ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addextpr GIF version

Theorem addextpr 6719
Description: Strong extensionality of addition (ordering version). This is similar to addext 7601 but for positive reals and based on less-than rather than apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
addextpr (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷) → (𝐴<P 𝐶𝐵<P 𝐷)))

Proof of Theorem addextpr
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addclpr 6635 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)
21adantr 261 . . 3 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)
3 addclpr 6635 . . . 4 ((𝐶P𝐷P) → (𝐶 +P 𝐷) ∈ P)
43adantl 262 . . 3 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → (𝐶 +P 𝐷) ∈ P)
5 simprl 483 . . . 4 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → 𝐶P)
6 simplr 482 . . . 4 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → 𝐵P)
7 addclpr 6635 . . . 4 ((𝐶P𝐵P) → (𝐶 +P 𝐵) ∈ P)
85, 6, 7syl2anc 391 . . 3 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → (𝐶 +P 𝐵) ∈ P)
9 ltsopr 6694 . . . 4 <P Or P
10 sowlin 4057 . . . 4 ((<P Or P ∧ ((𝐴 +P 𝐵) ∈ P ∧ (𝐶 +P 𝐷) ∈ P ∧ (𝐶 +P 𝐵) ∈ P)) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐵) ∨ (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷))))
119, 10mpan 400 . . 3 (((𝐴 +P 𝐵) ∈ P ∧ (𝐶 +P 𝐷) ∈ P ∧ (𝐶 +P 𝐵) ∈ P) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐵) ∨ (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷))))
122, 4, 8, 11syl3anc 1135 . 2 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐵) ∨ (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷))))
13 simpll 481 . . . . 5 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → 𝐴P)
14 ltaprg 6717 . . . . 5 ((𝐴P𝐶P𝐵P) → (𝐴<P 𝐶 ↔ (𝐵 +P 𝐴)<P (𝐵 +P 𝐶)))
1513, 5, 6, 14syl3anc 1135 . . . 4 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → (𝐴<P 𝐶 ↔ (𝐵 +P 𝐴)<P (𝐵 +P 𝐶)))
16 addcomprg 6676 . . . . . . 7 ((𝑓P𝑔P) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
1716adantl 262 . . . . . 6 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) ∧ (𝑓P𝑔P)) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
1817, 13, 6caovcomd 5657 . . . . 5 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴))
1917, 5, 6caovcomd 5657 . . . . 5 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → (𝐶 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐶))
2018, 19breq12d 3777 . . . 4 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐵) ↔ (𝐵 +P 𝐴)<P (𝐵 +P 𝐶)))
2115, 20bitr4d 180 . . 3 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → (𝐴<P 𝐶 ↔ (𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐵)))
22 simprr 484 . . . 4 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → 𝐷P)
23 ltaprg 6717 . . . 4 ((𝐵P𝐷P𝐶P) → (𝐵<P 𝐷 ↔ (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷)))
246, 22, 5, 23syl3anc 1135 . . 3 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → (𝐵<P 𝐷 ↔ (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷)))
2521, 24orbi12d 707 . 2 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → ((𝐴<P 𝐶𝐵<P 𝐷) ↔ ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐵) ∨ (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷))))
2612, 25sylibrd 158 1 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝐶P𝐷P)) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷) → (𝐴<P 𝐶𝐵<P 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98  wo 629  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393   class class class wbr 3764   Or wor 4032  (class class class)co 5512  Pcnp 6389   +P cpp 6391  <P cltp 6393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-iplp 6566  df-iltp 6568
This theorem is referenced by:  mulextsr1lem  6864
  Copyright terms: Public domain W3C validator