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Theorem recexprlemm 6586
Description: B is inhabited. Lemma for recexpr 6600. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemm (A P → (𝑞 Q 𝑞 (1stB) 𝑟 Q 𝑟 (2ndB)))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,x,y,A   B,𝑞,𝑟,x,y

Proof of Theorem recexprlemm
StepHypRef Expression
1 prop 6450 . . 3 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
2 prmu 6453 . . 3 (⟨(1stA), (2ndA)⟩ Px Q x (2ndA))
3 recclnq 6369 . . . . . . 7 (x Q → (*Qx) Q)
4 nsmallnqq 6388 . . . . . . 7 ((*Qx) Q𝑞 Q 𝑞 <Q (*Qx))
53, 4syl 14 . . . . . 6 (x Q𝑞 Q 𝑞 <Q (*Qx))
65adantr 261 . . . . 5 ((x Q x (2ndA)) → 𝑞 Q 𝑞 <Q (*Qx))
7 recrecnq 6371 . . . . . . . . . . . 12 (x Q → (*Q‘(*Qx)) = x)
87eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11 (x Q → ((*Q‘(*Qx)) (2ndA) ↔ x (2ndA)))
98anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (x Q → ((𝑞 <Q (*Qx) (*Q‘(*Qx)) (2ndA)) ↔ (𝑞 <Q (*Qx) x (2ndA))))
10 breq2 3758 . . . . . . . . . . . . 13 (y = (*Qx) → (𝑞 <Q y𝑞 <Q (*Qx)))
11 fveq2 5119 . . . . . . . . . . . . . 14 (y = (*Qx) → (*Qy) = (*Q‘(*Qx)))
1211eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . 13 (y = (*Qx) → ((*Qy) (2ndA) ↔ (*Q‘(*Qx)) (2ndA)))
1310, 12anbi12d 442 . . . . . . . . . . . 12 (y = (*Qx) → ((𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)) ↔ (𝑞 <Q (*Qx) (*Q‘(*Qx)) (2ndA))))
1413spcegv 2635 . . . . . . . . . . 11 ((*Qx) Q → ((𝑞 <Q (*Qx) (*Q‘(*Qx)) (2ndA)) → y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA))))
153, 14syl 14 . . . . . . . . . 10 (x Q → ((𝑞 <Q (*Qx) (*Q‘(*Qx)) (2ndA)) → y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA))))
169, 15sylbird 159 . . . . . . . . 9 (x Q → ((𝑞 <Q (*Qx) x (2ndA)) → y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA))))
17 recexpr.1 . . . . . . . . . 10 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
1817recexprlemell 6584 . . . . . . . . 9 (𝑞 (1stB) ↔ y(𝑞 <Q y (*Qy) (2ndA)))
1916, 18syl6ibr 151 . . . . . . . 8 (x Q → ((𝑞 <Q (*Qx) x (2ndA)) → 𝑞 (1stB)))
2019expcomd 1327 . . . . . . 7 (x Q → (x (2ndA) → (𝑞 <Q (*Qx) → 𝑞 (1stB))))
2120imp 115 . . . . . 6 ((x Q x (2ndA)) → (𝑞 <Q (*Qx) → 𝑞 (1stB)))
2221reximdv 2414 . . . . 5 ((x Q x (2ndA)) → (𝑞 Q 𝑞 <Q (*Qx) → 𝑞 Q 𝑞 (1stB)))
236, 22mpd 13 . . . 4 ((x Q x (2ndA)) → 𝑞 Q 𝑞 (1stB))
2423rexlimiva 2422 . . 3 (x Q x (2ndA) → 𝑞 Q 𝑞 (1stB))
251, 2, 243syl 17 . 2 (A P𝑞 Q 𝑞 (1stB))
26 prml 6452 . . 3 (⟨(1stA), (2ndA)⟩ Px Q x (1stA))
