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Theorem recexprlemdisj 6458
 Description: B is disjoint. Lemma for recexpr 6466. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemdisj (A P𝑞 Q ¬ (𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)))
Distinct variable groups:   x,𝑞,y,A   B,𝑞,x,y

Proof of Theorem recexprlemdisj
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltsonq 6251 . . . . . 6 <Q Or Q
2 ltrelnq 6218 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
31, 2son2lpi 4644 . . . . 5 ¬ ((*Qz) <Q (*Qy) (*Qy) <Q (*Qz))
4 simprr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → (*Qz) (1stA))
5 simplr 470 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → (*Qy) (2ndA))
64, 5jca 290 . . . . . . . . 9 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → ((*Qz) (1stA) (*Qy) (2ndA)))
7 prop 6323 . . . . . . . . . . 11 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
8 prltlu 6335 . . . . . . . . . . 11 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P (*Qz) (1stA) (*Qy) (2ndA)) → (*Qz) <Q (*Qy))
97, 8syl3an1 1152 . . . . . . . . . 10 ((A P (*Qz) (1stA) (*Qy) (2ndA)) → (*Qz) <Q (*Qy))
1093expb 1089 . . . . . . . . 9 ((A P ((*Qz) (1stA) (*Qy) (2ndA))) → (*Qz) <Q (*Qy))
116, 10sylan2 270 . . . . . . . 8 ((A P ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA)))) → (*Qz) <Q (*Qy))
12 simprl 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → z <Q 𝑞)
13 simpll 469 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → 𝑞 <Q y)
141, 2sotri 4643 . . . . . . . . . . 11 ((z <Q 𝑞 𝑞 <Q y) → z <Q y)
1512, 13, 14syl2anc 393 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → z <Q y)
16 ltrnqi 6272 . . . . . . . . . 10 (z <Q y → (*Qy) <Q (*Qz))
1715, 16syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → (*Qy) <Q (*Qz))
1817adantl 262 . . . . . . . 8 ((A P ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA)))) → (*Qy) <Q (*Qz))
1911, 18jca 290 . . . . . . 7 ((A P ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA)))) → ((*Qz) <Q (*Qy) (*Qy) <Q (*Qz)))
2019ex 108 . . . . . 6 (A P → (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → ((*Qz) <Q (*Qy) (*Qy) <Q (*Qz))))
2120adantr 261 . . . . 5 ((A P 𝑞 Q) → (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → ((*Qz) <Q (*Qy) (*Qy) <Q (*Qz))))
223, 21mtoi 577 . . . 4 ((A P 𝑞 Q) → ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
2322alrimivv 1733 . . 3 ((A P 𝑞 Q) → yz ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
24 recexpr.1 . . . . . . . . 9 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
2524recexprlemell 6450 . . . . . . . 8 (𝑞 (1stB) ↔ y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)))
2624recexprlemelu 6451 . . . . . . . 8 (𝑞 (2ndB) ↔ y(y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA)))
2725, 26anbi12i 436 . . . . . . 7 ((𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)) ↔ (y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) y(y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA))))
28 breq1 3737 . . . . . . . . . 10 (y = z → (y <Q 𝑞z <Q 𝑞))
29 fveq2 5099 . . . . . . . . . . 11 (y = z → (*Qy) = (*Qz))
3029eleq1d 2084 . . . . . . . . . 10 (y = z → ((*Qy) (1stA) ↔ (*Qz) (1stA)))
3128, 30anbi12d 445 . . . . . . . . 9 (y = z → ((y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA)) ↔ (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
3231cbvexv 1773 . . . . . . . 8 (y(y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA)) ↔ z(z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA)))
3332anbi2i 433 . . . . . . 7 ((y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) y(y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA))) ↔ (y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) z(z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
3427, 33bitri 173 . . . . . 6 ((𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)) ↔ (y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) z(z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
35 eeanv 1785 . . . . . 6 (yz((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) ↔ (y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) z(z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
3634, 35bitr4i 176 . . . . 5 ((𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)) ↔ yz((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
3736notbii 581 . . . 4 (¬ (𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)) ↔ ¬ yz((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
38 alnex 1365 . . . . . 6 (z ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) ↔ ¬ z((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
3938albii 1335 . . . . 5 (yz ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) ↔ y ¬ z((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
40 alnex 1365 . . . . 5 (y ¬ z((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) ↔ ¬ yz((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
4139, 40bitri 173 . . . 4 (yz ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) ↔ ¬ yz((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
4237, 41bitr4i 176 . . 3 (¬ (𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)) ↔ yz ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
4323, 42sylibr 137 . 2 ((A P 𝑞 Q) → ¬ (𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)))
4443ralrimiva 2366 1 (A P𝑞 Q ¬ (𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97  ∀wal 1224   = wceq 1226  ∃wex 1358   ∈ wcel 1370  {cab 2004  ∀wral 2280  ⟨cop 3349   class class class wbr 3734  ‘cfv 4825  1st c1st 5684  2nd c2nd 5685  Qcnq 6134  *Qcrq 6138
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