ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrelnq Structured version   GIF version

Theorem ltrelnq 6342
Description: Positive fraction 'less than' is a relation on positive fractions. (Contributed by NM, 14-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltrelnq <Q ⊆ (Q × Q)

Proof of Theorem ltrelnq
Dummy variables x y z w u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ltnqqs 6330 . 2 <Q = {⟨x, y⟩ ∣ ((x Q y Q) zwvu((x = [⟨z, w⟩] ~Q y = [⟨v, u⟩] ~Q ) (z ·N u) <N (w ·N v)))}
2 opabssxp 4356 . 2 {⟨x, y⟩ ∣ ((x Q y Q) zwvu((x = [⟨z, w⟩] ~Q y = [⟨v, u⟩] ~Q ) (z ·N u) <N (w ·N v)))} ⊆ (Q × Q)
31, 2eqsstri 2969 1 <Q ⊆ (Q × Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wss 2911  cop 3369   class class class wbr 3754  {copab 3807   × cxp 4285  (class class class)co 5452  [cec 6033   ·N cmi 6251   <N clti 6252   ~Q ceq 6256  Qcnq 6257   <Q cltq 6262
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-in 2918  df-ss 2925  df-opab 3809  df-xp 4293  df-ltnqqs 6330
This theorem is referenced by:  ltanqi  6379  ltmnqi  6380  lt2addnq  6381  ltexnqi  6385  ltbtwnnqq  6391  ltbtwnnq  6392  prarloclemarch2  6395  ltrnqi  6397  prcdnql  6459  prcunqu  6460  prnmaxl  6463  prnminu  6464  prloc  6466  prarloclemcalc  6477  genplt2i  6485  genpcdl  6495  genpcuu  6496  genpdisj  6499  addnqprllem  6503  addnqprulem  6504  addlocprlemlt  6507  addlocprlemeq  6509  addlocprlemgt  6510  addlocprlem  6511  nqprdisj  6520  nqprloc  6521  nqprlu  6522  ltnqex  6523  gtnqex  6524  addnqpr1lemrl  6529  addnqpr1lemru  6530  addnqpr1lemil  6531  addnqpr1lemiu  6532  appdivnq  6534  prmuloclemcalc  6536  prmuloc  6537  1idprl  6556  1idpru  6557  ltsopr  6560  ltexprlemopl  6565  ltexprlemopu  6567  ltexprlemdisj  6570  ltexprlemloc  6571  ltexprlemfl  6573  ltexprlemru  6576  recexprlemell  6584  recexprlemelu  6585  recexprlemlol  6588  recexprlemupu  6590  recexprlemdisj  6592  recexprlemloc  6593  recexprlempr  6594  recexprlem1ssl  6595  recexprlem1ssu  6596  recexprlemss1l  6597  recexprlemss1u  6598
  Copyright terms: Public domain W3C validator