ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prcunqu Structured version   GIF version

Theorem prcunqu 6467
Description: An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prcunqu ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) → (𝐶 <Q BB 𝑈))

Proof of Theorem prcunqu
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6349 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4335 . . . . 5 (𝐶 <Q B → (𝐶 Q B Q))
32simprd 107 . . . 4 (𝐶 <Q BB Q)
43adantl 262 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) 𝐶 <Q B) → B Q)
5 breq2 3759 . . . . . . 7 (𝑏 = B → (𝐶 <Q 𝑏𝐶 <Q B))
6 eleq1 2097 . . . . . . 7 (𝑏 = B → (𝑏 𝑈B 𝑈))
75, 6imbi12d 223 . . . . . 6 (𝑏 = B → ((𝐶 <Q 𝑏𝑏 𝑈) ↔ (𝐶 <Q BB 𝑈)))
87imbi2d 219 . . . . 5 (𝑏 = B → (((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) → (𝐶 <Q 𝑏𝑏 𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) → (𝐶 <Q BB 𝑈))))
91brel 4335 . . . . . . . 8 (𝐶 <Q 𝑏 → (𝐶 Q 𝑏 Q))
10 an42 521 . . . . . . . . 9 (((𝐶 Q 𝑏 Q) (𝐶 𝑈 𝐿, 𝑈 P)) ↔ ((𝐶 Q 𝐶 𝑈) (⟨𝐿, 𝑈 P 𝑏 Q)))
11 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q 𝑏𝐶 <Q 𝑏))
12 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 𝑈𝐶 𝑈))
1311, 12anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈) ↔ (𝐶 <Q 𝑏 𝐶 𝑈)))
1413rspcev 2650 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 Q (𝐶 <Q 𝑏 𝐶 𝑈)) → 𝑐 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈))
15 elinp 6456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑐 Q 𝑐 𝐿 𝑏 Q 𝑏 𝑈)) ((𝑐 Q (𝑐 𝐿𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿)) 𝑏 Q (𝑏 𝑈𝑐 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈))) 𝑐 Q ¬ (𝑐 𝐿 𝑐 𝑈) 𝑐 Q 𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 𝐿 𝑏 𝑈)))))
16 simpr1r 961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐿Q 𝑈Q) (𝑐 Q 𝑐 𝐿 𝑏 Q 𝑏 𝑈)) ((𝑐 Q (𝑐 𝐿𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑏 𝐿)) 𝑏 Q (𝑏 𝑈𝑐 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈))) 𝑐 Q ¬ (𝑐 𝐿 𝑐 𝑈) 𝑐 Q 𝑏 Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 𝐿 𝑏 𝑈)))) → 𝑏 Q (𝑏 𝑈𝑐 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈)))
1715, 16sylbi 114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝐿, 𝑈 P𝑏 Q (𝑏 𝑈𝑐 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈)))
1817r19.21bi 2401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑏 Q) → (𝑏 𝑈𝑐 Q (𝑐 <Q 𝑏 𝑐 𝑈)))
1914, 18syl5ibrcom 146 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 Q (𝐶 <Q 𝑏 𝐶 𝑈)) → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑏 Q) → 𝑏 𝑈))
20193impb 1099 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 Q 𝐶 <Q 𝑏 𝐶 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑏 Q) → 𝑏 𝑈))
21203com12 1107 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 <Q 𝑏 𝐶 Q 𝐶 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑏 Q) → 𝑏 𝑈))
22213expib 1106 . . . . . . . . . 10 (𝐶 <Q 𝑏 → ((𝐶 Q 𝐶 𝑈) → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑏 Q) → 𝑏 𝑈)))
2322impd 242 . . . . . . . . 9 (𝐶 <Q 𝑏 → (((𝐶 Q 𝐶 𝑈) (⟨𝐿, 𝑈 P 𝑏 Q)) → 𝑏 𝑈))
2410, 23syl5bi 141 . . . . . . . 8 (𝐶 <Q 𝑏 → (((𝐶 Q 𝑏 Q) (𝐶 𝑈 𝐿, 𝑈 P)) → 𝑏 𝑈))
259, 24mpand 405 . . . . . . 7 (𝐶 <Q 𝑏 → ((𝐶 𝑈 𝐿, 𝑈 P) → 𝑏 𝑈))
2625com12 27 . . . . . 6 ((𝐶 𝑈 𝐿, 𝑈 P) → (𝐶 <Q 𝑏𝑏 𝑈))
2726ancoms 255 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) → (𝐶 <Q 𝑏𝑏 𝑈))
288, 27vtoclg 2607 . . . 4 (B Q → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) → (𝐶 <Q BB 𝑈)))
2928impd 242 . . 3 (B Q → (((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) 𝐶 <Q B) → B 𝑈))
304, 29mpcom 32 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) 𝐶 <Q B) → B 𝑈)
3130ex 108 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝐶 𝑈) → (𝐶 <Q BB 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755  Qcnq 6264   <Q cltq 6269  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-qs 6048  df-ni 6288  df-nqqs 6332  df-ltnqqs 6337  df-inp 6448
This theorem is referenced by:  prarloc  6485  prarloc2  6486  addnqprulem  6511  prmuloc2  6546  mulnqpru  6548  distrlem4pru  6559  1idpru  6565  ltexprlemm  6572  ltexprlemupu  6576  ltexprlemrl  6582  ltexprlemfu  6583  ltexprlemru  6584  aptiprlemu  6610
  Copyright terms: Public domain W3C validator