Theorem prmuloc 6664

Description: Positive reals are multiplicatively located. Lemma 12.8 of [BauerTaylor], p. 56. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prmuloc	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑢   𝐵,𝑑,𝑢   𝐿,𝑑,𝑢   𝑈,𝑑,𝑢

Proof of Theorem prmuloc

Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexnqi 6507	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
2	1	adantl 262	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
3		prml 6575	. . . 4 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝐿)
4	3	ad2antrr 457	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) → ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝐿)
5		simprl 483	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝑟 ∈ Q)
6		simplrl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝑥 ∈ Q)
7		mulclnq 6474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑟 ·Q 𝑥) ∈ Q)
8	5, 6, 7	syl2anc 391	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → (𝑟 ·Q 𝑥) ∈ Q)
9		ltrelnq 6463	. . . . . . . 8 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
10	9	brel 4392	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
11	10	simprd 107	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
12	11	ad3antlr 462	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝐵 ∈ Q)
13		appdiv0nq 6662	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 ·Q 𝑥) ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ∃𝑝 ∈ Q (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))
14	8, 12, 13	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → ∃𝑝 ∈ Q (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))
15		prarloc 6601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑝 ∈ Q) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
16	15	adantlr 446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ Q) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
17	16	adantlr 446	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ Q) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
18	17	ad2ant2r 478	. . . . . . 7 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
19		r2ex 2344	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝) ↔ ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝)))
20	18, 19	sylib 127	. . . . . 6 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝)))
21		elprnql 6579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
22	21	adantlr 446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
23	22	adantlr 446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
24	23	adantlr 446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
25	24	ad2ant2r 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)) → 𝑑 ∈ Q)
26	25	adantrr 448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑑 ∈ Q)
27		simplll 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
28	27	ad2antrr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
29		simprl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈))
30	29	simprd 107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑢 ∈ 𝑈)
31		elprnqu 6580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ Q)
32	28, 30, 31	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑢 ∈ Q)
33		prltlu 6585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑟 <Q 𝑢)
34	33	3adant1r 1128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑟 <Q 𝑢)
35	34	3adant2l 1129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑟 <Q 𝑢)
36	35	3adant3l 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)) → 𝑟 <Q 𝑢)
37	36	3adant1r 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)) → 𝑟 <Q 𝑢)
38	37	3expa 1104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈)) → 𝑟 <Q 𝑢)
39	38	ad2ant2r 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑟 <Q 𝑢)
40		simprr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))
41		simplrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
42	41	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)
43		simplrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))
44	10	simpld 105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐴 ∈ Q)
45	44	ad3antlr 462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ Q)
46	45	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝐴 ∈ Q)
47	12	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝐵 ∈ Q)
48		simplrl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑝 ∈ Q)
49	6	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑥 ∈ Q)
50	39, 40, 42, 43, 46, 47, 26, 48, 49	prmuloclemcalc 6663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵))
51		df-3an 887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
52	29, 50, 51	sylanbrc 394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
53	26, 32, 52	jca31 292	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → ((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵))))
54	53	ex 108	. . . . . . 7 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → (((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝)) → ((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))))
55	54	2eximdv 1762	. . . . . 6 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → (∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ 𝑢 <Q (𝑑 +Q 𝑝)) → ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))))
56	20, 55	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵))))
57		r2ex 2344	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)) ↔ ∃𝑑∃𝑢((𝑑 ∈ Q ∧ 𝑢 ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵))))
58	56, 57	sylibr 137	. . . 4 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q 𝐵) <Q (𝑟 ·Q 𝑥))) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
59	14, 58	rexlimddv 2437	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
60	4, 59	rexlimddv 2437	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))
61	2, 60	rexlimddv 2437	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → ∃𝑑 ∈ Q ∃𝑢 ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈 ∧ (𝑢 ·Q 𝐴) <Q (𝑑 ·Q 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 885   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  Qcnq 6378   +_Q cplq 6380   ·_Q cmq 6381   <_Q cltq 6383  Pcnp 6389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564

This theorem is referenced by:  prmuloc2  6665  mullocpr  6669