Theorem prmuloc 6545

Description: Positive reals are multiplicatively located. Lemma 12.8 of [BauerTaylor], p. 56. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prmuloc	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) → ∃𝑑 ∈ Q ∃u ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈 ∧ (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))

Distinct variable groups:   A,𝑑,u   B,𝑑,u   𝐿,𝑑,u   𝑈,𝑑,u

Proof of Theorem prmuloc

Dummy variables 𝑝 𝑟 x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexnqi 6392	. . 3 ⊢ (A <Q B → ∃x ∈ Q (A +Q x) = B)
2	1	adantl 262	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) → ∃x ∈ Q (A +Q x) = B)
3		prml 6459	. . . 4 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝐿)
4	3	ad2antrr 457	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) → ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝐿)
5		simprl 483	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → 𝑟 ∈ Q)
6		simplrl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → x ∈ Q)
7		mulclnq 6360	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ Q ∧ x ∈ Q) → (𝑟 ·Q x) ∈ Q)
8	5, 6, 7	syl2anc 391	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → (𝑟 ·Q x) ∈ Q)
9		ltrelnq 6349	. . . . . . . 8 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
10	9	brel 4335	. . . . . . 7 ⊢ (A <Q B → (A ∈ Q ∧ B ∈ Q))
11	10	simprd 107	. . . . . 6 ⊢ (A <Q B → B ∈ Q)
12	11	ad3antlr 462	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → B ∈ Q)
13		appdiv0nq 6543	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 ·Q x) ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ∃𝑝 ∈ Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))
14	8, 12, 13	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → ∃𝑝 ∈ Q (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))
15		prarloc 6485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑝 ∈ Q) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃u ∈ 𝑈 u <Q (𝑑 +Q 𝑝))
16	15	adantlr 446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ 𝑝 ∈ Q) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃u ∈ 𝑈 u <Q (𝑑 +Q 𝑝))
17	16	adantlr 446	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ 𝑝 ∈ Q) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃u ∈ 𝑈 u <Q (𝑑 +Q 𝑝))
18	17	ad2ant2r 478	. . . . . . 7 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) → ∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃u ∈ 𝑈 u <Q (𝑑 +Q 𝑝))
19		r2ex 2338	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝐿 ∃u ∈ 𝑈 u <Q (𝑑 +Q 𝑝) ↔ ∃𝑑∃u((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝)))
20	18, 19	sylib 127	. . . . . 6 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) → ∃𝑑∃u((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝)))
21		elprnql 6463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
22	21	adantlr 446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
23	22	adantlr 446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
24	23	adantlr 446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → 𝑑 ∈ Q)
25	24	ad2ant2r 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈)) → 𝑑 ∈ Q)
26	25	adantrr 448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑑 ∈ Q)
27		simplll 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
28	27	ad2antrr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
29		simprl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈))
30	29	simprd 107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → u ∈ 𝑈)
31		elprnqu 6464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ u ∈ 𝑈) → u ∈ Q)
32	28, 30, 31	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → u ∈ Q)
33		prltlu 6469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑟 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) → 𝑟 <Q u)
34	33	3adant1r 1127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ 𝑟 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) → 𝑟 <Q u)
35	34	3adant2l 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ u ∈ 𝑈) → 𝑟 <Q u)
36	35	3adant3l 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈)) → 𝑟 <Q u)
37	36	3adant1r 1127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈)) → 𝑟 <Q u)
38	37	3expa 1103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈)) → 𝑟 <Q u)
39	38	ad2ant2r 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑟 <Q u)
40		simprr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → u <Q (𝑑 +Q 𝑝))
41		simplrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → (A +Q x) = B)
42	41	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (A +Q x) = B)
43		simplrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))
44	10	simpld 105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A <Q B → A ∈ Q)
45	44	ad3antlr 462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → A ∈ Q)
46	45	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → A ∈ Q)
47	12	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → B ∈ Q)
48		simplrl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → 𝑝 ∈ Q)
49	6	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → x ∈ Q)
50	39, 40, 42, 43, 46, 47, 26, 48, 49	prmuloclemcalc 6544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B))
51		df-3an 886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈 ∧ (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))
52	29, 50, 51	sylanbrc 394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈 ∧ (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))
53	26, 32, 52	jca31 292	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝))) → ((𝑑 ∈ Q ∧ u ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈 ∧ (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B))))
54	53	ex 108	. . . . . . 7 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) → (((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝)) → ((𝑑 ∈ Q ∧ u ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈 ∧ (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))))
55	54	2eximdv 1759	. . . . . 6 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) → (∃𝑑∃u((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈) ∧ u <Q (𝑑 +Q 𝑝)) → ∃𝑑∃u((𝑑 ∈ Q ∧ u ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈 ∧ (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))))
56	20, 55	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) → ∃𝑑∃u((𝑑 ∈ Q ∧ u ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈 ∧ (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B))))
57		r2ex 2338	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ Q ∃u ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈 ∧ (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)) ↔ ∃𝑑∃u((𝑑 ∈ Q ∧ u ∈ Q) ∧ (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈 ∧ (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B))))
58	56, 57	sylibr 137	. . . 4 ⊢ (((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑝 ∈ Q ∧ (𝑝 ·Q B) <Q (𝑟 ·Q x))) → ∃𝑑 ∈ Q ∃u ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈 ∧ (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))
59	14, 58	rexlimddv 2431	. . 3 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) → ∃𝑑 ∈ Q ∃u ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈 ∧ (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))
60	4, 59	rexlimddv 2431	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ (A +Q x) = B)) → ∃𝑑 ∈ Q ∃u ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈 ∧ (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))
61	2, 60	rexlimddv 2431	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ A <Q B) → ∃𝑑 ∈ Q ∃u ∈ Q (𝑑 ∈ 𝐿 ∧ u ∈ 𝑈 ∧ (u ·Q A) <Q (𝑑 ·Q B)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  Qcnq 6264   +_Q cplq 6266   ·_Q cmq 6267   <_Q cltq 6269  Pcnp 6275

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448

This theorem is referenced by:  prmuloc2  6546  mullocpr  6550