435, 53syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (*Qw) Q)
55 mulclnq 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((f Q g Q) → (f ·Q g) Q)
5655adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) (f Q g Q)) → (f ·Q g) Q)
5734, 50, 35, 37, 52, 54, 56caov4d 5627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (((*Qv) ·Q v) ·Q (w ·Q (*Qw))) = (((*Qv) ·Q w) ·Q (v ·Q (*Qw))))
5849, 57eqtr3d 2071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (1Q ·Q 1Q) = (((*Qv) ·Q w) ·Q (v ·Q (*Qw))))
5942, 58syl5reqr 2084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (((*Qv) ·Q w) ·Q (v ·Q (*Qw))) = 1Q)
60 mulclnq 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((*Qv) Q w Q) → ((*Qv) ·Q w) Q)
6133, 60sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((v Q w Q) → ((*Qv) ·Q w) Q)
62 mulclnq 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((v Q (*Qw) Q) → (v ·Q (*Qw)) Q)
6353, 62sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((v Q w Q) → (v ·Q (*Qw)) Q)
64 recmulnqg 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((*Qv) ·Q w) Q (v ·Q (*Qw)) Q) → ((*Q‘((*Qv) ·Q w)) = (v ·Q (*Qw)) ↔ (((*Qv) ·Q w) ·Q (v ·Q (*Qw))) = 1Q))
6561, 63, 64syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((v Q w Q) → ((*Q‘((*Qv) ·Q w)) = (v ·Q (*Qw)) ↔ (((*Qv) ·Q w) ·Q (v ·Q (*Qw))) = 1Q))
6665adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → ((*Q‘((*Qv) ·Q w)) = (v ·Q (*Qw)) ↔ (((*Qv) ·Q w) ·Q (v ·Q (*Qw))) = 1Q))
6759, 66mpbird 156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (*Q‘((*Qv) ·Q w)) = (v ·Q (*Qw)))
6867eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . 14 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → ((*Q‘((*Qv) ·Q w)) (2ndA) ↔ (v ·Q (*Qw)) (2ndA)))
6968biimprd 147 . . . . . . . . . . . . 13 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → ((v ·Q (*Qw)) (2ndA) → (*Q‘((*Qv) ·Q w)) (2ndA)))
70 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (y = ((*Qv) ·Q w) → (((*Qz) ·Q w) <Q y ↔ ((*Qz) ·Q w) <Q ((*Qv) ·Q w)))
71 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (y = ((*Qv) ·Q w) → (*Qy) = (*Q‘((*Qv) ·Q w)))
7271eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (y = ((*Qv) ·Q w) → ((*Qy) (2ndA) ↔ (*Q‘((*Qv) ·Q w)) (2ndA)))
7370, 72anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (y = ((*Qv) ·Q w) → ((((*Qz) ·Q w) <Q y (*Qy) (2ndA)) ↔ (((*Qz) ·Q w) <Q ((*Qv) ·Q w) (*Q‘((*Qv) ·Q w)) (2ndA))))
7473spcegv 2635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((*Qv) ·Q w) Q → ((((*Qz) ·Q w) <Q ((*Qv) ·Q w) (*Q‘((*Qv) ·Q w)) (2ndA)) → y(((*Qz) ·Q w) <Q y (*Qy) (2ndA))))
7561, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((v Q w Q) → ((((*Qz) ·Q w) <Q ((*Qv) ·Q w) (*Q‘((*Qv) ·Q w)) (2ndA)) → y(((*Qz) ·Q w) <Q y (*Qy) (2ndA))))
76 recexpr.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
7776recexprlemell 6592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((*Qz) ·Q w) (1stB) ↔ y(((*Qz) ·Q w) <Q y (*Qy) (2ndA)))
7875, 77syl6ibr 151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((v Q w Q) → ((((*Qz) ·Q w) <Q ((*Qv) ·Q w) (*Q‘((*Qv) ·Q w)) (2ndA)) → ((*Qz) ·Q w) (1stB)))
7978adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → ((((*Qz) ·Q w) <Q ((*Qv) ·Q w) (*Q‘((*Qv) ·Q w)) (2ndA)) → ((*Qz) ·Q w) (1stB)))
8039, 69, 79syl2and 279 . . . . . . . . . . . 12 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → ((v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) → ((*Qz) ·Q w) (1stB)))
8124, 80mpd 13 . . . . . . . . . . 11 (((v Q w Q) (v <Q z (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → ((*Qz) ·Q w) (1stB))
