recexprlemdisj - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem recexprlemdisj 6602

Description: B is disjoint. Lemma for recexpr 6610. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
recexpr.1	⊢ B = ⟨{x ∣ ∃y(x <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A))}, {x ∣ ∃y(y <_Q x ∧ (_Q‘y) ∈ (1^st ‘A))}⟩

**Assertion**
Ref	Expression
recexprlemdisj	⊢ (A ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘B) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘B)))

Distinct variable groups: x,𝑞,y,A B,𝑞,x,y

Proof of Theorem recexprlemdisj Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsonq 6382	. . . . . 6 ⊢ <_Q Or Q
2		ltrelnq 6349	. . . . . 6 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
3	1, 2	son2lpi 4664	. . . . 5 ⊢ ¬ ((_Q‘z) <_Q (_Q‘y) ∧ (_Q‘y) <_Q (_Q‘z))
4		simprr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))) → (*_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))
5		simplr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))) → (*_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A))
6	4, 5	jca 290	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))) → ((_Q‘z) ∈ (1^st ‘A) ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)))
7		prop 6458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ P → ⟨(1^st ‘A), (2^nd ‘A)⟩ ∈ P)
8		prltlu 6470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨(1^st ‘A), (2^nd ‘A)⟩ ∈ P ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A) ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) → (_Q‘z) <_Q (_Q‘y))
9	7, 8	syl3an1 1167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ P ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A) ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) → (_Q‘z) <_Q (_Q‘y))
10	9	3expb 1104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ P ∧ ((_Q‘z) ∈ (1^st ‘A) ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A))) → (_Q‘z) <_Q (_Q‘y))
11	6, 10	sylan2 270	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ P ∧ ((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A)))) → (_Q‘z) <_Q (_Q‘y))
12		simprl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))) → z <_Q 𝑞)
13		simpll 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))) → 𝑞 <_Q y)
14	1, 2	sotri 4663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z <_Q 𝑞 ∧ 𝑞 <_Q y) → z <_Q y)
15	12, 13, 14	syl2anc 391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))) → z <_Q y)
16		ltrnqi 6404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z <_Q y → (_Q‘y) <_Q (_Q‘z))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))) → (_Q‘y) <_Q (_Q‘z))
18	17	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ P ∧ ((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A)))) → (_Q‘y) <_Q (_Q‘z))
19	11, 18	jca 290	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ P ∧ ((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A)))) → ((_Q‘z) <_Q (_Q‘y) ∧ (_Q‘y) <_Q (_Q‘z)))
20	19	ex 108	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ P → (((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))) → ((_Q‘z) <_Q (_Q‘y) ∧ (_Q‘y) <_Q (_Q‘z))))
21	20	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))) → ((_Q‘z) <_Q (_Q‘y) ∧ (_Q‘y) <_Q (_Q‘z))))
22	3, 21	mtoi 589	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ ((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))))
23	22	alrimivv 1752	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∀y∀z ¬ ((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))))
24		recexpr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ B = ⟨{x ∣ ∃y(x <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A))}, {x ∣ ∃y(y <_Q x ∧ (_Q‘y) ∈ (1^st ‘A))}⟩
25	24	recexprlemell 6594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (1^st ‘B) ↔ ∃y(𝑞 <_Q y ∧ (*_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)))
26	24	recexprlemelu 6595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (2^nd ‘B) ↔ ∃y(y <_Q 𝑞 ∧ (*_Q‘y) ∈ (1^st ‘A)))
27	25, 26	anbi12i 433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (1^st ‘B) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘B)) ↔ (∃y(𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ ∃y(y <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘y) ∈ (1^st ‘A))))
28		breq1 3758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = z → (y <_Q 𝑞 ↔ z <_Q 𝑞))
29		fveq2 5121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = z → (_Q‘y) = (_Q‘z))
30	29	eleq1d 2103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = z → ((_Q‘y) ∈ (1^st ‘A) ↔ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A)))
31	28, 30	anbi12d 442	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = z → ((y <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘y) ∈ (1^st ‘A)) ↔ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))))
32	31	cbvexv 1792	. . . . . . . 8 ⊢ (∃y(y <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘y) ∈ (1^st ‘A)) ↔ ∃z(z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A)))
33	32	anbi2i 430	. . . . . . 7 ⊢ ((∃y(𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ ∃y(y <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘y) ∈ (1^st ‘A))) ↔ (∃y(𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ ∃z(z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))))
34	27, 33	bitri 173	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ (1^st ‘B) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘B)) ↔ (∃y(𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ ∃z(z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))))
35		eeanv 1804	. . . . . 6 ⊢ (∃y∃z((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))) ↔ (∃y(𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ ∃z(z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))))
36	34, 35	bitr4i 176	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (1^st ‘B) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘B)) ↔ ∃y∃z((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))))
37	36	notbii 593	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘B) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘B)) ↔ ¬ ∃y∃z((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))))
38		alnex 1385	. . . . . 6 ⊢ (∀z ¬ ((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))) ↔ ¬ ∃z((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))))
39	38	albii 1356	. . . . 5 ⊢ (∀y∀z ¬ ((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))) ↔ ∀y ¬ ∃z((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))))
40		alnex 1385	. . . . 5 ⊢ (∀y ¬ ∃z((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))) ↔ ¬ ∃y∃z((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))))
41	39, 40	bitri 173	. . . 4 ⊢ (∀y∀z ¬ ((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))) ↔ ¬ ∃y∃z((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))))
42	37, 41	bitr4i 176	. . 3 ⊢ (¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘B) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘B)) ↔ ∀y∀z ¬ ((𝑞 <_Q y ∧ (_Q‘y) ∈ (2^nd ‘A)) ∧ (z <_Q 𝑞 ∧ (_Q‘z) ∈ (1^st ‘A))))
43	23, 42	sylibr 137	. 2 ⊢ ((A ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘B) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘B)))
44	43	ralrimiva 2386	1 ⊢ (A ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ (1^st ‘B) ∧ 𝑞 ∈ (2^nd ‘B)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 97 ∀wal 1240 = wceq 1242 ∃wex 1378 ∈ wcel 1390 {cab 2023 ∀wral 2300 ⟨cop 3370 class class class wbr 3755 ‘cfv 4845 1^st c1st 5707 2^nd c2nd 5708 Qcnq 6264 *_Qcrq 6268 <_Q cltq 6269 Pcnp 6275

