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Theorem recexprlemss1l 6463
Description: The lower cut of A ·P B is a subset of the lower cut of one. Lemma for recexpr 6466. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemss1l (A P → (1st ‘(A ·P B)) ⊆ (1st ‘1P))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem recexprlemss1l
Dummy variables 𝑞 z w u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recexpr.1 . . . . . 6 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
21recexprlempr 6460 . . . . 5 (A PB P)
3 df-imp 6317 . . . . . 6 ·P = (y P, w P ↦ ⟨{u Qf Q g Q (f (1sty) g (1stw) u = (f ·Q g))}, {u Qf Q g Q (f (2ndy) g (2ndw) u = (f ·Q g))}⟩)
4 mulclnq 6229 . . . . . 6 ((f Q g Q) → (f ·Q g) Q)
53, 4genpelvl 6360 . . . . 5 ((A P B P) → (w (1st ‘(A ·P B)) ↔ z (1stA)𝑞 (1stB)w = (z ·Q 𝑞)))
62, 5mpdan 400 . . . 4 (A P → (w (1st ‘(A ·P B)) ↔ z (1stA)𝑞 (1stB)w = (z ·Q 𝑞)))
71recexprlemell 6450 . . . . . . . 8 (𝑞 (1stB) ↔ y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)))
8 ltrelnq 6218 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q ⊆ (Q × Q)
98brel 4315 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 <Q y → (𝑞 Q y Q))
109simprd 107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 <Q yy Q)
11 prop 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
12 elprnql 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P z (1stA)) → z Q)
1311, 12sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((A P z (1stA)) → z Q)
14 ltmnqi 6256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 <Q y z Q) → (z ·Q 𝑞) <Q (z ·Q y))
1514expcom 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (z Q → (𝑞 <Q y → (z ·Q 𝑞) <Q (z ·Q y)))
1613, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((A P z (1stA)) → (𝑞 <Q y → (z ·Q 𝑞) <Q (z ·Q y)))
1716adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((A P z (1stA)) y Q) → (𝑞 <Q y → (z ·Q 𝑞) <Q (z ·Q y)))
18 prltlu 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P z (1stA) (*Qy) (2ndA)) → z <Q (*Qy))
1911, 18syl3an1 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((A P z (1stA) (*Qy) (2ndA)) → z <Q (*Qy))
20193expia 1090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((A P z (1stA)) → ((*Qy) (2ndA) → z <Q (*Qy)))
2120adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A P z (1stA)) y Q) → ((*Qy) (2ndA) → z <Q (*Qy)))
22 ltmnqi 6256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((z <Q (*Qy) y Q) → (y ·Q z) <Q (y ·Q (*Qy)))
2322expcom 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (y Q → (z <Q (*Qy) → (y ·Q z) <Q (y ·Q (*Qy))))
2423adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((y Q z Q) → (z <Q (*Qy) → (y ·Q z) <Q (y ·Q (*Qy))))
25 mulcomnqg 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((y Q z Q) → (y ·Q z) = (z ·Q y))
26 recidnq 6246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (y Q → (y ·Q (*Qy)) = 1Q)
2726adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((y Q z Q) → (y ·Q (*Qy)) = 1Q)
2825, 27breq12d 3747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((y Q z Q) → ((y ·Q z) <Q (y ·Q (*Qy)) ↔ (z ·Q y) <Q 1Q))
