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Theorem recexprlemm 6594
Description: B is inhabited. Lemma for recexpr 6608. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemm (A P → (𝑞 Q 𝑞 (1stB) 𝑟 Q 𝑟 (2ndB)))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,x,y,A   B,𝑞,𝑟,x,y

Proof of Theorem recexprlemm
StepHypRef Expression
1 prop 6457 . . 3 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
2 prmu 6460 . . 3 (⟨(1stA), (2ndA)⟩ Px Q x (2ndA))
3 recclnq 6376 . . . . . . 7 (x Q → (*Qx) Q)
4 nsmallnqq 6395 . . . . . . 7 ((*Qx) Q𝑞 Q 𝑞 <Q (*Qx))
53, 4syl 14 . . . . . 6 (x Q𝑞 Q 𝑞 <Q (*Qx))
65adantr 261 . . . . 5 ((x Q x (2ndA)) → 𝑞 Q 𝑞 <Q (*Qx))
7 recrecnq 6378 . . . . . . . . . . . 12 (x Q → (*Q‘(*Qx)) = x)
87eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11 (x Q → ((*Q‘(*Qx)) (2ndA) ↔ x (2ndA)))
98anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (x Q → ((𝑞 <Q (*Qx) (*Q‘(*Qx)) (2ndA)) ↔ (𝑞 <Q (*Qx) x (2ndA))))
10 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . 13 (y = (*Qx) → (𝑞 <Q y𝑞 <Q (*Qx)))
11 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . 14 (y = (*Qx) → (*Qy) = (*Q‘(*Qx)))
1211eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . 13 (y = (*Qx) → ((*Qy) (2ndA) ↔ (*Q‘(*Qx)) (2ndA)))
1310, 12anbi12d 442 . . . . . . . . . . . 12 (y = (*Qx) → ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) ↔ (𝑞 <Q (*Qx) (*Q‘(*Qx)) (2ndA))))
1413spcegv 2635 . . . . . . . . . . 11 ((*Qx) Q → ((𝑞 <Q (*Qx) (*Q‘(*Qx)) (2ndA)) → y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA))))
153, 14syl 14 . . . . . . . . . 10 (x Q → ((𝑞 <Q (*Qx) (*Q‘(*Qx)) (2ndA)) → y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA))))
169, 15sylbird 159 . . . . . . . . 9 (x Q → ((𝑞 <Q (*Qx) x (2ndA)) → y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA))))
17 recexpr.1 . . . . . . . . . 10 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
1817recexprlemell 6592 . . . . . . . . 9 (𝑞 (1stB) ↔ y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)))
1916, 18syl6ibr 151 . . . . . . . 8 (x Q → ((𝑞 <Q (*Qx) x (2ndA)) → 𝑞 (1stB)))
2019expcomd 1327 . . . . . . 7 (x Q → (x (2ndA) → (𝑞 <Q (*Qx) → 𝑞 (1stB))))
2120imp 115 . . . . . 6 ((x Q x (2ndA)) → (𝑞 <Q (*Qx) → 𝑞 (1stB)))
2221reximdv 2414 . . . . 5 ((x Q x (2ndA)) → (𝑞 Q 𝑞 <Q (*Qx) → 𝑞 Q 𝑞 (1stB)))
236, 22mpd 13 . . . 4 ((x Q x (2ndA)) → 𝑞 Q 𝑞 (1stB))
2423rexlimiva 2422 . . 3 (x Q x (2ndA) → 𝑞 Q 𝑞 (1stB))
251, 2, 243syl 17 . 2 (A P𝑞 Q 𝑞 (1stB))
