ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrelnq Structured version   GIF version

Theorem ltrelnq 6349
Description: Positive fraction 'less than' is a relation on positive fractions. (Contributed by NM, 14-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltrelnq <Q ⊆ (Q × Q)

Proof of Theorem ltrelnq
Dummy variables x y z w u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ltnqqs 6337 . 2 <Q = {⟨x, y⟩ ∣ ((x Q y Q) zwvu((x = [⟨z, w⟩] ~Q y = [⟨v, u⟩] ~Q ) (z ·N u) <N (w ·N v)))}
2 opabssxp 4357 . 2 {⟨x, y⟩ ∣ ((x Q y Q) zwvu((x = [⟨z, w⟩] ~Q y = [⟨v, u⟩] ~Q ) (z ·N u) <N (w ·N v)))} ⊆ (Q × Q)
31, 2eqsstri 2969 1 <Q ⊆ (Q × Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755  {copab 3808   × cxp 4286  (class class class)co 5455  [cec 6040   ·N cmi 6258   <N clti 6259   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-in 2918  df-ss 2925  df-opab 3810  df-xp 4294  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  ltanqi  6386  ltmnqi  6387  lt2addnq  6388  ltexnqi  6392  ltbtwnnqq  6398  ltbtwnnq  6399  prarloclemarch2  6402  ltrnqi  6404  prcdnql  6466  prcunqu  6467  prnmaxl  6470  prnminu  6471  prloc  6473  prarloclemcalc  6484  genplt2i  6492  genpcdl  6501  genpcuu  6502  genpdisj  6505  addnqprllem  6509  addnqprulem  6510  addlocprlemlt  6513  addlocprlemeq  6515  addlocprlemgt  6516  addlocprlem  6517  nqprdisj  6526  nqprloc  6527  nqprxx  6528  ltnqex  6530  gtnqex  6531  addnqprlemrl  6537  addnqprlemru  6538  addnqprlemfl  6539  addnqprlemfu  6540  appdivnq  6543  prmuloclemcalc  6545  prmuloc  6546  1idprl  6565  1idpru  6566  ltsopr  6569  ltexprlemopl  6574  ltexprlemopu  6576  ltexprlemdisj  6579  ltexprlemloc  6580  ltexprlemfl  6582  ltexprlemru  6585  recexprlemell  6593  recexprlemelu  6594  recexprlemlol  6597  recexprlemupu  6599  recexprlemdisj  6601  recexprlemloc  6602  recexprlempr  6603  recexprlem1ssl  6604  recexprlem1ssu  6605  recexprlemss1l  6606  recexprlemss1u  6607  cauappcvgprlemm  6616  cauappcvgprlemopl  6617  cauappcvgprlemlol  6618  cauappcvgprlemupu  6620  cauappcvgprlemladdfu  6625  cauappcvgprlemladdfl  6626
  Copyright terms: Public domain W3C validator