8216, 21, 22, 23, 81syl22anc 1135 . . . . . . . . . 10 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → ((*Qz) ·Q w) (1stB))
83303ad2ant3 926 . . . . . . . . . . 11 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → z Q)
84 mulidnq 6373 . . . . . . . . . . . . . 14 (w Q → (w ·Q 1Q) = w)
85 mulcomnqg 6367 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((w Q 1Q Q) → (w ·Q 1Q) = (1Q ·Q w))
8640, 85mpan2 401 . . . . . . . . . . . . . 14 (w Q → (w ·Q 1Q) = (1Q ·Q w))
8784, 86eqtr3d 2071 . . . . . . . . . . . . 13 (w Qw = (1Q ·Q w))
8887adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((z Q w Q) → w = (1Q ·Q w))
89 recidnq 6377 . . . . . . . . . . . . . 14 (z Q → (z ·Q (*Qz)) = 1Q)
9089oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . 13 (z Q → ((z ·Q (*Qz)) ·Q w) = (1Q ·Q w))
9190adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((z Q w Q) → ((z ·Q (*Qz)) ·Q w) = (1Q ·Q w))
92 mulassnqg 6368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z Q (*Qz) Q w Q) → ((z ·Q (*Qz)) ·Q w) = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
9331, 92syl3an2 1168 . . . . . . . . . . . . 13 ((z Q z Q w Q) → ((z ·Q (*Qz)) ·Q w) = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
94933anidm12 1191 . . . . . . . . . . . 12 ((z Q w Q) → ((z ·Q (*Qz)) ·Q w) = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
9588, 91, 943eqtr2d 2075 . . . . . . . . . . 11 ((z Q w Q) → w = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
9683, 21, 95syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → w = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
97 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . 12 (x = ((*Qz) ·Q w) → (z ·Q x) = (z ·Q ((*Qz) ·Q w)))
9897eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . 11 (x = ((*Qz) ·Q w) → (w = (z ·Q x) ↔ w = (z ·Q ((*Qz) ·Q w))))
9998rspcev 2650 . . . . . . . . . 10 ((((*Qz) ·Q w) (1stB) w = (z ·Q ((*Qz) ·Q w))) → x (1stB)w = (z ·Q x))
10082, 96, 99syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA)) v <Q z) → x (1stB)w = (z ·Q x))
1011003expia 1105 . . . . . . . 8 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (v <Q zx (1stB)w = (z ·Q x)))
102101reximdv 2414 . . . . . . 7 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (z (1stA)v <Q zz (1stA)x (1stB)w = (z ·Q x)))
10376recexprlempr 6602 . . . . . . . . 9 (A PB P)
104 df-imp 6451 . . . . . . . . . 10 ·P = (y P, w P ↦ ⟨{u Qf Q g Q (f (1sty) g (1stw) u = (f ·Q g))}, {u Qf Q g Q (f (2ndy) g (2ndw) u = (f ·Q g))}⟩)
105104, 55genpelvl 6494 . . . . . . . . 9 ((A P B P) → (w (1st ‘(A ·P B)) ↔ z (1stA)x (1stB)w = (z ·Q x)))
106103, 105mpdan 398 . . . . . . . 8 (A P → (w (1st ‘(A ·P B)) ↔ z (1stA)x (1stB)w = (z ·Q x)))
107106ad2antrr 457 . . . . . . 7 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (w (1st ‘(A ·P B)) ↔ z (1stA)x (1stB)w = (z ·Q x)))
108102, 107sylibrd 158 . . . . . 6 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → (z (1stA)v <Q zw (1st ‘(A ·P B))))
10912, 108mpd 13 . . . . 5 (((A P w <Q 1Q) (v (1stA) (v ·Q (*Qw)) (2ndA))) → w (1st ‘(A ·P B)))
1109, 109rexlimddv 2431 . . . 4 ((A P w <Q 1Q) → w (1st ‘(A ·P B)))
111110ex 108 . . 3 (A P → (w <Q 1Qw (1st ‘(A ·P B))))
1122, 111syl5bi 141 . 2 (A P → (w (1st ‘1P) → w (1st ‘(A ·P B))))
113112ssrdv 2945 1 (A P → (1st ‘1P) ⊆ (1st ‘(A ·P B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023  wrex 2301  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264  1Qc1q 6265   ·Q cmq 6267  *Qcrq 6268   <Q cltq 6269  Pcnp 6275  1Pc1p 6276   ·P cmp 6278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-imp 6451
This theorem is referenced by:  recexprlemex  6607
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