27 1nq 6343 . . . . . . . 8 1Q Q
28 addclnq 6352 . . . . . . . 8 (((*Qx) Q 1Q Q) → ((*Qx) +Q 1Q) Q)
293, 27, 28sylancl 392 . . . . . . 7 (x Q → ((*Qx) +Q 1Q) Q)
30 ltaddnq 6383 . . . . . . . 8 (((*Qx) Q 1Q Q) → (*Qx) <Q ((*Qx) +Q 1Q))
313, 27, 30sylancl 392 . . . . . . 7 (x Q → (*Qx) <Q ((*Qx) +Q 1Q))
32 breq2 3758 . . . . . . . 8 (𝑟 = ((*Qx) +Q 1Q) → ((*Qx) <Q 𝑟 ↔ (*Qx) <Q ((*Qx) +Q 1Q)))
3332rspcev 2650 . . . . . . 7 ((((*Qx) +Q 1Q) Q (*Qx) <Q ((*Qx) +Q 1Q)) → 𝑟 Q (*Qx) <Q 𝑟)
3429, 31, 33syl2anc 391 . . . . . 6 (x Q𝑟 Q (*Qx) <Q 𝑟)
3534adantr 261 . . . . 5 ((x Q x (1stA)) → 𝑟 Q (*Qx) <Q 𝑟)
367eleq1d 2103 . . . . . . . . . . 11 (x Q → ((*Q‘(*Qx)) (1stA) ↔ x (1stA)))
3736anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (x Q → (((*Qx) <Q 𝑟 (*Q‘(*Qx)) (1stA)) ↔ ((*Qx) <Q 𝑟 x (1stA))))
38 breq1 3757 . . . . . . . . . . . . 13 (y = (*Qx) → (y <Q 𝑟 ↔ (*Qx) <Q 𝑟))
3911eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . 13 (y = (*Qx) → ((*Qy) (1stA) ↔ (*Q‘(*Qx)) (1stA)))
4038, 39anbi12d 442 . . . . . . . . . . . 12 (y = (*Qx) → ((y <Q 𝑟 (*Qy) (1stA)) ↔ ((*Qx) <Q 𝑟 (*Q‘(*Qx)) (1stA))))
4140spcegv 2635 . . . . . . . . . . 11 ((*Qx) Q → (((*Qx) <Q 𝑟 (*Q‘(*Qx)) (1stA)) → y(y <Q 𝑟 (*Qy) (1stA))))
423, 41syl 14 . . . . . . . . . 10 (x Q → (((*Qx) <Q 𝑟 (*Q‘(*Qx)) (1stA)) → y(y <Q 𝑟 (*Qy) (1stA))))
4337, 42sylbird 159 . . . . . . . . 9 (x Q → (((*Qx) <Q 𝑟 x (1stA)) → y(y <Q 𝑟 (*Qy) (1stA))))
4417recexprlemelu 6585 . . . . . . . . 9 (𝑟 (2ndB) ↔ y(y <Q 𝑟 (*Qy) (1stA)))
4543, 44syl6ibr 151 . . . . . . . 8 (x Q → (((*Qx) <Q 𝑟 x (1stA)) → 𝑟 (2ndB)))
4645expcomd 1327 . . . . . . 7 (x Q → (x (1stA) → ((*Qx) <Q 𝑟𝑟 (2ndB))))
4746imp 115 . . . . . 6 ((x Q x (1stA)) → ((*Qx) <Q 𝑟𝑟 (2ndB)))
4847reximdv 2414 . . . . 5 ((x Q x (1stA)) → (𝑟 Q (*Qx) <Q 𝑟𝑟 Q 𝑟 (2ndB)))
4935, 48mpd 13 . . . 4 ((x Q x (1stA)) → 𝑟 Q 𝑟 (2ndB))
5049rexlimiva 2422 . . 3 (x Q x (1stA) → 𝑟 Q 𝑟 (2ndB))
511, 26, 503syl 17 . 2 (A P𝑟 Q 𝑟 (2ndB))
5225, 51jca 290 1 (A P → (𝑞 Q 𝑞 (1stB) 𝑟 Q 𝑟 (2ndB)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023  wrex 2301  cop 3369   class class class wbr 3754  cfv 4844  (class class class)co 5452  1st c1st 5704  2nd c2nd 5705  Qcnq 6257  1Qc1q 6258   +Q cplq 6259  *Qcrq 6261   <Q cltq 6262  Pcnp 6268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-inp 6441
This theorem is referenced by:  recexprlempr  6594
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