26 prml 6459 . . 3 (⟨(1stA), (2ndA)⟩ Px Q x (1stA))
27 1nq 6350 . . . . . . . 8 1Q Q
28 addclnq 6359 . . . . . . . 8 (((*Qx) Q 1Q Q) → ((*Qx) +Q 1Q) Q)
293, 27, 28sylancl 392 . . . . . . 7 (x Q → ((*Qx) +Q 1Q) Q)
30 ltaddnq 6390 . . . . . . . 8 (((*Qx) Q 1Q Q) → (*Qx) <Q ((*Qx) +Q 1Q))
313, 27, 30sylancl 392 . . . . . . 7 (x Q → (*Qx) <Q ((*Qx) +Q 1Q))
32 breq2 3759 . . . . . . . 8 (𝑟 = ((*Qx) +Q 1Q) → ((*Qx) <Q 𝑟 ↔ (*Qx) <Q ((*Qx) +Q 1Q)))
3332rspcev 2650 . . . . . . 7 ((((*Qx) +Q 1Q) Q (*Qx) <Q ((*Qx) +Q 1Q)) → 𝑟 Q (*Qx) <Q 𝑟)
3429, 31, 33syl2anc 391 . . . . . 6 (x Q𝑟 Q (*Qx) <Q 𝑟)
3534adantr 261 . . . . 5 ((x Q x (1stA)) → 𝑟 Q (*Qx) <Q 𝑟)
367eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11 (x Q → ((*Q‘(*Qx)) (1stA) ↔ x (1stA)))
3736anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (x Q → (((*Qx) <Q 𝑟 (*Q‘(*Qx)) (1stA)) ↔ ((*Qx) <Q 𝑟 x (1stA))))
38 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . 13 (y = (*Qx) → (y <Q 𝑟 ↔ (*Qx) <Q 𝑟))
3911eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . 13 (y = (*Qx) → ((*Qy) (1stA) ↔ (*Q‘(*Qx)) (1stA)))
4038, 39anbi12d 442 . . . . . . . . . . . 12 (y = (*Qx) → ((y <Q 𝑟 (*Qy) (1stA)) ↔ ((*Qx) <Q 𝑟 (*Q‘(*Qx)) (1stA))))
4140spcegv 2635 . . . . . . . . . . 11 ((*Qx) Q → (((*Qx) <Q 𝑟 (*Q‘(*Qx)) (1stA)) → y(y <Q 𝑟 (*Qy) (1stA))))
423, 41syl 14 . . . . . . . . . 10 (x Q → (((*Qx) <Q 𝑟 (*Q‘(*Qx)) (1stA)) → y(y <Q 𝑟 (*Qy) (1stA))))
4337, 42sylbird 159 . . . . . . . . 9 (x Q → (((*Qx) <Q 𝑟 x (1stA)) → y(y <Q 𝑟 (*Qy) (1stA))))
4417recexprlemelu 6593 . . . . . . . . 9 (𝑟 (2ndB) ↔ y(y <Q 𝑟 (*Qy) (1stA)))
4543, 44syl6ibr 151 . . . . . . . 8 (x Q → (((*Qx) <Q 𝑟 x (1stA)) → 𝑟 (2ndB)))
4645expcomd 1327 . . . . . . 7 (x Q → (x (1stA) → ((*Qx) <Q 𝑟𝑟 (2ndB))))
4746imp 115 . . . . . 6 ((x Q x (1stA)) → ((*Qx) <Q 𝑟𝑟 (2ndB)))
4847reximdv 2414 . . . . 5 ((x Q x (1stA)) → (𝑟 Q (*Qx) <Q 𝑟𝑟 Q 𝑟 (2ndB)))
4935, 48mpd 13 . . . 4 ((x Q x (1stA)) → 𝑟 Q 𝑟 (2ndB))
5049rexlimiva 2422 . . 3 (x Q x (1stA) → 𝑟 Q 𝑟 (2ndB))
511, 26, 503syl 17 . 2 (A P𝑟 Q 𝑟 (2ndB))
5225, 51jca 290 1 (A P → (𝑞 Q 𝑞 (1stB) 𝑟 Q 𝑟 (2ndB)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023  wrex 2301  cop 3370   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264  1Qc1q 6265   +Q cplq 6266  *Qcrq 6268   <Q cltq 6269  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-inp 6448
This theorem is referenced by:  recexprlempr  6602
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