ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addextpr Structured version   GIF version

Theorem addextpr 6591
Description: Strong extensionality of addition (ordering version). This is similar to addext 7354 but for positive reals and based on less-than rather than apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
addextpr (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → ((A +P B)<P (𝐶 +P 𝐷) → (A<P 𝐶 B<P 𝐷)))

Proof of Theorem addextpr
Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addclpr 6520 . . . 4 ((A P B P) → (A +P B) P)
21adantr 261 . . 3 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → (A +P B) P)
3 addclpr 6520 . . . 4 ((𝐶 P 𝐷 P) → (𝐶 +P 𝐷) P)
43adantl 262 . . 3 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → (𝐶 +P 𝐷) P)
5 simprl 483 . . . 4 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → 𝐶 P)
6 simplr 482 . . . 4 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → B P)
7 addclpr 6520 . . . 4 ((𝐶 P B P) → (𝐶 +P B) P)
85, 6, 7syl2anc 391 . . 3 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → (𝐶 +P B) P)
9 ltsopr 6568 . . . 4 <P Or P
10 sowlin 4048 . . . 4 ((<P Or P ((A +P B) P (𝐶 +P 𝐷) P (𝐶 +P B) P)) → ((A +P B)<P (𝐶 +P 𝐷) → ((A +P B)<P (𝐶 +P B) (𝐶 +P B)<P (𝐶 +P 𝐷))))
119, 10mpan 400 . . 3 (((A +P B) P (𝐶 +P 𝐷) P (𝐶 +P B) P) → ((A +P B)<P (𝐶 +P 𝐷) → ((A +P B)<P (𝐶 +P B) (𝐶 +P B)<P (𝐶 +P 𝐷))))
122, 4, 8, 11syl3anc 1134 . 2 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → ((A +P B)<P (𝐶 +P 𝐷) → ((A +P B)<P (𝐶 +P B) (𝐶 +P B)<P (𝐶 +P 𝐷))))
13 simpll 481 . . . . 5 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → A P)
14 ltaprg 6590 . . . . 5 ((A P 𝐶 P B P) → (A<P 𝐶 ↔ (B +P A)<P (B +P 𝐶)))
1513, 5, 6, 14syl3anc 1134 . . . 4 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → (A<P 𝐶 ↔ (B +P A)<P (B +P 𝐶)))
16 addcomprg 6552 . . . . . . 7 ((f P g P) → (f +P g) = (g +P f))
1716adantl 262 . . . . . 6 ((((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) (f P g P)) → (f +P g) = (g +P f))
1817, 13, 6caovcomd 5599 . . . . 5 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → (A +P B) = (B +P A))
1917, 5, 6caovcomd 5599 . . . . 5 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → (𝐶 +P B) = (B +P 𝐶))
2018, 19breq12d 3768 . . . 4 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → ((A +P B)<P (𝐶 +P B) ↔ (B +P A)<P (B +P 𝐶)))
2115, 20bitr4d 180 . . 3 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → (A<P 𝐶 ↔ (A +P B)<P (𝐶 +P B)))
22 simprr 484 . . . 4 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → 𝐷 P)
23 ltaprg 6590 . . . 4 ((B P 𝐷 P 𝐶 P) → (B<P 𝐷 ↔ (𝐶 +P B)<P (𝐶 +P 𝐷)))
246, 22, 5, 23syl3anc 1134 . . 3 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → (B<P 𝐷 ↔ (𝐶 +P B)<P (𝐶 +P 𝐷)))
2521, 24orbi12d 706 . 2 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → ((A<P 𝐶 B<P 𝐷) ↔ ((A +P B)<P (𝐶 +P B) (𝐶 +P B)<P (𝐶 +P 𝐷))))
2612, 25sylibrd 158 1 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → ((A +P B)<P (𝐶 +P 𝐷) → (A<P 𝐶 B<P 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755   Or wor 4023  (class class class)co 5455  Pcnp 6275   +P cpp 6277  <P cltp 6279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-iplp 6450  df-iltp 6452
This theorem is referenced by:  mulextsr1lem  6666
  Copyright terms: Public domain W3C validator