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Theorem prmuloc 6545
Description: Positive reals are multiplicatively located. Lemma 12.8 of [BauerTaylor], p. 56. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prmuloc ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → 𝑑 Q u Q (𝑑 𝐿 u 𝑈 (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))
Distinct variable groups:   A,𝑑,u   B,𝑑,u   𝐿,𝑑,u   𝑈,𝑑,u

Proof of Theorem prmuloc
Dummy variables 𝑝 𝑟 x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 6392 . . 3 (A <Q Bx Q (A +Q x) = B)
21adantl 262 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → x Q (A +Q x) = B)
3 prml 6459 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈 P𝑟 Q 𝑟 𝐿)
43ad2antrr 457 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) → 𝑟 Q 𝑟 𝐿)
5 simprl 483 . . . . . 6 ((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) → 𝑟 Q)
6 simplrl 487 . . . . . 6 ((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) → x Q)
7 mulclnq 6360 . . . . . 6 ((𝑟 Q x Q) → (𝑟 ·Q x) Q)
85, 6, 7syl2anc 391 . . . . 5 ((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) → (𝑟 ·Q x) Q)
9 ltrelnq 6349 . . . . . . . 8 <Q ⊆ (Q × Q)
109brel 4335 . . . . . . 7 (A <Q B → (A Q B Q))
1110simprd 107 . . . . . 6 (A <Q BB Q)
1211ad3antlr 462 . . . . 5 ((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) → B Q)
13 appdiv0nq 6543 . . . . 5 (((𝑟 ·Q x) Q B Q) → 𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))
148, 12, 13syl2anc 391 . . . 4 ((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) → 𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))
15 prarloc 6485 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑝 Q) → 𝑑 𝐿 u 𝑈 u <Q (𝑑 +Q 𝑝))
1615adantlr 446 . . . . . . . . 9 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑝 Q) → 𝑑 𝐿 u 𝑈 u <Q (𝑑 +Q 𝑝))
1716adantlr 446 . . . . . . . 8 ((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) 𝑝 Q) → 𝑑 𝐿 u 𝑈 u <Q (𝑑 +Q 𝑝))
1817ad2ant2r 478 . . . . . . 7 (((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) → 𝑑 𝐿 u 𝑈 u <Q (𝑑 +Q 𝑝))
19 r2ex 2338 . . . . . . 7 (𝑑 𝐿 u 𝑈 u <Q (𝑑 +Q 𝑝) ↔ 𝑑u((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝)))
2018, 19sylib 127 . . . . . 6 (((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) → 𝑑u((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝)))
21 elprnql 6463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑑 𝐿) → 𝑑 Q)
2221adantlr 446 . . . . . . . . . . . . 13 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑑 𝐿) → 𝑑 Q)
2322adantlr 446 . . . . . . . . . . . 12 ((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) 𝑑 𝐿) → 𝑑 Q)
2423adantlr 446 . . . . . . . . . . 11 (((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) 𝑑 𝐿) → 𝑑 Q)
2524ad2ant2r 478 . . . . . . . . . 10 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) (𝑑 𝐿 u 𝑈)) → 𝑑 Q)
2625adantrr 448 . . . . . . . . 9 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑑 Q)
27 simplll 485 . . . . . . . . . . 11 ((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) → ⟨𝐿, 𝑈 P)
2827ad2antrr 457 . . . . . . . . . 10 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → ⟨𝐿, 𝑈 P)
29 simprl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑑 𝐿 u 𝑈))
3029simprd 107 . . . . . . . . . 10 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → u 𝑈)
31 elprnqu 6464 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝐿, 𝑈 P u 𝑈) → u Q)
3228, 30, 31syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → u Q)
33 prltlu 6469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑟 𝐿 u 𝑈) → 𝑟 <Q u)
34333adant1r 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) 𝑟 𝐿 u 𝑈) → 𝑟 <Q u)
35343adant2l 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (𝑟 Q 𝑟 𝐿) u 𝑈) → 𝑟 <Q u)
36353adant3l 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (𝑟 Q 𝑟 𝐿) (𝑑 𝐿 u 𝑈)) → 𝑟 <Q u)
37363adant1r 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿) (𝑑 𝐿 u 𝑈)) → 𝑟 <Q u)
38373expa 1103 . . . . . . . . . . . 12 (((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑑 𝐿 u 𝑈)) → 𝑟 <Q u)
3938ad2ant2r 478 . . . . . . . . . . 11 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑟 <Q u)
40 simprr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → u <Q (𝑑 +Q 𝑝))
41 simplrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) → (A +Q x) = B)
4241ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (A +Q x) = B)
43 simplrr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))
4410simpld 105 . . . . . . . . . . . . 13 (A <Q BA Q)
4544ad3antlr 462 . . . . . . . . . . . 12 ((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) → A Q)
4645ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → A Q)
4712ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → B Q)
48 simplrl 487 . . . . . . . . . . 11 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑝 Q)
496ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → x Q)
5039, 40, 42, 43, 46, 47, 26, 48, 49prmuloclemcalc 6544 . . . . . . . . . 10 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B))
51 df-3an 886 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 𝐿 u 𝑈 (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)) ↔ ((𝑑 𝐿 u 𝑈) (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))
5229, 50, 51sylanbrc 394 . . . . . . . . 9 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑑 𝐿 u 𝑈 (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))
5326, 32, 52jca31 292 . . . . . . . 8 ((((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → ((𝑑 Q u Q) (𝑑 𝐿 u 𝑈 (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B))))
5453ex 108 . . . . . . 7 (((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) → (((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝)) → ((𝑑 Q u Q) (𝑑 𝐿 u 𝑈 (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))))
55542eximdv 1759 . . . . . 6 (((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) → (𝑑u((𝑑 𝐿 u 𝑈) u <Q (𝑑 +Q 𝑝)) → 𝑑u((𝑑 Q u Q) (𝑑 𝐿 u 𝑈 (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))))
5620, 55mpd 13 . . . . 5 (((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) → 𝑑u((𝑑 Q u Q) (𝑑 𝐿 u 𝑈 (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B))))
57 r2ex 2338 . . . . 5 (𝑑 Q u Q (𝑑 𝐿 u 𝑈 (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)) ↔ 𝑑u((𝑑 Q u Q) (𝑑 𝐿 u 𝑈 (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B))))
5856, 57sylibr 137 . . . 4 (((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) (𝑝 Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) → 𝑑 Q u Q (𝑑 𝐿 u 𝑈 (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))
5914, 58rexlimddv 2431 . . 3 ((((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) (𝑟 Q 𝑟 𝐿)) → 𝑑 Q u Q (𝑑 𝐿 u 𝑈 (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))
604, 59rexlimddv 2431 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) (x Q (A +Q x) = B)) → 𝑑 Q u Q (𝑑 𝐿 u 𝑈 (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))
612, 60rexlimddv 2431 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P A <Q B) → 𝑑 Q u Q (𝑑 𝐿 u 𝑈 (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301  cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  Qcnq 6264   +Q cplq 6266   ·Q cmq 6267   <Q cltq 6269  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448
This theorem is referenced by:  prmuloc2  6546  mullocpr  6550
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