2924, 28sylibd 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((y Q z Q) → (z <Q (*Qy) → (z ·Q y) <Q 1Q))
3029ancoms 255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((z Q y Q) → (z <Q (*Qy) → (z ·Q y) <Q 1Q))
3113, 30sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A P z (1stA)) y Q) → (z <Q (*Qy) → (z ·Q y) <Q 1Q))
3221, 31syld 40 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((A P z (1stA)) y Q) → ((*Qy) (2ndA) → (z ·Q y) <Q 1Q))
3317, 32anim12d 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((A P z (1stA)) y Q) → ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) → ((z ·Q 𝑞) <Q (z ·Q y) (z ·Q y) <Q 1Q)))
34 ltsonq 6251 . . . . . . . . . . . . . . 15 <Q Or Q
3534, 8sotri 4643 . . . . . . . . . . . . . 14 (((z ·Q 𝑞) <Q (z ·Q y) (z ·Q y) <Q 1Q) → (z ·Q 𝑞) <Q 1Q)
3633, 35syl6 29 . . . . . . . . . . . . 13 (((A P z (1stA)) y Q) → ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) → (z ·Q 𝑞) <Q 1Q))
3736exp4b 349 . . . . . . . . . . . 12 ((A P z (1stA)) → (y Q → (𝑞 <Q y → ((*Qy) (2ndA) → (z ·Q 𝑞) <Q 1Q))))
3810, 37syl5 28 . . . . . . . . . . 11 ((A P z (1stA)) → (𝑞 <Q y → (𝑞 <Q y → ((*Qy) (2ndA) → (z ·Q 𝑞) <Q 1Q))))
3938pm2.43d 44 . . . . . . . . . 10 ((A P z (1stA)) → (𝑞 <Q y → ((*Qy) (2ndA) → (z ·Q 𝑞) <Q 1Q)))
4039impd 242 . . . . . . . . 9 ((A P z (1stA)) → ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) → (z ·Q 𝑞) <Q 1Q))
4140exlimdv 1678 . . . . . . . 8 ((A P z (1stA)) → (y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) → (z ·Q 𝑞) <Q 1Q))
427, 41syl5bi 141 . . . . . . 7 ((A P z (1stA)) → (𝑞 (1stB) → (z ·Q 𝑞) <Q 1Q))
43 breq1 3737 . . . . . . . 8 (w = (z ·Q 𝑞) → (w <Q 1Q ↔ (z ·Q 𝑞) <Q 1Q))
4443biimprcd 149 . . . . . . 7 ((z ·Q 𝑞) <Q 1Q → (w = (z ·Q 𝑞) → w <Q 1Q))
4542, 44syl6 29 . . . . . 6 ((A P z (1stA)) → (𝑞 (1stB) → (w = (z ·Q 𝑞) → w <Q 1Q)))
4645expimpd 345 . . . . 5 (A P → ((z (1stA) 𝑞 (1stB)) → (w = (z ·Q 𝑞) → w <Q 1Q)))
4746rexlimdvv 2413 . . . 4 (A P → (z (1stA)𝑞 (1stB)w = (z ·Q 𝑞) → w <Q 1Q))
486, 47sylbid 139 . . 3 (A P → (w (1st ‘(A ·P B)) → w <Q 1Q))
49 1prl 6399 . . . 4 (1st ‘1P) = {ww <Q 1Q}
5049abeq2i 2126 . . 3 (w (1st ‘1P) ↔ w <Q 1Q)
5148, 50syl6ibr 151 . 2 (A P → (w (1st ‘(A ·P B)) → w (1st ‘1P)))
5251ssrdv 2924 1 (A P → (1st ‘(A ·P B)) ⊆ (1st ‘1P))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1226  wex 1358   wcel 1370  {cab 2004  wrex 2281  wss 2890  cop 3349   class class class wbr 3734  cfv 4825  (class class class)co 5432  1st c1st 5684  2nd c2nd 5685  Qcnq 6134  1Qc1q 6135   ·Q cmq 6137  *Qcrq 6138   <Q cltq 6139  Pcnp 6145  1Pc1p 6146   ·P cmp 6148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-po 4003  df-iso 4004  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-1o 5912  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-pli 6159  df-mi 6160  df-lti 6161  df-plpq 6197  df-mpq 6198  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-plqqs 6202  df-mqqs 6203  df-1nqqs 6204  df-rq 6205  df-ltnqqs 6206  df-inp 6314  df-i1p 6315  df-imp 6317
This theorem is referenced by:  recexprlemex  6465
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