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Theorem recexprlemdisj 6600
Description: B is disjoint. Lemma for recexpr 6608. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemdisj (A P𝑞 Q ¬ (𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)))
Distinct variable groups:   x,𝑞,y,A   B,𝑞,x,y

Proof of Theorem recexprlemdisj
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltsonq 6382 . . . . . 6 <Q Or Q
2 ltrelnq 6349 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
31, 2son2lpi 4664 . . . . 5 ¬ ((*Qz) <Q (*Qy) (*Qy) <Q (*Qz))
4 simprr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → (*Qz) (1stA))
5 simplr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → (*Qy) (2ndA))
64, 5jca 290 . . . . . . . . 9 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → ((*Qz) (1stA) (*Qy) (2ndA)))
7 prop 6457 . . . . . . . . . . 11 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
8 prltlu 6469 . . . . . . . . . . 11 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P (*Qz) (1stA) (*Qy) (2ndA)) → (*Qz) <Q (*Qy))
97, 8syl3an1 1167 . . . . . . . . . 10 ((A P (*Qz) (1stA) (*Qy) (2ndA)) → (*Qz) <Q (*Qy))
1093expb 1104 . . . . . . . . 9 ((A P ((*Qz) (1stA) (*Qy) (2ndA))) → (*Qz) <Q (*Qy))
116, 10sylan2 270 . . . . . . . 8 ((A P ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA)))) → (*Qz) <Q (*Qy))
12 simprl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → z <Q 𝑞)
13 simpll 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → 𝑞 <Q y)
141, 2sotri 4663 . . . . . . . . . . 11 ((z <Q 𝑞 𝑞 <Q y) → z <Q y)
1512, 13, 14syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → z <Q y)
16 ltrnqi 6404 . . . . . . . . . 10 (z <Q y → (*Qy) <Q (*Qz))
1715, 16syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → (*Qy) <Q (*Qz))
1817adantl 262 . . . . . . . 8 ((A P ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA)))) → (*Qy) <Q (*Qz))
1911, 18jca 290 . . . . . . 7 ((A P ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA)))) → ((*Qz) <Q (*Qy) (*Qy) <Q (*Qz)))
2019ex 108 . . . . . 6 (A P → (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → ((*Qz) <Q (*Qy) (*Qy) <Q (*Qz))))
2120adantr 261 . . . . 5 ((A P 𝑞 Q) → (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → ((*Qz) <Q (*Qy) (*Qy) <Q (*Qz))))
223, 21mtoi 589 . . . 4 ((A P 𝑞 Q) → ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
2322alrimivv 1752 . . 3 ((A P 𝑞 Q) → yz ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
24 recexpr.1 . . . . . . . . 9 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
2524recexprlemell 6592 . . . . . . . 8 (𝑞 (1stB) ↔ y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)))
2624recexprlemelu 6593 . . . . . . . 8 (𝑞 (2ndB) ↔ y(y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA)))
2725, 26anbi12i 433 . . . . . . 7 ((𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)) ↔ (y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) y(y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA))))
28 breq1 3758 . . . . . . . . . 10 (y = z → (y <Q 𝑞z <Q 𝑞))
29 fveq2 5121 . . . . . . . . . . 11 (y = z → (*Qy) = (*Qz))
3029eleq1d 2103 . . . . . . . . . 10 (y = z → ((*Qy) (1stA) ↔ (*Qz) (1stA)))
3128, 30anbi12d 442 . . . . . . . . 9 (y = z → ((y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA)) ↔ (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
3231cbvexv 1792 . . . . . . . 8 (y(y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA)) ↔ z(z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA)))
3332anbi2i 430 . . . . . . 7 ((y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) y(y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA))) ↔ (y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) z(z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
3427, 33bitri 173 . . . . . 6 ((𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)) ↔ (y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) z(z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
35 eeanv 1804 . . . . . 6 (yz((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) ↔ (y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) z(z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
3634, 35bitr4i 176 . . . . 5 ((𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)) ↔ yz((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
3736notbii 593 . . . 4 (¬ (𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)) ↔ ¬ yz((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
38 alnex 1385 . . . . . 6 (z ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) ↔ ¬ z((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
3938albii 1356 . . . . 5 (yz ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) ↔ y ¬ z((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
40 alnex 1385 . . . . 5 (y ¬ z((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) ↔ ¬ yz((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
4139, 40bitri 173 . . . 4 (yz ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) ↔ ¬ yz((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
4237, 41bitr4i 176 . . 3 (¬ (𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)) ↔ yz ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
4323, 42sylibr 137 . 2 ((A P 𝑞 Q) → ¬ (𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)))
4443ralrimiva 2386 1 (A P𝑞 Q ¬ (𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023  wral 2300  cop 3370   class class class wbr 3755  cfv 4845  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264  *Qcrq 6268   <Q cltq 6269  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-inp 6448
This theorem is referenced by:  recexprlempr  6602
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