ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prcunqu Structured version   GIF version

Theorem prcunqu 6339
Description: An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prcunqu ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) → (𝐶 <Q BB 𝑈))

Proof of Theorem prcunqu
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6224 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4319 . . . . 5 (𝐶 <Q B → (𝐶 Q B Q))
32simprd 107 . . . 4 (𝐶 <Q BB Q)
43adantl 262 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) 𝐶 <Q B) → B Q)
5 breq2 3742 . . . . . . 7 (𝑏 = B → (𝐶 <Q 𝑏𝐶 <Q B))
6 eleq1 2082 . . . . . . 7 (𝑏 = B → (𝑏 𝑈B 𝑈))
75, 6imbi12d 223 . . . . . 6 (𝑏 = B → ((𝐶 <Q 𝑏𝑏 𝑈) ↔ (𝐶 <Q BB 𝑈)))
87imbi2d 219 . . . . 5 (𝑏 = B → (((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) → (𝐶 <Q 𝑏𝑏 𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) → (𝐶 <Q BB 𝑈))))
91brel 4319 . . . . . . . 8 (𝐶 <Q 𝑏 → (𝐶 Q 𝑏 Q))
10 an42 508 . . . . . . . . 9 (((𝐶 Q 𝑏 Q) (𝐶 𝑈 𝐿, 𝑈 P)) ↔ ((𝐶 Q 𝐶 𝑈) (⟨𝐿, 𝑈 P 𝑏 Q)))
11 breq1 3741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q 𝑏𝐶 <Q 𝑏))
12 eleq1 2082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 𝑈𝐶 𝑈))
1311, 12anbi12d 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈) ↔ (𝐶 <Q 𝑏 𝐶 𝑈)))
1413rspcev 2633 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 Q (𝐶 <Q 𝑏 𝐶 𝑈)) → 𝑐 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈))
15 elinp 6328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑐 Q 𝑐 𝐿 𝑏 Q 𝑏 𝑈)) ((𝑐 Q (𝑐 𝐿𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿)) 𝑏 Q (𝑏 𝑈𝑐 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈))) 𝑐 Q ¬ (𝑐 𝐿 𝑐 𝑈) 𝑐 Q 𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 𝐿 𝑏 𝑈)))))
16 simpr1r 950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐿Q 𝑈Q) (𝑐 Q 𝑐 𝐿 𝑏 Q 𝑏 𝑈)) ((𝑐 Q (𝑐 𝐿𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿)) 𝑏 Q (𝑏 𝑈𝑐 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈))) 𝑐 Q ¬ (𝑐 𝐿 𝑐 𝑈) 𝑐 Q 𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 𝐿 𝑏 𝑈)))) → 𝑏 Q (𝑏 𝑈𝑐 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈)))
1715, 16sylbi 114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝐿, 𝑈 P𝑏 Q (𝑏 𝑈𝑐 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈)))
1817r19.21bi 2385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑏 Q) → (𝑏 𝑈𝑐 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈)))
1914, 18syl5ibrcom 146 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 Q (𝐶 <Q 𝑏 𝐶 𝑈)) → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑏 Q) → 𝑏 𝑈))
20193impb 1086 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 Q 𝐶 <Q 𝑏 𝐶 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑏 Q) → 𝑏 𝑈))
21203com12 1094 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 <Q 𝑏 𝐶 Q 𝐶 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑏 Q) → 𝑏 𝑈))
22213expib 1093 . . . . . . . . . 10 (𝐶 <Q 𝑏 → ((𝐶 Q 𝐶 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑏 Q) → 𝑏 𝑈)))
2322impd 242 . . . . . . . . 9 (𝐶 <Q 𝑏 → (((𝐶 Q 𝐶 𝑈) (⟨𝐿, 𝑈 P 𝑏 Q)) → 𝑏 𝑈))
2410, 23syl5bi 141 . . . . . . . 8 (𝐶 <Q 𝑏 → (((𝐶 Q 𝑏 Q) (𝐶 𝑈 𝐿, 𝑈 P)) → 𝑏 𝑈))
259, 24mpand 407 . . . . . . 7 (𝐶 <Q 𝑏 → ((𝐶 𝑈 𝐿, 𝑈 P) → 𝑏 𝑈))
2625com12 27 . . . . . 6 ((𝐶 𝑈 𝐿, 𝑈 P) → (𝐶 <Q 𝑏𝑏 𝑈))
2726ancoms 255 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) → (𝐶 <Q 𝑏𝑏 𝑈))
288, 27vtoclg 2590 . . . 4 (B Q → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) → (𝐶 <Q BB 𝑈)))
2928impd 242 . . 3 (B Q → (((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) 𝐶 <Q B) → B 𝑈))
304, 29mpcom 32 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) 𝐶 <Q B) → B 𝑈)
3130ex 108 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) → (𝐶 <Q BB 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 616   w3a 873   = wceq 1228   wcel 1374  wral 2284  wrex 2285  wss 2894  cop 3353   class class class wbr 3738  Qcnq 6138   <Q cltq 6143  Pcnp 6149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-id 4004  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-qs 6023  df-ni 6164  df-nqqs 6207  df-ltnqqs 6212  df-inp 6320
This theorem is referenced by:  prarloc  6357  prarloc2  6358  addnqprulem  6383  prmuloc2  6411  mulnqpru  6413  distrlem4pru  6424  1idpru  6430  ltexprlemm  6437  ltexprlemupu  6441  ltexprlemrl  6447  ltexprlemfu  6448  ltexprlemru  6449  addcanprleml  6451
  Copyright terms: Public domain W3C validator