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Theorem recexprlemdisj 6458
Description: B is disjoint. Lemma for recexpr 6466. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemdisj (A P𝑞 Q ¬ (𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)))
Distinct variable groups:   x,𝑞,y,A   B,𝑞,x,y

Proof of Theorem recexprlemdisj
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltsonq 6251 . . . . . 6 <Q Or Q
2 ltrelnq 6218 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
31, 2son2lpi 4644 . . . . 5 ¬ ((*Qz) <Q (*Qy) (*Qy) <Q (*Qz))
4 simprr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → (*Qz) (1stA))
5 simplr 470 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → (*Qy) (2ndA))
64, 5jca 290 . . . . . . . . 9 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → ((*Qz) (1stA) (*Qy) (2ndA)))
7 prop 6323 . . . . . . . . . . 11 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
8 prltlu 6335 . . . . . . . . . . 11 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P (*Qz) (1stA) (*Qy) (2ndA)) → (*Qz) <Q (*Qy))
97, 8syl3an1 1152 . . . . . . . . . 10 ((A P (*Qz) (1stA) (*Qy) (2ndA)) → (*Qz) <Q (*Qy))
1093expb 1089 . . . . . . . . 9 ((A P ((*Qz) (1stA) (*Qy) (2ndA))) → (*Qz) <Q (*Qy))
116, 10sylan2 270 . . . . . . . 8 ((A P ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA)))) → (*Qz) <Q (*Qy))
12 simprl 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → z <Q 𝑞)
13 simpll 469 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → 𝑞 <Q y)
141, 2sotri 4643 . . . . . . . . . . 11 ((z <Q 𝑞 𝑞 <Q y) → z <Q y)
1512, 13, 14syl2anc 393 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → z <Q y)
16 ltrnqi 6272 . . . . . . . . . 10 (z <Q y → (*Qy) <Q (*Qz))
1715, 16syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → (*Qy) <Q (*Qz))
1817adantl 262 . . . . . . . 8 ((A P ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA)))) → (*Qy) <Q (*Qz))
1911, 18jca 290 . . . . . . 7 ((A P ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA)))) → ((*Qz) <Q (*Qy) (*Qy) <Q (*Qz)))
2019ex 108 . . . . . 6 (A P → (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → ((*Qz) <Q (*Qy) (*Qy) <Q (*Qz))))
2120adantr 261 . . . . 5 ((A P 𝑞 Q) → (((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) → ((*Qz) <Q (*Qy) (*Qy) <Q (*Qz))))
223, 21mtoi 577 . . . 4 ((A P 𝑞 Q) → ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
2322alrimivv 1733 . . 3 ((A P 𝑞 Q) → yz ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
24 recexpr.1 . . . . . . . . 9 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
2524recexprlemell 6450 . . . . . . . 8 (𝑞 (1stB) ↔ y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)))
2624recexprlemelu 6451 . . . . . . . 8 (𝑞 (2ndB) ↔ y(y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA)))
2725, 26anbi12i 436 . . . . . . 7 ((𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)) ↔ (y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) y(y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA))))
28 breq1 3737 . . . . . . . . . 10 (y = z → (y <Q 𝑞z <Q 𝑞))
29 fveq2 5099 . . . . . . . . . . 11 (y = z → (*Qy) = (*Qz))
3029eleq1d 2084 . . . . . . . . . 10 (y = z → ((*Qy) (1stA) ↔ (*Qz) (1stA)))
3128, 30anbi12d 445 . . . . . . . . 9 (y = z → ((y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA)) ↔ (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
3231cbvexv 1773 . . . . . . . 8 (y(y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA)) ↔ z(z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA)))
3332anbi2i 433 . . . . . . 7 ((y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) y(y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA))) ↔ (y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) z(z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
3427, 33bitri 173 . . . . . 6 ((𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)) ↔ (y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) z(z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
35 eeanv 1785 . . . . . 6 (yz((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) ↔ (y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) z(z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
3634, 35bitr4i 176 . . . . 5 ((𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)) ↔ yz((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
3736notbii 581 . . . 4 (¬ (𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)) ↔ ¬ yz((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
38 alnex 1365 . . . . . 6 (z ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) ↔ ¬ z((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
3938albii 1335 . . . . 5 (yz ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) ↔ y ¬ z((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
40 alnex 1365 . . . . 5 (y ¬ z((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) ↔ ¬ yz((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
4139, 40bitri 173 . . . 4 (yz ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))) ↔ ¬ yz((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
4237, 41bitr4i 176 . . 3 (¬ (𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)) ↔ yz ¬ ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) (z <Q 𝑞 (*Qz) (1stA))))
4323, 42sylibr 137 . 2 ((A P 𝑞 Q) → ¬ (𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)))
4443ralrimiva 2366 1 (A P𝑞 Q ¬ (𝑞 (1stB) 𝑞 (2ndB)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wal 1224   = wceq 1226  wex 1358   wcel 1370  {cab 2004  wral 2280  cop 3349   class class class wbr 3734  cfv 4825  1st c1st 5684  2nd c2nd 5685  Qcnq 6134  *Qcrq 6138   <Q cltq 6139  Pcnp 6145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-po 4003  df-iso 4004  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-1o 5912  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-mi 6160  df-lti 6161  df-mpq 6198  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-mqqs 6203  df-1nqqs 6204  df-rq 6205  df-ltnqqs 6206  df-inp 6314
This theorem is referenced by:  recexprlempr  6460
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