ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrelnq Structured version   GIF version

Theorem ltrelnq 6349
Description: Positive fraction 'less than' is a relation on positive fractions. (Contributed by NM, 14-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltrelnq <Q ⊆ (Q × Q)

Proof of Theorem ltrelnq
Dummy variables x y z w u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ltnqqs 6337 . 2 <Q = {⟨x, y⟩ ∣ ((x Q y Q) zwvu((x = [⟨z, w⟩] ~Q y = [⟨v, u⟩] ~Q ) (z ·N u) <N (w ·N v)))}
2 opabssxp 4357 . 2 {⟨x, y⟩ ∣ ((x Q y Q) zwvu((x = [⟨z, w⟩] ~Q y = [⟨v, u⟩] ~Q ) (z ·N u) <N (w ·N v)))} ⊆ (Q × Q)
31, 2eqsstri 2969 1 <Q ⊆ (Q × Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755  {copab 3808   × cxp 4286  (class class class)co 5455  [cec 6040   ·N cmi 6258   <N clti 6259   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-in 2918  df-ss 2925  df-opab 3810  df-xp 4294  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  ltanqi  6386  ltmnqi  6387  lt2addnq  6388  ltexnqi  6392  ltbtwnnqq  6398  ltbtwnnq  6399  prarloclemarch2  6402  ltrnqi  6404  prcdnql  6467  prcunqu  6468  prnmaxl  6471  prnminu  6472  prloc  6474  prarloclemcalc  6485  genplt2i  6493  genpcdl  6502  genpcuu  6503  genpdisj  6506  addnqprllem  6510  addnqprulem  6511  addlocprlemlt  6514  addlocprlemeq  6516  addlocprlemgt  6517  addlocprlem  6518  nqprdisj  6527  nqprloc  6528  nqprxx  6529  ltnqex  6531  gtnqex  6532  addnqprlemrl  6538  addnqprlemru  6539  addnqprlemfl  6540  addnqprlemfu  6541  appdivnq  6544  prmuloclemcalc  6546  prmuloc  6547  1idprl  6566  1idpru  6567  ltsopr  6570  ltexprlemopl  6575  ltexprlemopu  6577  ltexprlemdisj  6580  ltexprlemloc  6581  ltexprlemfl  6583  ltexprlemru  6586  recexprlemell  6594  recexprlemelu  6595  recexprlemlol  6598  recexprlemupu  6600  recexprlemdisj  6602  recexprlemloc  6603  recexprlempr  6604  recexprlem1ssl  6605  recexprlem1ssu  6606  recexprlemss1l  6607  recexprlemss1u  6608  cauappcvgprlemm  6617  cauappcvgprlemopl  6618  cauappcvgprlemlol  6619  cauappcvgprlemupu  6621  cauappcvgprlemladdfu  6626  cauappcvgprlemladdfl  6627  caucvgprlemk  6636  caucvgprlemnkj  6637  caucvgprlemnbj  6638  caucvgprlemm  6639  caucvgprlemopl  6640  caucvgprlemlol  6641  caucvgprlemupu  6643  caucvgprlemloc  6646  caucvgprlemladdfu  6648
  Copyright terms: Public domain W3C validator