ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexprlemopl Structured version   GIF version

Theorem recexprlemopl 6597
Description: The lower cut of B is open. Lemma for recexpr 6610. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemopl ((A P 𝑞 Q 𝑞 (1stB)) → 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 (1stB)))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,x,y,A   B,𝑞,𝑟,x,y

Proof of Theorem recexprlemopl
StepHypRef Expression
1 recexpr.1 . . . 4 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
21recexprlemell 6594 . . 3 (𝑞 (1stB) ↔ y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)))
3 ltbtwnnqq 6398 . . . . . 6 (𝑞 <Q y𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 <Q y))
43biimpi 113 . . . . 5 (𝑞 <Q y𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 <Q y))
5 simpll 481 . . . . . . . 8 (((𝑞 <Q 𝑟 𝑟 <Q y) (*Qy) (2ndA)) → 𝑞 <Q 𝑟)
6 19.8a 1479 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 <Q y (*Qy) (2ndA)) → y(𝑟 <Q y (*Qy) (2ndA)))
71recexprlemell 6594 . . . . . . . . . 10 (𝑟 (1stB) ↔ y(𝑟 <Q y (*Qy) (2ndA)))
86, 7sylibr 137 . . . . . . . . 9 ((𝑟 <Q y (*Qy) (2ndA)) → 𝑟 (1stB))
98adantll 445 . . . . . . . 8 (((𝑞 <Q 𝑟 𝑟 <Q y) (*Qy) (2ndA)) → 𝑟 (1stB))
105, 9jca 290 . . . . . . 7 (((𝑞 <Q 𝑟 𝑟 <Q y) (*Qy) (2ndA)) → (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 (1stB)))
1110expcom 109 . . . . . 6 ((*Qy) (2ndA) → ((𝑞 <Q 𝑟 𝑟 <Q y) → (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 (1stB))))
1211reximdv 2414 . . . . 5 ((*Qy) (2ndA) → (𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 <Q y) → 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 (1stB))))
134, 12mpan9 265 . . . 4 ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) → 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 (1stB)))
1413exlimiv 1486 . . 3 (y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) → 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 (1stB)))
152, 14sylbi 114 . 2 (𝑞 (1stB) → 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 (1stB)))
16153ad2ant3 926 1 ((A P 𝑞 Q 𝑞 (1stB)) → 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 (1stB)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023  wrex 2301  cop 3370   class class class wbr 3755  cfv 4845  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264  *Qcrq 6268   <Q cltq 6269  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  recexprlemrnd  6601
  Copyright terms: Public domain W3C validator