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 629 ax-5 1333 ax-7 1334 ax-gen 1335 ax-ie1 1379 ax-ie2 1380 ax-8 1392 ax-10 1393 ax-11 1394 ax-i12 1395 ax-bndl 1396 ax-4 1397 ax-13 1401 ax-14 1402 ax-17 1416 ax-i9 1420 ax-ial 1424 ax-i5r 1425 ax-ext 2019 ax-coll 3863 ax-sep 3866 ax-nul 3874 ax-pow 3918 ax-pr 3935 ax-un 4136 ax-setind 4220 ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-dc 742 df-3or 885 df-3an 886 df-tru 1245 df-fal 1248 df-nf 1347 df-sb 1643 df-eu 1900 df-mo 1901 df-clab 2024 df-cleq 2030 df-clel 2033 df-nfc 2164 df-ne 2203 df-ral 2305 df-rex 2306 df-reu 2307 df-rab 2309 df-v 2553 df-sbc 2759 df-csb 2847 df-dif 2914 df-un 2916 df-in 2918 df-ss 2925 df-nul 3219 df-pw 3353 df-sn 3373 df-pr 3374 df-op 3376 df-uni 3572 df-int 3607 df-iun 3650 df-br 3756 df-opab 3810 df-mpt 3811 df-tr 3846 df-eprel 4017 df-id 4021 df-po 4024 df-iso 4025 df-iord 4069 df-on 4071 df-suc 4074 df-iom 4257 df-xp 4294 df-rel 4295 df-cnv 4296 df-co 4297 df-dm 4298 df-rn 4299 df-res 4300 df-ima 4301 df-iota 4810 df-fun 4847 df-fn 4848 df-f 4849 df-f1 4850 df-fo 4851 df-f1o 4852 df-fv 4853 df-ov 5458 df-oprab 5459 df-mpt2 5460 df-1st 5709 df-2nd 5710 df-recs 5861 df-irdg 5897 df-1o 5940 df-oadd 5944 df-omul 5945 df-er 6042 df-ec 6044 df-qs 6048 df-ni 6288 df-mi 6290 df-lti 6291 df-mpq 6329 df-enq 6331 df-nqqs 6332 df-mqqs 6334 df-1nqqs 6335 df-rq 6336 df-ltnqqs 6337 df-inp 6449

This theorem is referenced by: recexprlempr 6604

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